Comparación de medias y proporciones; chi-cuadrado; ANOVA

1. La pregunta

Tres sucursales de un banco tienen tiempos medios de atención de 4,2, 5,1 y 4,6 minutos. ¿Rinden distinto, o son fluctuaciones del muestreo?

La tentación es comparar las tres de dos en dos: A con B, A con C, B con C. Y es un error, porque con tres contrastes al 5 % la probabilidad de encontrar al menos una diferencia falsa sube al 14 %. Hace falta un método que compare las tres a la vez: el ANOVA.

Este tema cierra el bloque 6 con las herramientas que se usan cuando hay más de un grupo o cuando las variables son categóricas, y con ellas queda montada toda la maquinaria que la econometría del bloque 7 dará por sabida.

2. Intuición

Comparar dos medias. ¿La diferencia observada es grande? Depende de con qué se compare. Una diferencia de 1 minuto es enorme si los tiempos varían entre 4 y 5, e insignificante si varían entre 1 y 20. El estadístico siempre divide la diferencia por la variabilidad, igual que en el tema 27.

Datos apareados. Si mides a las mismas personas antes y después de una formación, cada persona es su propio control. Eso elimina la variabilidad entre individuos y hace el contraste mucho más potente. Aparear cuando se puede es casi siempre mejor.

ANOVA: comparar varias medias mirando varianzas. El nombre despista. La idea es comparar dos fuentes de variabilidad:

• la que hay entre los grupos (las medias de las sucursales difieren entre sí);
• la que hay dentro de cada grupo (dos clientes de la misma sucursal tampoco tardan lo mismo).

Si la variabilidad entre grupos es mucho mayor que la de dentro, es que los grupos son realmente distintos. Si son parecidas, las diferencias observadas son ruido. El cociente de ambas es el estadístico $F$.

Chi-cuadrado: cuando los datos son categorías. ¿El método de pago depende de la edad? Aquí no hay medias que comparar: hay recuentos en una tabla. La chi-cuadrado compara lo observado con lo que cabría esperar si no hubiera relación, y suma las discrepancias.

3. Formalización

Comparación de dos medias, muestras independientes

Con varianzas iguales (contraste conjunto o supuesto razonable):

$$t=\frac{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)-({\mu }_1-{\mu }_2{)}_0}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}$$

con la cuasivarianza combinada

$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

Con varianzas distintas (Welch), el estadístico usa $\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$ y unos grados de libertad ajustados por la fórmula de Welch-Satterthwaite. Es la opción por defecto de todo software y la recomendable salvo que haya razón para suponer varianzas iguales.

Comparación de dos medias, datos apareados

Cuando cada observación de una muestra se corresponde con una de la otra (antes/después, gemelos, misma empresa en dos años), se trabaja con las diferencias $d_i=x_i-y_i$ y se hace un contraste de una sola muestra:

$$t=\frac{\bar{d}-{\mu }_{d0}}{s_d/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$$

Por qué es más potente. La variabilidad entre individuos desaparece: solo queda la del cambio. Tratar datos apareados como independientes desperdicia información y suele impedir detectar efectos reales.

Comparación de dos proporciones

$$z=\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},\hat{p}=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$$

Bajo $H_0$ las dos proporciones son iguales, y por eso se usa la proporción combinada en el denominador.

ANOVA de un factor

Se comparan $k$ grupos con $n_j$ observaciones cada uno, $N=\sum n_j$ en total.

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_k{H}_1:\text{al menos dos difieren}$$

Descomposición de la variabilidad. La suma de cuadrados total se parte en dos:

$$\underset{SCT}{\underbrace{\sum _j\sum _i(x_{ij}-\bar{x}{)}^2}}=\underset{SCE(\text{entre})}{\underbrace{\sum _j{n}_j({\bar{x}}_j-\bar{x}{)}^2}}+\underset{SCD(\text{dentro})}{\underbrace{\sum _j\sum _i(x_{ij}-{\bar{x}}_j{)}^2}}$$

donde $\bar{x}$ es la media global y ${\bar{x}}_j$ la del grupo $j$.

Tabla ANOVA:

Fuente	Suma de cuadrados	g.l.	Cuadrado medio	$F$
Entre grupos	$SCE$	$k-1$	$CME=\frac{SCE}{k-1}$	$\frac{CME}{CMD}$
Dentro	$SCD$	$N-k$	$CMD=\frac{SCD}{N-k}$
Total	$SCT$	$N-1$

$$F=\frac{CME}{CMD}\sim F_{k-1,N-k}\text{bajo }{H}_0$$

Se rechaza $H_0$ para valores grandes de $F$: el contraste es siempre unilateral derecho, porque solo un exceso de variabilidad entre grupos es evidencia contra la igualdad.

Supuestos: independencia, normalidad dentro de cada grupo y homocedasticidad (varianzas iguales). El ANOVA es bastante robusto ante desviaciones moderadas de normalidad si los grupos son equilibrados, pero sensible a varianzas muy distintas.

Con $k=2$, el ANOVA es equivalente al contraste $t$ de dos muestras, y de hecho $F=t^2$.

Comparaciones múltiples

Rechazar en el ANOVA dice que hay diferencias, no cuáles. Para localizarlas hay que comparar por parejas, pero controlando el error global.

Si se hacen $m$ contrastes independientes al nivel $\alpha$, la probabilidad de al menos un falso positivo es

$$1-(1-\alpha {)}^m$$

Con $m=3$ y $\alpha =0,05$ da $0,143$; con $m=10$, $0,401$.

Corrección de Bonferroni: usar $\alpha /m$ en cada comparación. Es conservadora pero simple y siempre válida. Existen alternativas más potentes (Tukey, Scheffé) diseñadas específicamente para el ANOVA.

Contrastes chi-cuadrado

Bondad de ajuste. ¿Se ajustan los datos a una distribución teórica?

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}\sim {\chi }_{k-1-m}^2$$

donde $O_i$ son las frecuencias observadas, $E_i$ las esperadas bajo $H_0$, y $m$ el número de parámetros estimados a partir de los datos.

Independencia (tablas de contingencia). ¿Están relacionadas dos variables categóricas? Con una tabla de $f$ filas y $c$ columnas:

$$E_{ij}=\frac{(\text{total fila }i)(\text{total columna }j)}{N}$$ $${\chi }^2=\sum _i\sum _j\frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}\sim {\chi }_{(f-1)(c-1)}^2$$

Condición de validez: todas las frecuencias esperadas deben ser $\ge 5$ (o al menos el 80 % de ellas). Si no, hay que agrupar categorías o usar el test exacto de Fisher.

El contraste detecta asociación, no causalidad ni dirección. Un ${\chi }^2$ significativo dice que las variables no son independientes; para saber en qué sentido hay que mirar qué celdas contribuyen más al estadístico.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Un banco mide el tiempo de atención (en minutos) en tres sucursales:

Sucursal	$n_j$	${\bar{x}}_j$	$s_j$
A	10	4,2	0,9
B	12	5,1	1,1
C	8	4,6	1,0

1. Contrasta si hay diferencias entre sucursales, al 5 %.
2. Si las hay, localízalas con Bonferroni.
3. ¿Qué habría pasado comparando las tres parejas sin corrección?

Paso 1. Media global.

$$N=10+12+8=30$$ $$\bar{x}=\frac{10(4,2)+12(5,1)+8(4,6)}{30}=\frac{42+61,2+36,8}{30}=\frac{140}{30}=4,6667$$

Paso 2. Suma de cuadrados entre grupos.

$$SCE=\sum _j{n}_j({\bar{x}}_j-\bar{x}{)}^2$$ $$=10(4,2-4,6667{)}^2+12(5,1-4,6667{)}^2+8(4,6-4,6667{)}^2$$ $$=10(0,21778)+12(0,18778)+8(0,00444)$$ $$=2,1778+2,2533+0,0356=4,4667$$

Paso 3. Suma de cuadrados dentro. Se reconstruye de las cuasivarianzas: $SC{D}_j=(n_j-1)s_j^2$.

$$SCD=9(0,81)+11(1,21)+7(1,00)=7,29+13,31+7,00=27,60$$

Paso 4. Tabla ANOVA.

Fuente	SC	g.l.	CM	$F$
Entre	4,4667	$3-1=2$	2,2333	2,185
Dentro	27,60	$30-3=27$	1,0222
Total	32,0667	29

$$F=\frac{2,2333}{1,0222}=2,185$$

Paso 5. Decisión. Valor crítico: $F_{2,27;0,05}=3,354$.

$$2,185<3,354⟹\text{NO se rechaza }{H}_0$$

Valor p aproximado: $p\approx 0,132$.

Conclusión. No hay evidencia de que las sucursales tengan tiempos medios distintos. Las diferencias observadas (0,9 minutos entre la mejor y la peor) son compatibles con la variabilidad natural entre clientes.

Paso 6. Comparaciones por parejas, para ver lo que habría pasado. Aunque el ANOVA no rechaza —y por tanto no procede seguir comparando—, hagámoslo para ilustrar el problema.

A frente a B, con $s_p^2=1,0222$ (el CMD del ANOVA), $s_p=1,011$:

$$t=\frac{4,2-5,1}{1,011\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{12}}}=\frac{-0,9}{1,011\sqrt{0,18333}}=\frac{-0,9}{1,011(0,42817)}=\frac{-0,9}{0,4329}=-2,079$$

Con 27 grados de libertad, $t_{27;0,025}=2,052$.

$$|-2,079|=2,079>2,052⟹\text{«significativo» al 5\%}$$

Valor p $\approx 0,047$.

A frente a C:

$$t=\frac{4,2-4,6}{1,011\sqrt{0,1+0,125}}=\frac{-0,4}{1,011(0,4743)}=\frac{-0,4}{0,4795}=-0,834(p\approx 0,41)$$

B frente a C:

$$t=\frac{5,1-4,6}{1,011\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{8}}}=\frac{0,5}{1,011(0,4564)}=\frac{0,5}{0,4614}=1,084(p\approx 0,29)$$

Paso 7. El problema, con y sin corrección.

Sin corregir, uno de los tres contrastes sale significativo ($p=0,047$) y el analista concluiría que la sucursal B es más lenta que la A.

Con Bonferroni, el nivel por comparación pasa a ser $0,05/3=0,0167$, con valor crítico $t_{27;0,00833}=2,552$:

$$2,079<2,552⟹\text{NO significativo}$$

Y coincide con el ANOVA, como debe ser.

La moraleja. El $p=0,047$ de A frente a B es exactamente el tipo de falso positivo que la corrección existe para evitar. Con tres comparaciones al 5 %, la probabilidad de encontrar al menos una diferencia falsa es

$$1-(0,95{)}^3=0,143$$

es decir, un 14 % en lugar del 5 % declarado.

El procedimiento correcto es en dos etapas: primero el ANOVA global; solo si rechaza, comparaciones por parejas con corrección. Saltarse el primer paso y comparar directamente es la vía rápida a conclusiones falsas.

Nota de gestión. Que no haya diferencias significativas no significa que sean iguales. Con 30 clientes en total, la potencia es baja: este estudio no detectaría diferencias moderadas. Si al banco le importa una diferencia de medio minuto, necesita muchos más datos antes de concluir que las sucursales rinden igual.

5. Errores típicos

Comparar todas las parejas sin corregir. Con $k$ grupos hay $k(k-1)/2$ comparaciones, y la probabilidad de un falso positivo crece muy deprisa. Con 5 grupos son 10 comparaciones y un 40 % de probabilidad de al menos un falso hallazgo.

Tratar datos apareados como independientes. Antes/después de la misma unidad son datos apareados. Ignorarlo desperdicia la mayor parte de la potencia del estudio.

Usar el ANOVA con varianzas muy distintas. Es sensible a la heterocedasticidad, especialmente con grupos de tamaños desiguales. Conviene comprobarlo (contraste de Levene) y, si falla, usar la alternativa de Welch.

Concluir cuál grupo difiere a partir del ANOVA. El ANOVA solo dice que hay diferencias. Localizarlas exige comparaciones posteriores.

Aplicar chi-cuadrado con frecuencias esperadas pequeñas. Con $E_{ij}<5$ la aproximación falla. Se agrupan categorías o se usa el test exacto de Fisher.

Usar las frecuencias observadas en el denominador de la chi-cuadrado. La fórmula es $(O-E{)}^2/E$, con la esperada abajo.

Confundir asociación con causalidad en una tabla de contingencia. Un ${\chi }^2$ significativo entre nivel de estudios y método de pago no dice que uno cause el otro, ni en qué dirección.

Olvidar los grados de libertad de la chi-cuadrado de independencia. Son $(f-1)(c-1)$, no el número de celdas.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Dos medias independientes

básico

Se comparan los salarios de dos departamentos:

	$n$	media (€)	$s$ (€)
Ventas	15	2850	420
Operaciones	18	2610	380

¿Hay diferencia significativa al 5 %? Supón varianzas iguales.

Ver solución

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2{H}_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$$

Cuasivarianza combinada:

$$s_p^2=\frac{14(420{)}^2+17(380{)}^2}{15+18-2}=\frac{14(176400)+17(144400)}{31}$$$$=\frac{2469600+2454800}{31}=\frac{4924400}{31}=158851,6$$$$s_p=398,56\text{ €}$$

Estadístico:

$$t=\frac{2850-2610}{398,56\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{18}}}=\frac{240}{398,56\sqrt{0,12222}}$$$$=\frac{240}{398,56(0,34960)}=\frac{240}{139,34}=1,722$$

Región crítica: $t_{31;0,025}=2,040$.

$$1,722<2,040⟹\text{no se rechaza}$$

Valor p $\approx 0,095$.

Conclusión. No hay evidencia, al 5 %, de diferencia salarial entre departamentos. La diferencia observada de 240 € es compatible con la variabilidad interna.

Intervalo de confianza: $240\pm 2,040(139,34)=(-44,3;524,3)$. Contiene el cero, coherente con el no rechazo. Y muestra que los datos son compatibles con desde una ligera ventaja de Operaciones hasta 524 € a favor de Ventas: el estudio no zanja nada.

Ejercicio 2 · Datos apareados

básico

Ocho comerciales pasan por una formación. Sus ventas mensuales (en miles de €) antes y después:

Comercial	1	2	3	4	5	6	7	8
Antes	42	38	51	45	33	47	40	44
Después	46	41	52	49	38	48	45	47

¿Ha mejorado la formación las ventas, al 5 %?

Ver solución

Son datos apareados: el mismo comercial antes y después. Se trabaja con las diferencias.

Comercial	1	2	3	4	5	6	7	8
$d$ (después $-$ antes)	4	3	1	4	5	1	5	3

$$\bar{d}=\frac{4+3+1+4+5+1+5+3}{8}=\frac{26}{8}=3,25$$$$\sum d_i^2=16+9+1+16+25+1+25+9=102$$$$\sum (d_i-\bar{d}{)}^2=102-8(3,25{)}^2=102-84,5=17,5$$$$s_d^2=\frac{17,5}{7}=2,5⟹s_d=1,581$$

Contraste unilateral ($H_1:{\mu }_d>0$):

$$t=\frac{3,25}{1,581/\sqrt{8}}=\frac{3,25}{0,559}=5,814$$

Región crítica: $t_{7;0,05}=1,895$.

$$5,814>1,895⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

Valor p $<0,001$.

Conclusión. Hay evidencia muy fuerte de que la formación aumentó las ventas, en unos 3250 € mensuales por comercial de media.

El valor del apareamiento. Si se hubieran tratado como muestras independientes, las medias serían 42,5 y 45,75, con desviaciones típicas en torno a 5,5 en cada grupo. El estadístico sería aproximadamente

$$t=\frac{3,25}{5,5\sqrt{2/8}}=\frac{3,25}{2,75}=1,18\text{(no significativo)}$$

Del 5,8 al 1,2. La diferencia entre comerciales (de 33 a 51) es mucho mayor que el efecto de la formación (de 1 a 5), y al aparear esa variabilidad desaparece por completo. Ignorar el apareamiento habría hecho invisible un efecto que todos los comerciales experimentaron.

Ejercicio 3 · Chi-cuadrado de independencia

medio

Una tienda registra el método de pago según el tramo de edad:

	Efectivo	Tarjeta	Móvil	Total
Menos de 30	20	55	75	150
30 a 55	45	90	45	180
Más de 55	65	45	10	120
Total	130	190	130	450

¿Depende el método de pago de la edad, al 1 %?

Ver solución

$$H_0:\text{edad y meˊtodo de pago son independientes}$$

Frecuencias esperadas: $E_{ij}=\frac{(\text{total fila})(\text{total columna})}{450}$

	Efectivo	Tarjeta	Móvil
$<30$	$\frac{150\cdot 130}{450}=43,33$	$\frac{150\cdot 190}{450}=63,33$	$\frac{150\cdot 130}{450}=43,33$
30-55	$52,00$	$76,00$	$52,00$
$>55$	$34,67$	$50,67$	$34,67$

Todas $\ge 5$: la aproximación es válida.

Estadístico:

$${\chi }^2=\sum \frac{(O-E{)}^2}{E}$$

Celda	$O$	$E$	$(O-E{)}^2/E$
$<$30, efectivo	20	43,33	$\frac{544,3}{43,33}=12,56$
$<$30, tarjeta	55	63,33	$\frac{69,4}{63,33}=1,10$
$<$30, móvil	75	43,33	$\frac{1002,9}{43,33}=23,15$
30-55, efectivo	45	52,00	$\frac{49,0}{52,00}=0,94$
30-55, tarjeta	90	76,00	$\frac{196,0}{76,00}=2,58$
30-55, móvil	45	52,00	$\frac{49,0}{52,00}=0,94$
$>$55, efectivo	65	34,67	$\frac{920,0}{34,67}=26,54$
$>$55, tarjeta	45	50,67	$\frac{32,1}{50,67}=0,63$
$>$55, móvil	10	34,67	$\frac{608,6}{34,67}=17,56$

$${\chi }^2=12,56+1,10+23,15+0,94+2,58+0,94+26,54+0,63+17,56=86,00$$

Grados de libertad: $(3-1)(3-1)=4$.

Valor crítico: ${\chi }_{4;0,01}^2=13,277$.

$$86,00\gg 13,277⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

Valor p $<0,0001$.

Conclusión. El método de pago depende claramente de la edad.

Dónde está la asociación. Las celdas que más contribuyen al estadístico señalan el patrón:

• Mayores de 55 y efectivo (26,5): usan efectivo mucho más de lo esperado (65 frente a 35).
• Menores de 30 y móvil (23,2): pagan con móvil mucho más de lo esperado (75 frente a 43).
• Mayores de 55 y móvil (17,6): casi no usan móvil (10 frente a 35).

El patrón es nítido: el pago por móvil se concentra en los jóvenes y el efectivo en los mayores, mientras la tarjeta está repartida de forma bastante uniforme (sus tres contribuciones son las más pequeñas).

Decisión de negocio. Si la tienda quiere reducir el manejo de efectivo, la palanca no es una campaña general sino una dirigida al segmento de más de 55, que es donde está concentrado.

Ejercicio 4 · ANOVA completo con comparaciones posteriores

avanzado

Cuatro estrategias de precios se prueban en tiendas distintas. Las ventas semanales (miles de €) son:

Estrategia	Datos
A (sin descuento)	18, 20, 19, 21, 17
B (10 % descuento)	24, 26, 23, 25, 27
C (2x1)	22, 21, 24, 23, 20
D (regalo)	19, 18, 21, 20, 22

1. Realiza el ANOVA al 5 %.
2. Si procede, localiza las diferencias con Bonferroni.
3. Recomienda una estrategia.

Ver solución

Paso 1. Medias por grupo.

$${\bar{x}}_A=\frac{95}{5}=19,0{\bar{x}}_B=\frac{125}{5}=25,0$$$${\bar{x}}_C=\frac{110}{5}=22,0{\bar{x}}_D=\frac{100}{5}=20,0$$$$\bar{x}=\frac{95+125+110+100}{20}=\frac{430}{20}=21,5$$

Paso 2. Suma de cuadrados entre.

$$SCE=5\left[(19-21,5{)}^2+(25-21,5{)}^2+(22-21,5{)}^2+(20-21,5{)}^2\right]$$$$=5\left[6,25+12,25+0,25+2,25\right]=5(21)=105$$

Paso 3. Suma de cuadrados dentro. Grupo a grupo:

$$A:(18-19{)}^2+(20-19{)}^2+(19-19{)}^2+(21-19{)}^2+(17-19{)}^2=1+1+0+4+4=10$$$$B:1+1+4+0+4=10$$$$C:0+1+4+1+4=10$$$$D:1+4+1+0+4=10$$$$SCD=40$$

Paso 4. Tabla ANOVA.

Fuente	SC	g.l.	CM	$F$
Entre	105	3	35,00	14,00
Dentro	40	16	2,50
Total	145	19

$$F=\frac{35}{2,5}=14,0$$

Valor crítico: $F_{3,16;0,05}=3,239$.

$$14,0\gg 3,239⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

Valor p $<0,001$. Hay diferencias entre estrategias.

Paso 5. Comparaciones con Bonferroni. Hay $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ parejas, así que el nivel por comparación es $0,05/6=0,00833$, con valor crítico $t_{16;0,00417}=3,252$.

Error típico de cada diferencia, con $s_p^2=CMD=2,5$ y $n_j=5$:

$$ET=\sqrt{2,5\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)}=\sqrt{1,0}=1,0$$

Muy cómodo: cada diferencia dividida por 1 da directamente el estadístico.

Comparación	Diferencia	$t$	¿Significativa?
B $-$ A	6,0	6,00	Sí
B $-$ D	5,0	5,00	Sí
B $-$ C	3,0	3,00	No ($3,00<3,252$)
C $-$ A	3,0	3,00	No
C $-$ D	2,0	2,00	No
D $-$ A	1,0	1,00	No

Paso 6. Interpretación y recomendación.

Lo que se puede afirmar: la estrategia B (10 % de descuento) vende significativamente más que A (sin descuento) y que D (regalo). Su ventaja sobre C (2x1) es de 3000 € pero no alcanza la significación tras corregir por comparaciones múltiples.

Nótese el detalle importante: B $-$ C y C $-$ A tienen el mismo estadístico (3,00) y sin corrección ambas serían significativas ($t_{16;0,025}=2,120$). La corrección de Bonferroni las descarta a las dos. Es el precio de hacer seis comparaciones: se pierde potencia a cambio de controlar el error global.

Recomendación matizada. Los datos apoyan claramente B frente a A o D. Entre B y C no hay evidencia suficiente, y aquí entra la economía que las ventas no capturan:

• B es un 10 % de descuento sobre las ventas: si vende 25 000 € semanales, el descuento cuesta unos 2500 €.
• C es un 2x1, que en la práctica es un 50 % de descuento sobre las unidades vendidas en promoción: bastante más caro por unidad.

Con ventas parecidas (25 frente a 22) y un coste promocional muy distinto, B domina a C por margen aunque no por ventas. La recomendación es B, y si se quisiera zanjar la comparación con C haría falta más muestra: con 5 tiendas por grupo la potencia es limitada.

Recordatorio metodológico. Todo esto supone que las tiendas se asignaron al azar a cada estrategia. Si se aplicó B en las tiendas grandes y A en las pequeñas, la diferencia mide el tamaño de la tienda, no la estrategia. Es el mismo problema de causalidad que abre el bloque 7 en el tema 29.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Contraste de hipótesis: errores tipo I y II, significación y potencia — tema 27

Te abre la puerta a:

Cierra el bloque 6. Con la inferencia montada, el bloque 7 pasa a modelar relaciones entre variables en lugar de comparar grupos: la regresión es, en el fondo, un ANOVA con variables explicativas continuas, y su contraste $F$ es exactamente el de este tema.

8. Recursos externos

• Inferencia Estadística — Luis Rincón (UNAM). Contrastes de dos muestras, ANOVA y chi-cuadrado con el desarrollo formal completo.
• Sanabria, Comprendiendo la Estadística Inferencial (PDF libre). Comparación de medias y proporciones con ejemplos aplicados.
• Apuntes UGR — Estadística II, tema 4. Tablas de contrastes y de la distribución $F$.
• Gretl. Modelo → Otros modelos lineales → ANOVA da la tabla completa, y Ver → Tablas cruzadas calcula la chi-cuadrado de independencia con las frecuencias esperadas. Merece la pena reproducir el ejemplo del banco para comprobar los cálculos.