Intervalos de confianza para distintos parámetros

1. La pregunta

Toda encuesta electoral termina igual: «40 % de intención de voto, con un margen de error del ±3 % para un nivel de confianza del 95 %».

Casi nadie sabe qué significa exactamente ese 95 %. La respuesta intuitiva —«hay un 95 % de probabilidad de que el valor real esté entre 37 y 43»— es incorrecta, y entender por qué es incorrecta es entender qué es la inferencia clásica.

Este tema construye los intervalos y, sobre todo, enseña a leerlos.

2. Intuición

El tema 25 dio un número: el mejor valor único. Pero un número solo esconde su propia precisión. Decir «el paro es del 12,4 %» no distingue entre una encuesta a 60 000 personas y una a 40.

Un intervalo de confianza añade esa información: es una estimación con su incertidumbre incorporada.

Cómo se construye. Sabemos por el tema 24 que $\bar{X}$ se distribuye alrededor de $\mu$ con desviación típica $\sigma /\sqrt{n}$. Eso significa que el 95 % de las muestras dan una media que está a menos de 1,96 errores típicos de $\mu$.

Dando la vuelta al razonamiento: si me alejo 1,96 errores típicos a cada lado de mi $\bar{x}$, en el 95 % de las muestras habré atrapado a $\mu$.

Y aquí está el matiz que casi todo el mundo se salta. $\mu$ no es aleatorio: es una constante desconocida. El intervalo sí es aleatorio, porque depende de la muestra. Una vez calculado un intervalo concreto —«entre 37 y 43»—, $\mu$ está dentro o no está: no hay probabilidad que valga.

Lo que el 95 % describe es el procedimiento, no el resultado. Si repitieras el estudio mil veces, unos 950 de los intervalos construidos contendrían el valor real. El tuyo es uno de esos mil, y no sabes cuál.

Es como una máquina de anillas de feria que acierta el 95 % de los lanzamientos. Tras lanzar, el anillo ha entrado o no ha entrado. El 95 % describe la máquina.

3. Formalización

Definición

Un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$ para un parámetro $\theta$ es un par de estadísticos $(L,U)$ tales que

$$P(L\le \theta \le U)=1-\alpha$$

donde la probabilidad se refiere a la aleatoriedad de $L$ y $U$, no a la de $\theta$.

$\alpha$ es el nivel de significación y $1-\alpha$ el nivel de confianza. Los valores habituales son $\alpha =0,05$ (95 %), $0,01$ (99 %) y $0,10$ (90 %).

Estructura común

Casi todos los intervalos de este tema tienen la misma forma:

$$\text{estimador}\pm (\text{valor crıˊtico})\times (\text{error tıˊpico})$$

Al segundo sumando se le llama margen de error o precisión. Cambia el valor crítico según la distribución, y el error típico según el parámetro; la estructura es siempre la misma.

Intervalo para la media, con $\sigma$ conocida

$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Se usa cuando la población es normal, o cuando $n$ es grande por el teorema central del límite. Los valores críticos:

$1-\alpha$	$z_{\alpha /2}$
90 %	1,645
95 %	1,960
99 %	2,576

En la práctica $\sigma$ casi nunca se conoce, así que este caso es sobre todo didáctico.

Intervalo para la media, con $\sigma$ desconocida

$$\bar{x}\pm t_{n-1;\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Se sustituye $\sigma$ por la cuasidesviación típica muestral $s$, y el valor crítico pasa a ser de la $t$ de Student con $n-1$ grados de libertad.

Por qué la $t$ y no la normal. Al estimar también $\sigma$ se añade incertidumbre, y la $t$ tiene colas más pesadas para reflejarla. Con $n$ pequeño el intervalo es apreciablemente más ancho:

$n$	$t_{n-1;0,025}$	frente a $z=1,96$
5	2,776	$+42\%$
15	2,145	$+9\%$
30	2,045	$+4\%$
120	1,980	$+1\%$

A partir de unas 30 observaciones la diferencia es pequeña, pero usar $t$ nunca es un error; usar $z$ con muestras pequeñas sí lo es.

Requisito: la población debe ser aproximadamente normal, sobre todo con $n$ pequeño. Con $n$ grande, el teorema central del límite protege.

Intervalo para una proporción

$$\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Válido si $n\hat{p}\ge 5$ y $n(1-\hat{p})\ge 5$. Se usa $\hat{p}$ en el error típico porque $p$ es justamente lo desconocido.

Tamaño de muestra necesario para un margen $E$ dado:

$$n\ge \frac{z_{\alpha /2}^2\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$$

Y si no hay información previa sobre $p$, se toma el caso más desfavorable $\hat{p}=0,5$, que maximiza $p(1-p)$:

$$n\ge \frac{z_{\alpha /2}^2}{4E^2}$$

Intervalo para la varianza

Si la población es normal, se usa la chi-cuadrado del tema 24:

$$\left(\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{n-1;\alpha /2}^2},\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{n-1;1-\alpha /2}^2}\right)$$

No es simétrico alrededor de $s^2$, porque la chi-cuadrado no lo es. Y es muy sensible al supuesto de normalidad: con poblaciones asimétricas, la cobertura real puede alejarse mucho del nivel nominal.

Intervalo para la diferencia de medias

Con dos muestras independientes y varianzas desconocidas pero supuestas iguales:

$$({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)\pm t_{n_1+n_2-2;\alpha /2}{s}_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

donde $s_p$ es la cuasivarianza combinada:

$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

Si las varianzas no pueden suponerse iguales se usa la aproximación de Welch, con grados de libertad ajustados. En Gretl y en cualquier software es la opción por defecto, y es la prudente.

Qué determina la anchura

$$\text{Anchura}=2\times (\text{valor crıˊtico})\times \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Tres palancas, con efectos muy distintos:

• Más confianza $⟹$ más ancho. Un intervalo al 99 % es un 32 % más ancho que uno al 95 %. Certeza y precisión se compran una a costa de la otra.
• Más muestra $⟹$ más estrecho, pero solo a razón de $\sqrt{n}$: cuadruplicar la muestra reduce el margen a la mitad.
• Menos variabilidad $⟹$ más estrecho. No se controla, pero un diseño de muestreo estratificado puede reducirla.

Un intervalo del 100 % de confianza existe y es $(-\infty ,+\infty )$: siempre contiene al parámetro y no informa de nada. La confianza total y la información son incompatibles.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una consultora estudia el gasto mensual en publicidad digital de las pymes de un sector. Una muestra aleatoria de 25 empresas da $\bar{x}=3200$ € y $s=850$ €.

1. Construye el intervalo de confianza al 95 % para el gasto medio.
2. Construye el de 99 % y compara.
3. La consultora quiere un margen de error de 200 €. ¿Cuántas empresas necesita?
4. De esas 25 empresas, 9 usan publicidad en vídeo. Estima esa proporción con un intervalo al 95 %.
5. Un cliente afirma que «el gasto medio del sector es de 3500 €». ¿Es compatible con los datos?

Paso 1. Intervalo al 95 % para la media. $\sigma$ es desconocida y $n=25$ es pequeño: toca la $t$ de Student con $24$ grados de libertad.

$$t_{24;0,025}=2,064$$ $$\text{Error tıˊpico}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{850}{5}=170\text{ €}$$ $$\text{Margen}=2,064\times 170=350,9\text{ €}$$ $$I{C}_{95\%}=3200\pm 350,9=(2849,1;3550,9)$$

Lectura correcta: «con un procedimiento que acierta el 95 % de las veces, estimamos que el gasto medio del sector está entre 2849 y 3551 €».

Lectura incorrecta: «hay un 95 % de probabilidad de que el gasto medio esté entre 2849 y 3551». El gasto medio es una constante: o está o no está.

Paso 2. Al 99 %.

$$t_{24;0,005}=2,797$$ $$\text{Margen}=2,797\times 170=475,5\text{ €}$$ $$I{C}_{99\%}=(2724,5;3675,5)$$

Comparación:

Confianza	Intervalo	Anchura
95 %	(2849; 3551)	702 €
99 %	(2725; 3676)	951 €

Pasar del 95 % al 99 % ensancha el intervalo un 35 %. Ese es el precio de la seguridad adicional: más confianza, menos precisión. Ninguno de los dos es «mejor»; dependen de lo que cueste equivocarse.

Paso 3. Tamaño de muestra para un margen de 200 €. Usamos $s=850$ del piloto como estimación de $\sigma$, y $z=1,96$ (con $n$ grande la $t$ converge a la normal):

$$1,96\cdot \frac{850}{\sqrt{n}}\le 200⟹\sqrt{n}\ge \frac{1666}{200}=8,33$$ $$n\ge 69,4⟹n=70\text{ empresas}$$

Comprobación con la $t$, que es más exigente: con $n=70$, $t_{69;0,025}=1,995$ y el margen sería $1,995\times 850/\sqrt{70}=202,7$ €, ligeramente por encima de 200. Con $n=72$ sale $199,9$ €. La respuesta prudente es 72 empresas.

Paso 4. Intervalo para la proporción.

$$\hat{p}=\frac{9}{25}=0,36$$

Comprobamos las condiciones: $n\hat{p}=9\ge 5✓$ y $n(1-\hat{p})=16\ge 5✓$.

$$\text{Error tıˊpico}=\sqrt{\frac{0,36\times 0,64}{25}}=\sqrt{\frac{0,2304}{25}}=\sqrt{0,009216}=0,09600$$ $$\text{Margen}=1,96\times 0,096=0,1882$$ $$I{C}_{95\%}=0,36\pm 0,188=(0,172;0,548)$$

Entre el 17 % y el 55 %. Un intervalo enorme: con 25 empresas apenas se puede decir nada sobre esa proporción. Es información honesta, y mucho más útil que publicar «el 36 % usa vídeo» como si fuera un dato firme.

Para un margen de ±5 puntos harían falta

$$n\ge \frac{1,96^2(0,36)(0,64)}{0,05^2}=\frac{3,8416\times 0,2304}{0,0025}=354\text{ empresas}$$

Paso 5. La afirmación del cliente. El valor 3500 € está dentro del intervalo al 95 % (2849; 3551).

Conclusión: los datos no permiten descartar que el gasto medio sea 3500 €. No lo confirman —el mejor estimador puntual sigue siendo 3200— pero tampoco lo contradicen: la diferencia de 300 € es menor que la incertidumbre del estudio.

Este razonamiento es exactamente un contraste de hipótesis, y es la conexión con el tema 27: un valor está dentro del intervalo de confianza al $(1-\alpha )$ si y solo si no se rechaza al nivel $\alpha$. Son dos formas de presentar la misma inferencia.

Comprobación del vínculo. El estadístico sería

$$t=\frac{3200-3500}{170}=-1,765$$

cuyo valor absoluto es menor que $t_{24;0,025}=2,064$: no se rechaza, coherente con que 3500 esté dentro del intervalo.

5. Errores típicos

Decir «hay un 95 % de probabilidad de que $\mu$ esté en el intervalo». $\mu$ es una constante. La probabilidad se refiere al procedimiento bajo muestreo repetido. Es el error de interpretación más extendido de toda la estadística.

Usar $z$ en lugar de $t$ con $\sigma$ desconocida y $n$ pequeño. Con $n=10$, el intervalo con $z$ es un 13 % más estrecho de lo que debería: aparenta una precisión que no tiene.

Olvidar los grados de libertad. La $t$ es una familia. $t_{24}$ y $t_9$ son valores muy distintos.

Aplicar el intervalo de la proporción sin comprobar $n\hat{p}\ge 5$. Con proporciones extremas y muestras pequeñas la aproximación normal falla, y el intervalo puede incluso salirse de $[0,1]$.

Construir un intervalo para la varianza con datos claramente no normales. A diferencia del de la media, este no está protegido por el teorema central del límite. Su cobertura real puede ser del 70 % cuando se cree que es del 95 %.

Interpretar el intervalo como el rango donde caen los datos. No: es el rango plausible para el parámetro. Los datos individuales se dispersan mucho más ($s$ frente a $s/\sqrt{n}$).

Creer que un intervalo más estrecho es siempre mejor. Un intervalo estrecho calculado con un nivel de confianza bajo, o con datos sesgados, es peor que uno ancho y honesto.

Comparar dos intervalos que se solapan y concluir que no hay diferencia. El solapamiento de dos intervalos no equivale a que la diferencia no sea significativa. Para eso hay que construir el intervalo de la diferencia, que es más estrecho de lo que sugiere la comparación visual.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Intervalo con sigma conocida

básico

Los salarios de un sector tienen desviación típica conocida $\sigma =400$ €. Una muestra de 100 trabajadores da una media de 2350 €.

Construye el intervalo de confianza al 95 % e interpreta.

Ver solución

Con $\sigma$ conocida y $n$ grande, se usa la normal:

$$\text{Error tıˊpico}=\frac{400}{\sqrt{100}}=40\text{ €}$$$$\text{Margen}=1,96\times 40=78,4\text{ €}$$$$I{C}_{95\%}=2350\pm 78,4=(2271,6;2428,4)$$

Interpretación. El salario medio del sector está entre 2272 y 2428 €, con un procedimiento que acierta 95 de cada 100 veces.

Detalle que conviene notar. La desviación típica de los salarios individuales es 400 €, pero el intervalo para la media tiene un margen de solo 78 €. No hay contradicción: una cosa es cuánto varían los salarios entre trabajadores, y otra cuánto puede desviarse el promedio de cien de ellos.

Ejercicio 2 · Muestra pequeña

básico

Una auditoría revisa 12 facturas y encuentra un importe medio de 1450 € con una cuasidesviación típica de 320 €. Se supone normalidad.

1. Construye el intervalo al 95 %.
2. ¿Cuánto se habría estrechado usando erróneamente la normal?

Ver solución

1. Con $\sigma$ desconocida y $n=12$, toca $t$ con 11 grados de libertad:

$$t_{11;0,025}=2,201$$$$\text{Error tıˊpico}=\frac{320}{\sqrt{12}}=\frac{320}{3,464}=92,38\text{ €}$$$$\text{Margen}=2,201\times 92,38=203,3\text{ €}$$$$I{C}_{95\%}=1450\pm 203,3=(1246,7;1653,3)$$

2. Con $z=1,96$:

$$\text{Margen}=1,96\times 92,38=181,1\text{ €}⟹(1268,9;1631,1)$$

El intervalo incorrecto sería un 11 % más estrecho.

Por qué importa. No es solo cuestión de anchura: la cobertura real de ese intervalo más estrecho no sería del 95 % sino de aproximadamente el 92 %. Se estaría afirmando más precisión de la que los datos permiten, y con muestras aún menores el problema se agrava: con $n=5$, el intervalo con $z$ tendría una cobertura real cercana al 88 %.

Ejercicio 3 · Diferencia de medias

medio

Se comparan los tiempos de resolución de incidencias de dos proveedores:

	$n$	media (h)	$s$ (h)
Proveedor A	18	6,4	1,8
Proveedor B	22	7,9	2,1

Construye el intervalo al 95 % para la diferencia de medias, suponiendo varianzas iguales, y decide si hay evidencia de que B sea más lento.

Ver solución

Cuasivarianza combinada:

$$s_p^2=\frac{(18-1)(1,8{)}^2+(22-1)(2,1{)}^2}{18+22-2}=\frac{17(3,24)+21(4,41)}{38}$$$$=\frac{55,08+92,61}{38}=\frac{147,69}{38}=3,887$$$$s_p=1,972\text{ h}$$

Error típico de la diferencia:

$$s_p\sqrt{\frac{1}{18}+\frac{1}{22}}=1,972\sqrt{0,05556+0,04545}=1,972\sqrt{0,10101}$$$$=1,972\times 0,3178=0,6267\text{ h}$$

Valor crítico: $t_{38;0,025}=2,024$.

Intervalo:

$$(6,4-7,9)\pm 2,024(0,6267)=-1,5\pm 1,269$$$$I{C}_{95\%}=(-2,769;-0,231)\text{ horas}$$

Conclusión. El intervalo está completamente por debajo de cero, lo que significa que ${\mu }_A-{\mu }_B<0$: hay evidencia de que A es más rápido que B, con una ventaja de entre 0,23 y 2,77 horas.

Cómo se comunica. «El proveedor A resuelve las incidencias entre 0,2 y 2,8 horas más rápido que B, con un 95 % de confianza». Nótese que el intervalo es ancho: se sabe que A es mejor, pero no cuánto mejor con precisión.

El aviso del solapamiento. Los intervalos individuales serían aproximadamente $(5,5;7,3)$ para A y $(7,0;8,8)$ para B: se solapan entre 7,0 y 7,3. Quien mirase solo eso concluiría que no hay diferencia significativa, y se equivocaría. El intervalo de la diferencia es el que responde a la pregunta, y este no contiene el cero.

Ejercicio 4 · Diseñar un estudio con presupuesto limitado

avanzado

Un ayuntamiento quiere estimar la proporción de hogares con dificultades para pagar la vivienda. Estudios anteriores sugieren que ronda el 22 %.

1. ¿Cuántos hogares hay que encuestar para un margen de ±3 puntos al 95 %?
2. ¿Y si no hubiera información previa sobre la proporción?
3. El presupuesto solo alcanza para 400 encuestas. ¿Qué margen se obtiene, y qué opciones quedan?
4. Tras encuestar 400 hogares, 104 declaran dificultades. Construye el intervalo y evalúa la afirmación política «una cuarta parte de los hogares tiene problemas».

Ver solución

1. Con información previa ($\hat{p}=0,22$):

$$n\ge \frac{1,96^2(0,22)(0,78)}{0,03^2}=\frac{3,8416\times 0,1716}{0,0009}=\frac{0,65922}{0,0009}=732,5$$

733 hogares.

2. Sin información previa, caso más desfavorable $\hat{p}=0,5$:

$$n\ge \frac{1,96^2}{4(0,03{)}^2}=\frac{3,8416}{0,0036}=1067,1$$

1068 hogares, un 46 % más.

Lo que ilustra. La información previa vale dinero: saber que la proporción ronda el 22 % ahorra 335 encuestas. Y el caso $p=0,5$ es el peor porque $p(1-p)$ es máximo ahí: la incertidumbre sobre una proporción es mayor cuanto más cerca esté de la mitad.

3. Con 400 encuestas.

$$\text{margen}=1,96\sqrt{\frac{0,22\times 0,78}{400}}=1,96\sqrt{0,000429}=1,96(0,02071)=0,0406$$

±4,1 puntos, frente a los ±3 deseados.

Opciones ante la restricción:

• Aceptar el margen mayor y comunicarlo con honestidad: ±4 puntos sigue siendo útil para orientar una política.
• Bajar el nivel de confianza al 90 %: con $z=1,645$ el margen sería $1,645(0,02071)=0,0341$, es decir, ±3,4 puntos. Se gana precisión a costa de seguridad.
• Muestreo estratificado por distritos, que reduce la varianza sin aumentar $n$ si la proporción difiere mucho entre zonas. Suele ser la mejor opción y no cuesta más dinero, solo más diseño.
• Reducir la pretensión: quizá no haga falta ±3 puntos para la decisión que se va a tomar. Conviene preguntarse qué precisión cambia la política.

4. Resultado del estudio.

$$\hat{p}=\frac{104}{400}=0,26$$

Condiciones: $n\hat{p}=104\ge 5$ y $n(1-\hat{p})=296\ge 5$ $✓$.

$$\text{Error tıˊpico}=\sqrt{\frac{0,26\times 0,74}{400}}=\sqrt{\frac{0,1924}{400}}=\sqrt{0,000481}=0,02193$$$$\text{Margen}=1,96\times 0,02193=0,04298$$$$I{C}_{95\%}=0,26\pm 0,043=(0,217;0,303)$$

Entre el 21,7 % y el 30,3 %.

Evaluación de la afirmación política. «Una cuarta parte» es el 25 %, y 0,25 está dentro del intervalo. Por tanto:

• La afirmación es compatible con los datos: no se puede rechazar.
• Pero el intervalo también incluye el 22 % y el 30 %. Los datos no distinguen entre «una quinta parte» y «casi un tercio».
• La estimación puntual es 26 %, algo por encima del 25 % afirmado, pero la diferencia está muy dentro del margen de error.

La comunicación honesta sería: «entre el 22 % y el 30 % de los hogares declara dificultades, con una estimación central del 26 %». Redondear a «una cuarta parte» es defendible; presentarlo como un dato exacto, no.

Nota metodológica. Todo esto supone muestreo aleatorio. Si las encuestas se hicieran en la calle a quien pasara, el sesgo de selección invalidaría el intervalo entero, por muy bien calculado que estuviera —el punto que cerraba el tema 24—.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Estimación puntual: sesgo, eficiencia y consistencia — tema 25

Te abre la puerta a:

• Contraste de hipótesis: errores tipo I y II, significación y potencia — tema 27

8. Recursos externos

• Sanabria, Comprendiendo la Estadística Inferencial (PDF libre). Es aquí donde este libro es más valioso: dedica espacio a explicar qué significa realmente la confianza de un intervalo, que es el punto donde casi todo el mundo se pierde.
• Inferencia Estadística — Luis Rincón (UNAM). Construcción formal de los intervalos para media, proporción y varianza.
• Apuntes UGR — Estadística II, tema 4. Formulario compacto con todos los casos.
• Gretl. En Herramientas → Calculadora de estadísticos de contraste se obtienen intervalos para media, proporción, varianza y diferencia de medias introduciendo los estadísticos muestrales. Útil para comprobar los cálculos a mano.