Concepto y notación de serie temporal: tendencia, estacionalidad, atípicos y cambio estructural

1. La pregunta

El paro registrado baja 200 000 personas en junio. Los titulares celebran. Pero el paro siempre baja en junio: empieza la campaña de verano. La pregunta correcta no es si bajó, sino si bajó más de lo que baja todos los junios.

Todo el bloque 8 arranca de ahí. Los datos ordenados en el tiempo tienen estructura propia —tendencias, ciclos, estacionalidad, rupturas— y compararlos como si fueran observaciones independientes lleva sistemáticamente a conclusiones falsas. Este tema enseña a mirar una serie antes de modelarla.

2. Intuición

Qué distingue una serie temporal. En una encuesta, el orden de los cuestionarios da igual. En una serie, el orden es el dato: cada observación está relacionada con la anterior, y reordenar destruye toda la información.

Eso rompe el supuesto de muestreo aleatorio del bloque 7, y por eso hace falta un tratamiento propio.

Las cuatro capas. Una serie económica se lee como cuatro cosas superpuestas:

• Tendencia: hacia dónde va a largo plazo. El PIB crece, la natalidad cae.
• Ciclo: oscilaciones de varios años en torno a la tendencia. Expansiones y recesiones.
• Estacionalidad: el mismo patrón repetido cada año. Turismo en agosto, ventas en diciembre, paro agrícola en invierno.
• Irregular: lo que queda, incluidos los sucesos puntuales.

Por qué importa separarlas. Porque cada una responde a una pregunta distinta. Al Ministerio de Trabajo le interesa el componente cíclico —¿va bien la economía?—; a una cadena hotelera, el estacional —¿cuánto personal contrato en julio?—.

Dos rupturas que hay que saber distinguir. Un valor atípico es un dato raro y aislado: un mes con una huelga. Un cambio estructural es un cambio permanente en el comportamiento de la serie: una reforma laboral, la entrada en el euro, una pandemia. El primero se trata como un caso puntual; el segundo obliga a partir la muestra o modelar el cambio, porque estimar un solo modelo para antes y después mezcla dos mundos distintos.

3. Formalización

Notación

Una serie temporal es una sucesión de observaciones ordenadas en el tiempo:

$$\{y_t{\}}_{t=1}^T=y_1,y_2,\dots ,y_T$$

El subíndice $t$ es el momento, no el individuo. $T$ es el número de observaciones, siguiendo NOTACION.md —se reserva $n$ para muestras de sección cruzada—.

La frecuencia es el número de observaciones por año, y se denota $s$:

Frecuencia	$s$
Anual	1
Trimestral	4
Mensual	12
Semanal	52
Diaria (laborable)	252

Una serie es regular si las observaciones están igualmente espaciadas. Casi todos los métodos del bloque lo suponen.

Componentes y esquemas de descomposición

$$y_t=T_t+C_t+S_t+I_t\text{(esquema aditivo)}$$ $$y_t=T_t\times C_t\times S_t\times I_t\text{(esquema multiplicativo)}$$

donde $T_t$ es la tendencia, $C_t$ el ciclo, $S_t$ la estacionalidad e $I_t$ el componente irregular. Con frecuencia se combinan tendencia y ciclo en un solo componente tendencia-ciclo, porque separarlos exige criterios adicionales.

Cómo elegir el esquema. Se mira la amplitud de las oscilaciones estacionales:

• Si la amplitud es constante en valor absoluto (el turismo sube siempre 2 millones en agosto), el esquema es aditivo.
• Si crece con el nivel de la serie (el turismo sube siempre un 40 % en agosto), es multiplicativo.

En economía casi siempre es multiplicativo, porque los efectos son proporcionales.

Y aquí hay un resultado muy útil: tomando logaritmos, un esquema multiplicativo se convierte en aditivo:

$$\ln y_t=\ln T_t+\ln C_t+\ln S_t+\ln I_t$$

Es la razón de que casi todas las series económicas se trabajen en logaritmos, y conecta directamente con las formas funcionales del tema 31. Tiene además una segunda ventaja: en logaritmos, las diferencias son tasas de crecimiento.

Tendencia

Determinista: función del tiempo, estimable por MCO.

$$y_t={\beta }_0+{\beta }_{1}t+u_t\text{(lineal)}$$ $$\ln y_t={\beta }_0+{\beta }_{1}t+u_t\text{(exponencial: }{\beta }_1\text{ es la tasa de crecimiento)}$$

Estocástica: la serie no tiene una trayectoria fija a la que volver; los shocks desplazan permanentemente su nivel. El caso básico es el paseo aleatorio:

$$y_t=y_{t-1}+{\epsilon }_t$$

La distinción es decisiva y ocupa el tema 38: con tendencia determinista, la serie se corrige quitando la tendencia estimada; con tendencia estocástica, hay que diferenciar. Aplicar el tratamiento equivocado empeora la serie en lugar de arreglarla.

Estacionalidad

Patrón que se repite con periodo $s$. Se detecta con:

• Gráfico de la serie: picos y valles en los mismos meses.
• Gráfico estacional: superponer los años para ver si el perfil se repite.
• Función de autocorrelación (tema 37): picos en los retardos $s$, $2s$, $3s$…

Formas de tratarla:

1. Dummies estacionales: $s-1$ variables ficticias (tema 31), una por periodo salvo la de referencia. Sirve para estacionalidad estable.
2. Diferencia estacional: $y_t-y_{t-s}$, que es el tema 36. Sirve para estacionalidad cambiante.
3. Desestacionalización con procedimientos como X-13ARIMA-SEATS o TRAMO-SEATS, que es lo que hacen el INE y Eurostat para publicar series «corregidas de efectos estacionales y de calendario».

Aviso sobre las series ya desestacionalizadas. El INE publica muchas series desestacionalizadas. Modelarlas como si fueran datos brutos es un error: el procedimiento de ajuste introduce autocorrelación artificial y puede distorsionar el análisis.

Valores atípicos

Cuatro tipos, con tratamientos distintos:

Tipo	Qué hace	Ejemplo
Aditivo (AO)	afecta a un solo periodo	error de registro, huelga de un día
Innovacional (IO)	afecta a uno y se propaga amortiguándose	shock que la serie absorbe
Cambio de nivel (LS)	desplaza permanentemente el nivel	reforma legal, cambio metodológico
Cambio transitorio (TC)	desplaza el nivel y vuelve gradualmente	efecto de una campaña

No se eliminan sin más. Como en el tema 20, primero hay que averiguar la causa. Un atípico con explicación conocida se modela con una dummy de impulso; uno sin explicación es una señal de que falta algo en el modelo.

Cambio estructural

Un cambio permanente en los parámetros que generan la serie. Si se ignora, todas las estimaciones mezclan dos regímenes distintos y no describen ninguno.

Detección:

• Contraste de Chow, si se sospecha una fecha concreta. Es el contraste $F$ de restricciones del tema 30 aplicado a la hipótesis de que los coeficientes son iguales antes y después.
• Contrastes CUSUM y de coeficientes recursivos, cuando no se sabe la fecha.

Tratamiento: dividir la muestra, incluir dummies de cambio de nivel o de pendiente, o modelar el cambio explícitamente.

Casos que todo economista español debe tener presentes al mirar una serie larga: 1986 (entrada en la CEE), 1999-2002 (euro), 2008 (crisis financiera), 2020 (pandemia). Y los cambios metodológicos del propio INE, que producen saltos sin significado económico.

Antes de modelar: la lista de comprobación

1. Dibujar la serie. Siempre, y antes que nada.
2. ¿Hay tendencia? ¿Es lineal, exponencial, cambiante?
3. ¿Hay estacionalidad? ¿Aditiva o multiplicativa?
4. ¿La varianza es constante o crece con el nivel? Si crece, tomar logaritmos.
5. ¿Hay atípicos? ¿Se conoce su causa?
6. ¿Hay cambios de nivel o de pendiente?
7. ¿La serie está desestacionalizada o revisada por la fuente?

Este paso no es opcional. Casi todos los errores del bloque 8 vienen de saltárselo.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Las pernoctaciones hoteleras (en millones) de un país en los últimos tres años son:

Trimestre	2022	2023	2024
T1	12,4	13,8	15,1
T2	22,6	25,4	28,0
T3	38,2	43,1	47,5
T4	15,8	17,6	19,3

1. Identifica los componentes.
2. Decide el esquema de descomposición.
3. Calcula los índices estacionales.
4. Desestacionaliza el T3 de 2024 e interpreta.

Paso 1. Componentes visibles.

Tendencia: claramente creciente. Los totales anuales son

$$2022:89,02023:99,92024:109,9$$

con crecimientos del $12,2\%$ y del $10,0\%$.

Estacionalidad: muy marcada y siempre con el mismo perfil. T3 es siempre el máximo, T1 el mínimo, en los tres años.

Ciclo: con solo 12 observaciones no se puede identificar; harían falta al menos 15-20 años.

Irregular: pequeño, la serie es muy regular. (Nótese que el periodo elegido excluye 2020-2021, donde la pandemia produjo el mayor atípico de la serie histórica.)

Paso 2. Esquema. Comparamos la diferencia T3 menos T1 en cada año:

Año	T3 $-$ T1	T3 / T1
2022	25,8	3,08
2023	29,3	3,12
2024	32,4	3,15

La diferencia absoluta crece (25,8 → 32,4) mientras el cociente se mantiene casi constante (3,08 → 3,15).

El esquema es multiplicativo. La estacionalidad es proporcional al nivel: el verano no suma una cantidad fija, sino que multiplica.

Consecuencia práctica: conviene trabajar con la serie en logaritmos, donde el esquema se vuelve aditivo.

Paso 3. Índices estacionales. Método de la razón a la media móvil, simplificado.

Primero, la media de cada año:

$${\bar{y}}_{2022}=\frac{89,0}{4}=22,25{\bar{y}}_{2023}=\frac{99,9}{4}=24,975{\bar{y}}_{2024}=\frac{109,9}{4}=27,475$$

Ahora la razón de cada trimestre a la media de su año:

Trimestre	2022	2023	2024	Media
T1	$12,4/22,25=0,557$	$0,553$	$0,550$	0,553
T2	$22,6/22,25=1,016$	$1,017$	$1,019$	1,017
T3	$38,2/22,25=1,717$	$1,726$	$1,729$	1,724
T4	$15,8/22,25=0,710$	$0,705$	$0,703$	0,706

Comprobación: los índices deben sumar 4 (el número de periodos).

$$0,553+1,017+1,724+0,706=4,000✓$$

Lectura de los índices:

• T3 (1,724): el tercer trimestre está un 72,4 % por encima del trimestre medio del año.
• T1 (0,553): el primero está un 44,7 % por debajo.
• La relación entre el mejor y el peor trimestre es $1,724/0,553=3,12$.

Y algo que merece la pena notar: los índices son casi idénticos en los tres años (por ejemplo, T3 va de 1,717 a 1,729). Eso confirma que la estacionalidad es estable, y por tanto que se puede tratar con dummies estacionales fijas.

Paso 4. Desestacionalizar el T3 de 2024.

$$y_{T3,2024}^{des}=\frac{47,5}{1,724}=27,55\text{ millones}$$

Interpretación. Las 47,5 millones de pernoctaciones del verano de 2024 equivalen a 27,55 millones en términos desestacionalizados: lo que habría sido ese trimestre si no existiera el efecto verano.

Para qué sirve. Permite comparar con el trimestre anterior. El T2 de 2024 desestacionalizado es

$$\frac{28,0}{1,017}=27,53$$ $$\frac{27,55-27,53}{27,53}=+0,07\%$$

El sector prácticamente se estancó entre el segundo y el tercer trimestre, pese a que en datos brutos las pernoctaciones subieron de 28,0 a 47,5 millones —un 70 %—.

Este es exactamente el punto del tema. El dato bruto dice «espectacular subida del 70 %»; el desestacionalizado dice «sin crecimiento». Los dos son correctos y responden a preguntas distintas, pero solo el segundo informa sobre la marcha del sector, que es lo que interesa para decidir.

Comparación interanual como alternativa. Otra forma de neutralizar la estacionalidad, sin desestacionalizar, es comparar cada trimestre con el mismo trimestre del año anterior:

$$\frac{47,5-43,1}{43,1}=+10,2\%$$

Es lo que hacen los titulares responsables al decir «el paro baja un X % respecto al mismo mes del año pasado». Es más sencillo y no requiere estimar nada, aunque tiene el inconveniente de que reacciona con retraso a los cambios de tendencia. Formalmente es la diferencia estacional del tema 36.

5. Errores típicos

Comparar meses consecutivos en series estacionales. «El paro sube en enero» es una constante del calendario, no una noticia. La comparación válida es con el mismo mes del año anterior o sobre datos desestacionalizados.

No dibujar la serie. Es el error del que se derivan casi todos los demás. Un gráfico revela en dos segundos tendencia, estacionalidad, atípicos y rupturas.

Elegir mal el esquema. Aplicar descomposición aditiva a una serie multiplicativa deja estacionalidad residual creciente. La comprobación es sencilla: ver si la amplitud crece con el nivel.

Confundir atípico con cambio estructural. El primero afecta a un periodo; el segundo, permanentemente. Tratar un cambio de nivel como un atípico deja el modelo mal especificado para siempre.

Modelar series ya desestacionalizadas como si fueran brutas. El ajuste introduce autocorrelación artificial.

Ignorar cambios metodológicos de la fuente. Un salto en 2021 puede no ser económico sino un cambio en cómo el INE mide. Las notas metodológicas forman parte del análisis.

Extrapolar la tendencia sin más. Ajustar una recta y proyectarla diez años supone que nada cambia. Es la forma más común de predicción y la que peor funciona.

Trabajar en niveles cuando la varianza crece. Si la dispersión aumenta con el nivel, hay que tomar logaritmos antes de nada. Es la heterocedasticidad del tema 32 en versión temporal.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Identificar componentes

básico

Para cada serie, di qué componentes esperas encontrar y qué frecuencia usarías:

1. Ventas mensuales de una juguetería.
2. PIB trimestral de España, 1995-2024.
3. Precio diario del Bitcoin.
4. Población anual de un municipio.

Ver solución

1. Juguetería. Tendencia (según crezca o decline el negocio), estacionalidad extremadamente marcada —diciembre concentra buena parte de las ventas anuales—, e irregular. Frecuencia mensual ($s=12$). Casi con seguridad esquema multiplicativo.

2. PIB trimestral. Tendencia creciente, ciclo claramente visible (2008-2013, 2020), estacionalidad moderada e irregular. Frecuencia trimestral ($s=4$). Cambio estructural en 2020, de una magnitud sin precedentes, que obliga a tratamiento explícito. Conviene trabajar en logaritmos.

3. Bitcoin diario. Tendencia (muy variable), sin estacionalidad clara —los mercados financieros apenas la tienen—, e irregular dominante. La característica distintiva es la volatilidad agrupada: periodos de calma alternando con periodos turbulentos. Eso requiere modelos de la familia ARCH/GARCH, que quedan fuera de este plan pero que conviene saber que existen.

4. Población municipal anual. Solo tendencia e irregular: con datos anuales no puede haber estacionalidad, porque la estacionalidad es un patrón dentro del año. Posibles cambios de nivel por incorporaciones de territorio o cambios censales.

La regla que ilustra el conjunto: con $s=1$ no hay componente estacional, por definición.

Ejercicio 2 · Aditivo o multiplicativo

básico

Una serie trimestral de ventas muestra estos picos de verano por encima de la media anual:

Año	Media anual	Pico verano	Exceso
2020	100	140	40
2021	150	210	60
2022	200	280	80

¿Qué esquema procede?

Ver solución

Exceso absoluto: 40, 60, 80. Crece.

Razón pico/media: $140/100=1,4$; $210/150=1,4$; $280/200=1,4$. Constante.

Esquema multiplicativo, sin ninguna duda: el índice estacional del verano es 1,40 en los tres años.

Consecuencia práctica. Si se aplicara un esquema aditivo con un factor estacional medio de $(40+60+80)/3=60$, la desestacionalización dejaría residuos sistemáticos: restaría de más en 2020 y de menos en 2022. La estacionalidad no desaparecería, solo cambiaría de signo.

Solución elegante. Tomando logaritmos:

$$\ln 140-\ln 100=0,3365$$$$\ln 210-\ln 150=0,3365$$$$\ln 280-\ln 200=0,3365$$

En logaritmos el efecto estacional es exactamente constante, y el esquema pasa a ser aditivo. Es la razón práctica de trabajar en logaritmos con series económicas.

Ejercicio 3 · Tendencia y predicción

medio

El consumo eléctrico anual (GWh) de una región ha sido:

Año	2019	2020	2021	2022	2023
Consumo	2400	2280	2520	2640	2760

1. Ajusta una tendencia lineal por MCO.
2. Predice 2024 y 2025.
3. Comenta las limitaciones de la predicción.

Ver solución

1. Tendencia lineal. Se codifica el tiempo como $t=1,2,3,4,5$.

$$\bar{t}=3,\bar{y}=\frac{2400+2280+2520+2640+2760}{5}=\frac{12600}{5}=2520$$

$t$	$t-\bar{t}$	$y-\bar{y}$	producto	$(t-\bar{t}{)}^2$
1	$-2$	$-120$	240	4
2	$-1$	$-240$	240	1
3	0	0	0	0
4	1	120	120	1
5	2	240	480	4
			1080	10

$${\hat{\beta }}_1=\frac{1080}{10}=108,{\hat{\beta }}_0=2520-108(3)=2196$$$${\hat{y}}_t=2196+108t$$

El consumo crece a razón de 108 GWh por año.

2. Predicciones.

$${\hat{y}}_{2024}=2196+108(6)=2844\text{ GWh}$$$${\hat{y}}_{2025}=2196+108(7)=2952\text{ GWh}$$

3. Limitaciones, y son serias.

(a) El atípico de 2020. El consumo cayó a 2280 GWh, rompiendo el patrón. Es el efecto de la pandemia: un cambio transitorio con causa conocida. Al incluirlo sin tratarlo, tira de la recta hacia abajo en la primera parte de la muestra y sobreestima la pendiente.

Excluyendo 2020 y reajustando con $t=1,3,4,5$ (años 2019, 2021-2023) sale una pendiente de unos 90 GWh/año, apreciablemente menor. La diferencia entre 108 y 90 no es despreciable: sobre cinco años, 90 GWh de error acumulado.

(b) Solo cinco observaciones. Ajustar y extrapolar una tendencia con cinco datos es frágil. Los grados de libertad son 3.

(c) La tendencia lineal es un supuesto fuerte. Supone crecimiento constante en valor absoluto. Un modelo exponencial —$\ln y$ sobre $t$— supondría crecimiento porcentual constante, que suele ajustarse mejor a series económicas. Con estos datos, el crecimiento porcentual va bajando (10,5 %, 4,8 %, 4,5 %), lo que apunta a desaceleración: ninguno de los dos modelos la capturaría.

(d) Nada garantiza que la tendencia continúe. La eficiencia energética, la electrificación del transporte o un cambio industrial pueden alterarla por completo. La extrapolación supone que el futuro se parece al pasado, y esa es precisamente la hipótesis que más falla.

(e) No hay intervalo de predicción. Un número sin margen de error transmite falsa precisión. Con la variabilidad residual de estos datos, el intervalo al 95 % para 2024 sería de varios cientos de GWh.

Recomendación. Modelar el atípico de 2020 con una dummy de impulso, probar la especificación exponencial, y sobre todo dar la predicción con su intervalo. Con cinco observaciones, la respuesta honesta es que la predicción es orientativa.

Ejercicio 4 · Diagnosticar una serie problemática

avanzado

Un analista modela el número mensual de afiliados a la Seguridad Social entre 2015 y 2024 y obtiene un $R^2=0,97$ con una simple tendencia lineal. Concluye que el modelo es excelente.

1. ¿Por qué el $R^2$ no valida el modelo?
2. ¿Qué problemas concretos esperas en esa serie?
3. Propón un plan de análisis.

Ver solución

1. El $R^2$ alto no valida nada, y en series temporales es una señal de alarma.

Dos razones:

(a) Cualquier serie con tendencia da $R^2$ alto contra el tiempo. Es aritmética: si la serie sube de forma sostenida, una recta creciente reproduce buena parte de su variabilidad. No dice nada sobre si el modelo captura el proceso generador.

(b) Es el problema de la regresión espuria. Dos series con tendencia dan $R^2$ alto y $t$ significativos aunque no tengan relación alguna. El caso clásico —regresar el PIB de España contra el número de cigüeñas— da resultados «excelentes». Se formaliza en el tema 38, y la señal de alarma es precisamente $R^2$ muy alto junto con Durbin-Watson muy bajo.

Casi con seguridad, el modelo del analista tiene $DW$ cercano a cero: los residuos estarán fuertemente autocorrelacionados, con rachas largas por encima y por debajo de la recta.

2. Problemas concretos que esperar en la afiliación mensual 2015-2024.

(a) Estacionalidad muy marcada. La afiliación tiene un perfil intraanual fortísimo: sube en primavera y verano por la hostelería y la agricultura, cae en enero. Una tendencia lineal la ignora por completo, y los residuos tendrán un patrón cíclico de periodo 12 perfectamente visible.

(b) Cambio estructural masivo en marzo-abril de 2020. La caída fue de cientos de miles de afiliados en semanas. Además, los ERTE alteraron el propio significado de la variable: un trabajador en ERTE seguía afiliado. No es un atípico: es una ruptura, con recuperación posterior de forma distinta.

(c) Ciclo económico. El periodo incluye la expansión 2015-2019, el colapso de 2020, la recuperación 2021-2022 y la desaceleración posterior. Una recta no puede describir eso.

(d) Posible cambio de tendencia. El ritmo de creación de empleo de 2015-2019 no tiene por qué ser el de 2022-2024. Una única pendiente lo promedia todo.

(e) Efectos de calendario. El número de días laborables y la Semana Santa —que cae unas veces en marzo y otras en abril— afectan a los datos mensuales. Es lo que el INE corrige como «efectos de calendario».

3. Plan de análisis.

Paso 1. Dibujar la serie. Antes que nada. Todos los problemas anteriores se ven en el gráfico.

Paso 2. Tomar logaritmos. La afiliación crece y su variabilidad estacional probablemente crece con ella. En logaritmos, la estacionalidad se vuelve aditiva y las diferencias son tasas de crecimiento.

Paso 3. Tratar la ruptura de 2020. Tres opciones, según el objetivo:

• Analizar por separado 2015-2019 y 2021-2024, si interesa caracterizar cada régimen.
• Incluir dummies de cambio de nivel y de impulso para los meses afectados.
• Excluir 2020-2021 del análisis, dejando constancia de ello.

La peor opción es estimar un único modelo sobre toda la muestra sin tratar la ruptura.

Paso 4. Modelar la estacionalidad. Con dummies mensuales si es estable, o con diferencia estacional $y_t-y_{t-12}$ si evoluciona (tema 36).

Paso 5. Comprobar si la tendencia es determinista o estocástica. Con un contraste de raíces unitarias (tema 38). Es decisivo: determina si hay que quitar una tendencia estimada o diferenciar. Aplicar el tratamiento equivocado empeora la serie.

Paso 6. Modelar la dinámica restante con la metodología Box-Jenkins del tema 39.

Paso 7. Diagnosticar los residuos. Un modelo bien especificado deja residuos sin estructura: sin autocorrelación, sin estacionalidad, sin atípicos sistemáticos. Ese es el criterio de validación, no el $R^2$.

Conclusión. El analista ha confundido un ajuste con un modelo. Con series temporales, la validación viene del diagnóstico de los residuos y de la capacidad predictiva fuera de la muestra, nunca del $R^2$ dentro de ella.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Estadística descriptiva: centro, dispersión y forma — tema 20

Te abre la puerta a:

• Transformaciones: operador retardo, diferencia regular y estacional, medias móviles — tema 36

8. Recursos externos

• eknowmetrics — curso gratuito de ARIMA. Empieza justo por aquí: proceso estocástico y serie temporal, con prácticas en Gretl.
• Apuntes Box-Jenkins de Rafael de Arce y Ramón Mahía (UAM). Nivel intermedio, con la identificación de componentes bien tratada.
• estadistica.net — PDF de modelos ARIMA. Introducción a los componentes y a la descomposición.
• Guía docente de Métodos Econométricos (UC3M). Mapa de validación: confirma que la distinción entre tendencia y estacionalidad deterministas y estocásticas es contenido central.
• Gretl. Al abrir un fichero hay que declarar la estructura temporal (Datos → Estructura del conjunto de datos) para que la frecuencia se reconozca. Después, Variable → Gráfico temporal y Variable → Descomposición estacional hacen el análisis descriptivo de este tema en dos clics.