Endogeneidad, variables instrumentales, ecuaciones simultáneas y elección discreta

1. La pregunta

Un economista quiere estimar la curva de demanda: cuánto cae la cantidad cuando sube el precio. Toma datos de precio y cantidad de un mercado durante veinte años y hace una regresión.

Lo que obtiene no es la curva de demanda. Ni tampoco la de oferta. Es una nube de puntos de equilibrio, y cada uno es la intersección de dos curvas que se han movido las dos. La regresión estima algo que no es ninguna de las dos.

Este es el problema de la endogeneidad, y a diferencia de la heterocedasticidad del tema 32 o la autocorrelación del tema 33, sí sesga los coeficientes. Es el problema más serio de la econometría y el que cierra el bloque 7.

2. Intuición

Qué es la endogeneidad. Un regresor es endógeno cuando está correlacionado con la perturbación. Y como la perturbación contiene todo lo no observado, eso significa que la variable explicativa lleva dentro información de lo que no se ha medido.

MCO no puede distinguir el efecto de $x$ del de lo que va escondido con $x$. Y el sesgo no desaparece con más datos: el estimador converge, pero a un número que no es el parámetro.

Las tres fuentes. Ya han ido apareciendo por el camino:

• Variable omitida (tema 29): la capacidad afecta al salario y va con los estudios.
• Simultaneidad: precio y cantidad se determinan a la vez.
• Error de medida en el regresor: si $x$ está mal medida, el error de medida entra a la vez en el regresor observado y en la perturbación.

La idea de las variables instrumentales. Si $x$ está contaminada, hay que buscar una parte de $x$ que esté limpia. Un instrumento es una variable que mueve a $x$ pero no tiene nada que ver con lo no observado.

La analogía: para saber si tomar un medicamento cura, no sirve comparar a quien lo toma con quien no —quien lo toma está más enfermo—. Pero si a unos se les asignó por sorteo, el sorteo es un instrumento: mueve la probabilidad de tomarlo y es independiente de todo lo demás.

En economía los instrumentos son sorteos naturales: un cambio de ley que afectó a unos y no a otros, la distancia a la universidad, el clima.

Y elección discreta. Cuando lo que se explica es un sí/no —comprar o no, aprobar o no un crédito—, la regresión lineal predice probabilidades mayores que 1 o negativas. Hacen falta modelos que respeten el rango: logit y probit.

3. Formalización

Endogeneidad

Un regresor $x_j$ es endógeno si

$$\mathrm{Cov}(x_j,u)\ne 0$$

Esto viola el supuesto 4 de Gauss-Markov (tema 30) y tiene una consecuencia mucho más grave que los problemas de los temas anteriores:

$$\mathrm{plim}{\hat{\beta }}_{MCO}=\beta +\frac{\mathrm{Cov}(x,u)}{\mathrm{Var}(x)}\ne \beta$$

MCO es sesgado E inconsistente. Más datos dan una estimación más precisa de un valor equivocado.

Problema	¿Sesga?	¿Inconsistente?	Tema
Heterocedasticidad	No	No	32
Autocorrelación	No*	No*	33
Multicolinealidad	No	No	33
Endogeneidad	Sí	Sí	este

*Salvo con variable dependiente retardada.

Variables instrumentales

Una variable $z$ es un instrumento válido para $x$ endógena si cumple dos condiciones:

1. Relevancia: $\mathrm{Cov}(z,x)\ne 0$. El instrumento debe mover a la variable endógena. Es contrastable.

2. Exogeneidad (o restricción de exclusión): $\mathrm{Cov}(z,u)=0$. El instrumento no debe afectar a $y$ por ningún otro camino que a través de $x$. No es contrastable si hay un solo instrumento: hay que defenderla con argumentos económicos.

La segunda condición es la que hace difícil este método. Casi todos los instrumentos propuestos en la literatura han sido discutidos por ahí.

Estimador de variables instrumentales

Con un instrumento y un regresor endógeno:

$${\hat{\beta }}_{VI}=\frac{\mathrm{Cov}(z,y)}{\mathrm{Cov}(z,x)}$$

En forma matricial, con $\mathbf{Z}$ la matriz de instrumentos:

$${\hat{\mathbf{\beta }}}_{VI}=({\mathbf{Z}}^{\prime }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{Z}}^{\prime }\mathbf{y}$$

Es consistente pero sesgado en muestras finitas, y siempre menos eficiente que MCO. Es el precio de la consistencia: se renuncia a precisión para evitar el sesgo.

Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

El procedimiento operativo, y el que generaliza a varios instrumentos y varios endógenos.

Primera etapa. Regresar la variable endógena sobre todos los instrumentos y todos los regresores exógenos del modelo:

$$x={\pi }_0+{\pi }_{1}z+{\mathbf{\pi }}_2^{\prime }\mathbf{w}+v⟹\hat{x}$$

$\hat{x}$ es la parte de $x$ explicada por variables exógenas: la parte limpia.

Segunda etapa. Regresar $y$ sobre $\hat{x}$ y los exógenos:

$$y={\beta }_0+{\beta }_1\hat{x}+{\mathbf{\beta }}_2^{\prime }\mathbf{w}+\text{error}$$

Advertencia práctica: los errores estándar de esta segunda regresión no son correctos si se hace a mano, porque no tienen en cuenta que $\hat{x}$ es una estimación. Hay que usar el comando de MC2E del software, que los calcula bien.

Condición de orden. Se necesitan al menos tantos instrumentos como variables endógenas. Si hay más, el modelo está sobreidentificado y —esta es la ventaja— la exogeneidad se puede contrastar parcialmente.

Diagnóstico

Contraste de Hausman. Contrasta $H_0$: el regresor es exógeno (y por tanto MCO es válido y preferible). Compara ${\hat{\beta }}_{MCO}$ con ${\hat{\beta }}_{VI}$: si difieren mucho, hay endogeneidad.

Instrumentos débiles. Si $\mathrm{Cov}(z,x)$ es pequeña, el estimador VI se vuelve muy impreciso y su sesgo en muestras finitas puede superar al de MCO. La regla práctica es exigir un estadístico $F$ de la primera etapa mayor que 10.

Un instrumento débil es peor que ninguno: da la apariencia de haber resuelto el problema mientras produce estimaciones erráticas.

Contraste de sobreidentificación (Sargan-Hansen). Con más instrumentos que endógenos, contrasta si los instrumentos «sobrantes» son exógenos. No valida los instrumentos: si todos comparten el mismo defecto, el contraste no lo detecta.

Sistemas de ecuaciones simultáneas

Cuando varias variables se determinan a la vez. El ejemplo canónico:

$$\{\begin{array}{ll}{q}^d={\alpha }_0+{\alpha }_{1}p+{\alpha }_{2}r+u_1& \text{(demanda)}\\ q^s={\gamma }_0+{\gamma }_{1}p+{\gamma }_{2}c+u_2& \text{(oferta)}\\ q^d=q^s=q& \text{(equilibrio)}\end{array}$$

con $r$ la renta (desplaza la demanda) y $c$ el coste (desplaza la oferta).

Forma estructural: las ecuaciones con significado económico, con variables endógenas a ambos lados.

Forma reducida: cada endógena expresada solo en función de las exógenas. Se obtiene resolviendo el sistema:

$$p={\pi }_{10}+{\pi }_{11}r+{\pi }_{12}c+v_1$$ $$q={\pi }_{20}+{\pi }_{21}r+{\pi }_{22}c+v_2$$

La forma reducida sí se puede estimar por MCO, porque sus regresores son exógenos.

Identificación. ¿Se pueden recuperar los parámetros estructurales de los reducidos?

Condición de orden: para identificar una ecuación, el número de variables exógenas excluidas de ella debe ser al menos igual al número de endógenas incluidas menos uno.

En el ejemplo:

• La demanda se identifica gracias a $c$, que está excluida de ella y desplaza la oferta. Al moverse la oferta y quedarse quieta la demanda, los puntos de equilibrio dibujan la curva de demanda.
• La oferta se identifica gracias a $r$, por el mismo argumento.

Si no hubiera ni $r$ ni $c$, las dos curvas se moverían a la vez y ninguna se identificaría: la nube de puntos no informaría de ninguna de las dos. Ese es exactamente el problema del inicio del tema.

Modelos de elección discreta

Cuando $y$ es binaria ($0$ o $1$):

Modelo lineal de probabilidad. MCO directamente sobre la dummy. Sus problemas:

• Predice probabilidades fuera de $[0,1]$.
• Es necesariamente heterocedástico: $\mathrm{Var}(u\mid x)=p(x)(1-p(x))$, que depende de $x$.
• Impone un efecto marginal constante, lo cual es implausible cerca de 0 y de 1.

Su virtud: los coeficientes se interpretan directamente como cambios en probabilidad, y con errores robustos sigue siendo útil como aproximación.

Logit y probit. Modelan la probabilidad con una función acotada entre 0 y 1:

$$P(y=1\mid \mathbf{x})=G({\beta }_0+{\mathbf{\beta }}^{\prime }\mathbf{x})$$

• Logit: $G(z)=\frac{e^z}{1+e^z}=\frac{1}{1+e^{-z}}$
• Probit: $G(z)=\Phi (z)$, la función de distribución de la normal estándar del tema 23.

Se estiman por máxima verosimilitud (tema 25), no por mínimos cuadrados.

Interpretación: los coeficientes NO son efectos marginales.

$$\frac{\partial P(y=1)}{\partial x_j}=g({\beta }_0+{\mathbf{\beta }}^{\prime }\mathbf{x}){\beta }_j$$

El efecto marginal depende del punto en que se evalúe. Se informa del efecto marginal en la media de las variables, o del promedio de los efectos marginales individuales.

Lo único que sí se lee directamente es el signo y las comparaciones relativas entre coeficientes.

En el logit hay una lectura adicional útil: $e^{{\beta }_j}$ es el factor por el que se multiplica la razón de ventajas (odds ratio) al aumentar $x_j$ en una unidad.

Logit o probit dan resultados prácticamente idénticos. Los coeficientes del logit son aproximadamente 1,6 veces los del probit, pero los efectos marginales coinciden. La elección es cuestión de costumbre disciplinar.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Se quiere estimar el rendimiento de la educación sobre el salario con 3000 trabajadores. Se dispone de la distancia al centro universitario más cercano durante la adolescencia como posible instrumento.

Resultados:

MCO: ${\hat{\beta }}_{educ}=0,074$ (ee 0,004)

Primera etapa (educ sobre distancia y controles): coeficiente de distancia $-0,089$ (ee 0,024), $F$ de la distancia $=13,7$

MC2E: ${\hat{\beta }}_{educ}=0,132$ (ee 0,049)

1. Evalúa la validez del instrumento.
2. Interpreta la diferencia entre MCO y MC2E.
3. Contrasta la endogeneidad con Hausman.
4. ¿Qué estimación usarías?

Paso 1. Validez del instrumento.

Relevancia: sí, aunque justa. El coeficiente de la distancia en la primera etapa es $-0,089$ y significativo ($t=-3,71$): vivir 10 km más lejos reduce la educación en 0,89 años. Tiene sentido: la universidad es más cara y más difícil si hay que desplazarse o mudarse.

El $F$ de la primera etapa es 13,7, por encima del umbral de 10. El instrumento no es débil, pero tampoco es fuerte: con $F$ cerca de 10 hay que ser prudente con la interpretación.

Exogeneidad: discutible, y hay que argumentarla. La condición es que la distancia a la universidad no afecte al salario por ningún otro canal.

Argumentos a favor: la ubicación de las universidades se decidió por razones históricas y políticas ajenas al mercado laboral de décadas después.

Argumentos en contra, que son serios:

• Las zonas con universidad suelen ser urbanas, con mercados laborales más dinámicos y salarios más altos. La distancia estaría midiendo ruralidad, no solo coste de estudiar.
• Las familias que valoran la educación pueden elegir vivir cerca de una universidad. La distancia sería entonces consecuencia de una preferencia que también afecta al salario.

Cómo se mitiga: controlando por tamaño de municipio, región y características familiares. No lo resuelve del todo, pero acota el problema. Y hay que decirlo explícitamente al presentar el resultado.

Paso 2. La diferencia entre MCO y MC2E.

$${\hat{\beta }}_{MCO}=0,074{\hat{\beta }}_{MC2E}=0,132$$

MC2E casi duplica a MCO. Y aquí hay algo que llama la atención: el sesgo por capacidad del tema 29 predecía que MCO estaría sesgado al alza, no a la baja.

Tres explicaciones posibles, y las tres se discuten en la literatura:

(a) Error de medida en la educación. Los años de estudio declarados en encuestas tienen error, y el error de medida en un regresor sesga el coeficiente hacia cero (sesgo de atenuación). VI corrige ese sesgo además del de capacidad, y el efecto neto puede ser al alza.

(b) Efecto local. VI no estima el efecto medio de toda la población, sino el efecto para quienes cambiaron su decisión por el instrumento: los que estudiaron porque tenían la universidad cerca y no lo habrían hecho de otro modo. Ese grupo son personas con restricciones de crédito, para quienes el rendimiento de la educación puede ser genuinamente mayor. Es lo que se llama efecto tratamiento local.

(c) Violación de la exogeneidad. Si la distancia captura también la ruralidad, parte del 0,132 es efecto de vivir en una ciudad, no de estudiar.

No se puede saber cuál domina solo con estos datos. Esa honestidad forma parte del resultado.

Paso 3. Contraste de Hausman.

$$H_0:\text{educ es exoˊgena (MCO vaˊlido y eficiente)}$$ $$H=\frac{({\hat{\beta }}_{MC2E}-{\hat{\beta }}_{MCO}{)}^2}{\mathrm{ee}({\hat{\beta }}_{MC2E}{)}^2-\mathrm{ee}({\hat{\beta }}_{MCO}{)}^2}$$ $$=\frac{(0,132-0,074{)}^2}{(0,049{)}^2-(0,004{)}^2}=\frac{(0,058{)}^2}{0,002401-0,000016}$$ $$=\frac{0,003364}{0,002385}=1,410$$

Bajo $H_0$, $H\sim {\chi }_1^2$, con valor crítico $3,841$.

$$1,410<3,841⟹\text{NO se rechaza }{H}_0$$

No hay evidencia estadística suficiente de endogeneidad.

Pero cuidado con la lectura. El contraste no rechaza porque el error estándar de MC2E es enorme (0,049 frente a 0,004, doce veces mayor). Con esa imprecisión, el contraste tiene poca potencia: no detectaría la endogeneidad aunque existiera. Es exactamente el aviso del tema 27: no rechazar con poca potencia no informa.

Paso 4. Qué estimación usar.

Respuesta honesta: presentar las dos, con sus intervalos, y discutir los supuestos de cada una.

$$I{C}_{95\%}^{MCO}=0,074\pm 1,96(0,004)=(0,066;0,082)$$ $$I{C}_{95\%}^{MC2E}=0,132\pm 1,96(0,049)=(0,036;0,228)$$

Qué dice cada una:

• MCO es preciso pero descansa en un supuesto casi con seguridad falso —que la capacidad no está correlacionada con los estudios—. Su intervalo es estrecho alrededor de un número probablemente sesgado.
• MC2E es consistente si el instrumento es válido, pero su intervalo va del 3,6 % al 22,8 %: apenas restringe nada. Y su validez depende de un argumento discutible.

El dilema es el clásico sesgo-varianza del tema 25, en su forma más pura: precisión sobre un número equivocado frente a imprecisión sobre el número correcto.

Recomendación práctica. Presentar ambas, señalar que el rendimiento de la educación está en la horquilla del 7 % al 13 %, y ser explícito sobre las limitaciones. La literatura sobre esta cuestión concreta lleva cuarenta años sin cerrarla, y presentar un solo número con tres decimales sería falsa precisión.

5. Errores típicos

Confundir endogeneidad con heterocedasticidad. La segunda afecta a la eficiencia; la primera, al sesgo y la consistencia. Los errores robustos no arreglan la endogeneidad.

Creer que más datos resuelven el sesgo. No lo hacen: MCO converge a un valor equivocado.

Usar un instrumento débil. Con $F$ de primera etapa por debajo de 10, VI puede estar más sesgado que MCO y además ser muy impreciso. Hay que informar siempre de ese $F$.

Dar por válido un instrumento porque «parece exógeno». La restricción de exclusión no es contrastable con un solo instrumento. Hay que argumentarla, y anticipar las objeciones.

Hacer MC2E a mano y usar los errores estándar de la segunda etapa. Son incorrectos: ignoran que $\hat{x}$ es una estimación. Hay que usar el comando de MC2E.

Interpretar coeficientes de logit o probit como efectos marginales. No lo son. El efecto marginal depende del punto de evaluación y hay que calcularlo aparte.

Estimar una ecuación estructural por MCO. En un sistema simultáneo, los regresores endógenos hacen MCO inconsistente. Hay que comprobar la identificación y usar MC2E.

Concluir «no hay endogeneidad» tras un Hausman no significativo con poca potencia. Como en el ejemplo: el no rechazo puede deberse a la imprecisión de VI, no a la exogeneidad.

Usar el contraste de sobreidentificación como validación de los instrumentos. Solo contrasta que los instrumentos sean coherentes entre sí. Si todos comparten el mismo problema, no lo detecta.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Identificar la fuente de endogeneidad

básico

Para cada caso, di si hay endogeneidad y de qué tipo:

1. Regresar el gasto en publicidad sobre las ventas de la empresa.
2. Regresar el salario sobre los años de estudio declarados en una encuesta.
3. Regresar el precio de la vivienda sobre el número de habitaciones y los metros cuadrados.
4. Regresar la tasa de delitos sobre el número de policías por habitante.

Ver solución

1. Simultaneidad. El presupuesto publicitario suele fijarse como porcentaje de las ventas, así que las ventas causan la publicidad y la publicidad causa las ventas. Ambas se determinan conjuntamente. El coeficiente de MCO mezcla los dos sentidos.

2. Error de medida (y variable omitida). Los años declarados tienen error respecto de los reales. El error de medida en un regresor sesga el coeficiente hacia cero. Además está la capacidad omitida, que sesga al alza. Los dos sesgos van en sentidos opuestos y el neto es indeterminado sin más información.

3. No hay endogeneidad clara, sino multicolinealidad: habitaciones y metros cuadrados van juntas. Es el problema del tema 33, y no sesga los coeficientes, solo los hace imprecisos.

(Podría haber endogeneidad si se omitiera la calidad de la vivienda, correlacionada con ambas variables, pero el enunciado no lo plantea.)

4. Simultaneidad, y con el sentido invertido. Se destinan más policías donde hay más delitos. MCO daría probablemente un coeficiente positivo: más policías, más delitos, lo cual no significa que la policía cause el delito. Es el ejemplo clásico de causalidad inversa, y es donde las variables instrumentales han producido la literatura más creativa —se han usado ciclos electorales, alertas antiterroristas y sentencias judiciales sobre plantillas—.

Ejercicio 2 · Evaluar instrumentos

básico

Se quiere estimar el efecto del consumo de tabaco sobre la salud. Evalúa estos posibles instrumentos para el consumo:

1. El precio del tabaco en la región.
2. Si el individuo tiene familiares fumadores.
3. Si el individuo hace ejercicio regularmente.

Ver solución

1. El precio del tabaco: buen instrumento.

• Relevancia: sí. La demanda de tabaco responde al precio, aunque con elasticidad baja (del orden de $-0,4$). Habría que comprobar el $F$ de la primera etapa: con demanda tan inelástica, el instrumento podría ser débil.
• Exogeneidad: plausible. El precio depende de impuestos regionales y costes, no de la salud individual.
• Objeción posible: si las regiones con más impuestos al tabaco tienen también más políticas de salud pública, el precio captaría ese entorno. Se mitiga con efectos fijos regionales, aunque entonces se pierde la variación que da relevancia al instrumento.

2. Familiares fumadores: instrumento inválido.

• Relevancia: altísima. Es el mejor predictor individual del consumo.
• Exogeneidad: falla claramente. Tener familiares fumadores implica exposición al humo pasivo, que afecta directamente a la salud. Y probablemente comparte también genética y hábitos.

Viola la restricción de exclusión de forma directa: afecta a $y$ por un canal que no pasa por $x$. Es un buen ejemplo de que relevancia alta no compensa exogeneidad dudosa: un instrumento muy relevante pero inválido da un resultado muy preciso y muy equivocado.

3. Hacer ejercicio: instrumento inválido, y peor que el anterior.

• Relevancia: existe alguna correlación negativa con fumar.
• Exogeneidad: falla de forma flagrante. El ejercicio afecta a la salud directamente, y de manera importante.

Además, tanto el ejercicio como el tabaco son consecuencia de un factor común no observado —la preferencia por el autocuidado— que también afecta a la salud. Es una variable omitida, no un instrumento.

La regla que ilustra el ejercicio. Un buen instrumento suele venir de fuera del individuo —una política, un precio, un accidente geográfico— precisamente porque las características personales tienden a afectar al resultado por múltiples caminos.

Ejercicio 3 · Identificación en un sistema de oferta y demanda

medio

Considera el sistema

$$\{\begin{array}{ll}{q}_t={\alpha }_0+{\alpha }_1{p}_t+{\alpha }_2{r}_t+u_{1t}& \text{(demanda)}\\ q_t={\gamma }_0+{\gamma }_1{p}_t+u_{2t}& \text{(oferta)}\end{array}$$

donde $r_t$ es la renta.

1. ¿Qué ecuación está identificada y cuál no? Justifica.
2. Deriva la forma reducida del precio.
3. ¿Cómo se estimaría la ecuación identificada?

Ver solución

1. Identificación.

La oferta SÍ está identificada. La renta $r_t$ está excluida de la ecuación de oferta y desplaza la demanda. Cuando la renta varía, la curva de demanda se mueve mientras la de oferta permanece fija, y los puntos de equilibrio resultantes recorren la curva de oferta, revelándola.

La demanda NO está identificada. No hay ninguna variable exógena que desplace la oferta sin afectar a la demanda. La curva de oferta solo se mueve por su perturbación $u_{2t}$, que es no observable, así que no hay forma de separar los movimientos de una curva de los de la otra.

Condición de orden, formalmente: para identificar una ecuación hacen falta al menos tantas exógenas excluidas como endógenas incluidas menos uno.

• Oferta: endógenas incluidas $q$ y $p$ (2, luego hace falta 1 exclusión). Exógenas excluidas: $r$ (1). $1\ge 1$ $✓$ Identificada exactamente.
• Demanda: endógenas incluidas 2, hace falta 1 exclusión. Exógenas excluidas: ninguna. $0<1$ ✗ No identificada.

2. Forma reducida del precio. Igualando las dos ecuaciones:

$${\alpha }_0+{\alpha }_1{p}_t+{\alpha }_2{r}_t+u_{1t}={\gamma }_0+{\gamma }_1{p}_t+u_{2t}$$$$p_t({\alpha }_1-{\gamma }_1)={\gamma }_0-{\alpha }_0-{\alpha }_2{r}_t+u_{2t}-u_{1t}$$$$p_t=\frac{{\gamma }_0-{\alpha }_0}{{\alpha }_1-{\gamma }_1}-\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1-{\gamma }_1}{r}_t+\frac{u_{2t}-u_{1t}}{{\alpha }_1-{\gamma }_1}$$

es decir,

$$p_t={\pi }_0+{\pi }_1{r}_t+v_t$$

Aquí se ve el problema con toda claridad: $p_t$ depende de $u_{1t}$ y de $u_{2t}$. Por tanto está correlacionado con la perturbación de las dos ecuaciones, y estimar cualquiera de ellas por MCO da resultados inconsistentes.

3. Estimación de la oferta. Por MC2E, usando $r_t$ como instrumento de $p_t$:

Primera etapa: regresar $p_t$ sobre $r_t$ —que es exactamente la forma reducida obtenida— y guardar ${\hat{p}}_t$.

Segunda etapa: regresar $q_t$ sobre ${\hat{p}}_t$. El coeficiente estimado es ${\hat{\gamma }}_1$, la pendiente de la oferta.

Comprobación de relevancia: hay que verificar que ${\pi }_1\ne 0$, es decir, que la renta realmente mueve el precio. Si ${\alpha }_2=0$ —la renta no afecta a la demanda— el instrumento sería irrelevante y todo el procedimiento se vendría abajo.

Cómo identificar también la demanda. Añadiendo a la ecuación de oferta una variable exógena excluida de la demanda: el precio de un input, el clima si es un producto agrícola, un cambio tecnológico. Con una en cada ecuación, ambas quedan identificadas.

Es la razón de que en los estudios empíricos de demanda se busquen siempre cost shifters: sin ellos, la curva de demanda es inobservable por mucho dato de precios y cantidades que se tenga.

Ejercicio 4 · Modelo logit e interpretación

avanzado

Se estima un modelo de concesión de crédito con 1200 solicitudes:

$$P(\text{aprobado}=1)=\Lambda ({\beta }_0+{\beta }_1\text{renta}+{\beta }_2\text{deuda}+{\beta }_3\text{historial})$$

donde $\Lambda$ es la función logística. Resultados:

Variable	Coef.	ee
Constante	$-1,842$	0,412
renta (miles €/año)	0,0684	0,0113
deuda (miles €)	$-0,0521$	0,0138
historial (1 = sin impagos)	1,347	0,286

1. Interpreta el signo y la significación de cada coeficiente.
2. Calcula la probabilidad de aprobación para un solicitante con renta 40, deuda 15 e historial limpio.
3. Calcula el efecto marginal de 1000 € más de renta en ese punto.
4. Interpreta el coeficiente del historial como razón de ventajas.

Ver solución

1. Signos y significación.

$$t_{\text{renta}}=\frac{0,0684}{0,0113}=6,05\text{(significativo)}$$$$t_{\text{deuda}}=\frac{-0,0521}{0,0138}=-3,78\text{(significativo)}$$$$t_{\text{historial}}=\frac{1,347}{0,286}=4,71\text{(significativo)}$$

Los tres son significativos al 1 % y con los signos esperados: más renta e historial limpio elevan la probabilidad de aprobación; más deuda la reduce.

Lo que NO se puede decir: «cada mil euros de renta suben la probabilidad un 6,84 %». Los coeficientes del logit no son efectos marginales.

2. Probabilidad de aprobación. El índice lineal es

$$z=-1,842+0,0684(40)-0,0521(15)+1,347(1)$$$$=-1,842+2,736-0,7815+1,347=1,4595$$$$P=\Lambda (1,4595)=\frac{1}{1+e^{-1,4595}}=\frac{1}{1+0,2323}=\frac{1}{1,2323}=0,8115$$

Un 81,2 % de probabilidad de aprobación.

3. Efecto marginal de la renta en ese punto. Para el logit,

$$\frac{\partial P}{\partial x_j}=\Lambda (z)\left[1-\Lambda (z)\right]{\beta }_j$$$$=0,8115(1-0,8115)(0,0684)=0,8115\times 0,1885\times 0,0684$$$$=0,15297\times 0,0684=0,01046$$

Mil euros más de renta anual elevan la probabilidad de aprobación en 1,05 puntos porcentuales, para este solicitante concreto.

Lo importante: el efecto depende del punto. Para un solicitante con $P=0,5$ —el punto de máxima sensibilidad— sería

$$0,5\times 0,5\times 0,0684=0,0171$$

es decir, 1,71 puntos, un 63 % más. Y para uno con $P=0,97$:

$$0,97\times 0,03\times 0,0684=0,00199$$

apenas 0,2 puntos.

Tiene sentido económico: a quien ya va a ser aprobado casi seguro, mil euros más no le cambian nada; a quien está en la frontera, se lo cambian todo. Un modelo lineal de probabilidad habría impuesto el mismo efecto en los tres casos, lo cual es implausible y además puede predecir probabilidades mayores que 1.

4. Razón de ventajas del historial. En el logit, la razón de ventajas (odds) es

$$\frac{P}{1-P}=e^z$$

Al pasar el historial de 0 a 1, con lo demás constante, $z$ aumenta en ${\beta }_3=1,347$, y por tanto la razón de ventajas se multiplica por

$$e^{1,347}=3,846$$

Tener un historial sin impagos multiplica por 3,85 la razón de ventajas de que aprueben el crédito.

Cuidado con la traducción a probabilidades. «Multiplicar por 3,85 las ventajas» no es «multiplicar por 3,85 la probabilidad». Comprobémoslo con el solicitante del apartado 2.

Sin historial limpio, $z=1,4595-1,347=0,1125$:

$$P=\frac{1}{1+e^{-0,1125}}=\frac{1}{1+0,8936}=0,5281$$

Las ventajas pasan de $0,5281/0,4719=1,119$ a $0,8115/0,1885=4,305$, y en efecto $4,305/1,119=3,85✓$.

Pero la probabilidad pasa del 52,8 % al 81,2 %: un aumento de 28,4 puntos, no un factor de 3,85.

Conclusión sobre la interpretación de estos modelos. Los coeficientes del logit se leen en tres registros distintos —signo, razón de ventajas, efecto marginal— y solo el último responde a la pregunta que suele interesar. Confundirlos es el error más frecuente al presentar resultados de elección discreta.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Regresión múltiple, supuestos de Gauss-Markov, R² y contrastes — tema 30
• Variables dummy y formas funcionales — tema 31
• Autocorrelación y multicolinealidad — tema 33

Te abre la puerta a:

• Modelos multivariantes y evaluación de predicciones — tema 40

8. Recursos externos

• OCW UPV/EHU — «Análisis de Regresión con Gretl». Variables instrumentales, MC2E y sistemas de ecuaciones simultáneas con la parte de identificación bien desarrollada.
• Wooldridge. Sus capítulos de variables instrumentales, ecuaciones simultáneas y modelos de respuesta binaria son la referencia estándar, y explican con cuidado la diferencia entre coeficientes y efectos marginales.
• Curso de Econometría — Hugo Maul. Vídeos sobre endogeneidad y sistemas.
• Gretl. MC2E está en Modelo → Variables instrumentales → Mínimos cuadrados en dos etapas, y da automáticamente el contraste de instrumentos débiles, el de Hausman y el de sobreidentificación. Logit y probit, en Modelo → Modelos no lineales, con la opción de mostrar efectos marginales.
• Exámenes de la UOC. Este tema cubre dos de los contenidos recurrentes: sistemas de ecuaciones simultáneas (forma estructural y reducida) y modelos de elección discreta (logit/probit).