Sistemas de ecuaciones lineales y método de Gauss

1. La pregunta

El mercado del acero, el del carbón y el de la electricidad no se equilibran por separado: el precio del carbón afecta al coste del acero, el del acero al de la maquinaria eléctrica, y el de la electricidad a los dos. Encontrar el equilibrio simultáneo de los tres es resolver un sistema.

Y hay una pregunta previa que importa tanto como la solución: ¿hay una?, ¿hay muchas?, ¿no hay ninguna? Un modelo con infinitas soluciones no está mal resuelto: está mal planteado, le faltan datos. Este tema da el método para resolver y el criterio para saber de antemano con qué caso se trata.

2. Intuición

Dos ecuaciones con dos incógnitas son dos rectas en un plano. Hay exactamente tres cosas que pueden pasar:

• Se cortan en un punto. Una solución. El caso normal.
• Son la misma recta. Infinitas soluciones: la segunda ecuación no decía nada nuevo. Falta información.
• Son paralelas distintas. Ninguna solución: las condiciones se contradicen.

Con tres incógnitas son planos en el espacio y la casuística es la misma, solo que más difícil de dibujar. Por eso hace falta un criterio algebraico, y ese criterio es el rango del tema 7: el rango cuenta cuántas ecuaciones genuinamente distintas hay.

El método de Gauss es la formalización de lo que uno hace intuitivamente al resolver un sistema a mano: usar una ecuación para eliminar una incógnita de las demás, hasta que la última tenga una sola incógnita, y luego ir hacia atrás. Lo único que aporta es orden: hacerlo siempre igual, sobre una tabla de números, sin arrastrar las letras.

3. Formalización

Planteamiento

Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}⟺\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$$

La matriz ampliada añade la columna de términos independientes:

$$(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})$$

Es sobre ella sobre la que se opera.

Clasificación: teorema de Rouché-Frobenius

Comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada:

Condición	Tipo	Soluciones
$\mathrm{rg}(\mathbf{A})\ne \mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})$	incompatible	ninguna
$\mathrm{rg}(\mathbf{A})=\mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})=n$	compatible determinado	una
$\mathrm{rg}(\mathbf{A})=\mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})<n$	compatible indeterminado	infinitas

En el tercer caso, el número $n-\mathrm{rg}(\mathbf{A})$ se llama grados de libertad: es cuántas incógnitas quedan libres, y por tanto cuántos datos le faltan al modelo.

La lógica es transparente: el rango de $\mathbf{A}$ cuenta las ecuaciones informativas. Si al añadir la columna $\mathbf{b}$ el rango sube, es que esa columna aporta una exigencia que las ecuaciones no pueden satisfacer: contradicción.

Sistemas homogéneos

Si $\mathbf{b}=0$, el sistema se llama homogéneo. Siempre es compatible, porque $\mathbf{x}=0$ es solución (la solución trivial). La pregunta interesante es si hay otras: las hay si y solo si $\mathrm{rg}(\mathbf{A})<n$, es decir, si el determinante se anula cuando la matriz es cuadrada.

Aparecen en modelos de equilibrio donde solo importan los precios relativos.

Método de Gauss

Se transforma la matriz ampliada en una escalonada mediante operaciones que no cambian el conjunto de soluciones:

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
3. Sumar a una fila un múltiplo de otra.

Una matriz es escalonada cuando cada fila empieza con más ceros que la anterior. El primer elemento no nulo de cada fila se llama pivote.

Procedimiento:

1. Elegir un pivote en la primera columna (si el elemento es cero, intercambiar filas).
2. Hacer ceros por debajo de él sumando múltiplos de su fila.
3. Repetir con la submatriz que queda.
4. Leer el rango: es el número de filas no nulas.
5. Sustitución hacia atrás: despejar desde la última ecuación hacia arriba.

Si además se hacen ceros por encima de los pivotes y se normalizan a 1, se obtiene la forma escalonada reducida y el método se llama Gauss-Jordan. Es el que se usa en el símplex del tema 16, donde cada iteración es exactamente una operación de pivote.

Cómo detectar cada caso al escalonar

• Una fila del tipo $(00\cdots 0\mid c)$ con $c\ne 0$ significa «$0=c$»: incompatible.
• Una fila entera de ceros, incluido el término independiente, es una ecuación redundante que se descarta.
• Si al final quedan tantos pivotes como incógnitas: determinado.
• Si quedan menos pivotes que incógnitas: indeterminado, y las incógnitas sin pivote son los parámetros libres.

Regla de Cramer

Cuando $\mathbf{A}$ es cuadrada con $\det (\mathbf{A})\ne 0$:

$$x_i=\frac{\det ({\mathbf{A}}_i)}{\det (\mathbf{A})}$$

donde ${\mathbf{A}}_i$ es $\mathbf{A}$ con la columna $i$ sustituida por $\mathbf{b}$.

Es elegante y muy útil en teoría económica, porque permite ver de qué depende una variable de equilibrio sin resolver todo el sistema. Para calcular a mano con más de tres incógnitas es impracticable: Gauss es mucho más rápido.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Tres mercados relacionados —trigo, harina y pan— tienen las siguientes condiciones de equilibrio, donde $p_1,p_2,p_3$ son los precios:

$$\{\begin{array}{l}2p_1+p_2-p_3=30\\ p_1+3p_2+2p_3=55\\ 3p_1-p_2+p_3=25\end{array}$$

Resuélvelo por Gauss y comprueba con Cramer el precio del trigo.

Paso 1. Matriz ampliada.

$$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 30\\ 1& 3& 2& 55\\ 3& -1& 1& 25\end{array}\right)$$

Paso 2. Colocar un pivote cómodo. Intercambiamos $F_1$ y $F_2$ para tener un 1 arriba a la izquierda y evitar fracciones:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 55\\ 2& 1& -1& 30\\ 3& -1& 1& 25\end{array}\right)$$

Paso 3. Hacer ceros en la primera columna. $F_2-2F_1$ y $F_3-3F_1$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 55\\ 0& -5& -5& -80\\ 0& -10& -5& -140\end{array}\right)$$

Paso 4. Simplificar y seguir. Dividimos $F_2$ entre $-5$ y $F_3$ entre $-5$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 55\\ 0& 1& 1& 16\\ 0& 2& 1& 28\end{array}\right)$$

Ahora $F_3-2F_2$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 55\\ 0& 1& 1& 16\\ 0& 0& -1& -4\end{array}\right)$$

Paso 5. Clasificar. Hay tres pivotes (1, 1, $-1$) y tres incógnitas:

$$\mathrm{rg}(\mathbf{A})=\mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})=3=n$$

Compatible determinado: solución única.

Paso 6. Sustitución hacia atrás. De la tercera ecuación:

$$-p_3=-4⟹p_3=4$$

De la segunda, $p_2+p_3=16$:

$$p_2=16-4=12$$

De la primera, $p_1+3p_2+2p_3=55$:

$$p_1=55-36-8=11$$

Solución: trigo 11 €, harina 12 €, pan 4 €.

Paso 7. Comprobar en la ecuación que no se usó al final. Tercera original:

$$3(11)-12+4=33-12+4=25✓$$

Paso 8. Verificar $p_1$ con Cramer.

$$\det (\mathbf{A})=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& 1\end{array}\right|$$

Por Sarrus: $(2)(3)(1)+(1)(2)(3)+(-1)(1)(-1)=6+6+1=13$; y $(-1)(3)(3)+(2)(2)(-1)+(1)(1)(1)=-9-4+1=-12$. Luego $\det (\mathbf{A})=13-(-12)=25$.

$$\det ({\mathbf{A}}_1)=\left|\begin{array}{ccc}30& 1& -1\\ 55& 3& 2\\ 25& -1& 1\end{array}\right|$$

Primera parte: $(30)(3)(1)+(1)(2)(25)+(-1)(55)(-1)=90+50+55=195$. Segunda: $(-1)(3)(25)+(30)(2)(-1)+(1)(55)(1)=-75-60+55=-80$. Total: $195+80=275$.

$$p_1=\frac{275}{25}=11✓$$

Para qué sirve Cramer aquí. No para calcular —Gauss ha sido más rápido— sino para ver que $p_1$ es un cociente de determinantes en los que la demanda entra linealmente. Eso permite analizar cómo cambia el precio de equilibrio ante un cambio en la demanda sin volver a resolver, que es el tipo de análisis del tema 19.

5. Errores típicos

Operar sobre columnas. Las operaciones de Gauss son por filas. Cada fila es una ecuación; cada columna es una incógnita. Mezclar columnas cambia el problema.

Multiplicar una fila por cero. Está prohibido: destruye la ecuación. Solo se permite multiplicar por números distintos de cero.

Concluir «no tiene solución» al ver una fila de ceros. Una fila $(000\mid 0)$ significa que esa ecuación era redundante, y el sistema puede seguir siendo compatible —indeterminado, eso sí—. Lo incompatible es $(000\mid c)$ con $c\ne 0$.

Olvidar la columna de términos independientes. Todas las operaciones se aplican a la fila entera, incluida la parte de la derecha. Es el error que hace que la comprobación falle.

Dar por buena la solución sin comprobar. Sustituir en una ecuación original —mejor en la que menos se manipuló— cuesta treinta segundos y detecta casi todos los errores aritméticos.

Usar Cramer siempre. Con cuatro incógnitas hay que calcular cinco determinantes de orden 4. Gauss resuelve lo mismo en una fracción del tiempo.

Interpretar mal la indeterminación. Infinitas soluciones no es un fallo de cálculo: es que el modelo tiene menos ecuaciones independientes que incógnitas. La respuesta correcta es dar la solución paramétrica, no elegir una al azar.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Sistema determinado

básico

Resuelve por Gauss:

$$\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 3x-y=10\end{array}$$

Ver solución

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 8\\ 3& -1& 10\end{array}\right)\stackrel{F_2-3F_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 8\\ 0& -7& -14\end{array}\right)$$

Dos pivotes, dos incógnitas: compatible determinado.

De la segunda: $-7y=-14⟹y=2$. De la primera: $x+4=8⟹x=4$.

Comprobación: $3(4)-2=10✓$

Ejercicio 2 · Clasificar sin resolver

básico

Clasifica, calculando rangos:

$$\{\begin{array}{l}2x+4y=6\\ 3x+6y=12\end{array}$$

Ver solución

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 6& 12\end{array}\right)\stackrel{F_1÷2,F_2÷3}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right)\stackrel{F_2-F_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

La segunda fila dice $0x+0y=1$, es decir, $0=1$: imposible.

$$\mathrm{rg}(\mathbf{A})=1,\mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})=2$$

Los rangos difieren: sistema incompatible, no tiene solución.

Geométricamente son dos rectas paralelas: la misma pendiente ($y=-x/2+3/2$ y $y=-x/2+2$) y distinta ordenada. Nunca se cortan.

Ejercicio 3 · Sistema indeterminado y solución paramétrica

medio

Una empresa reparte 100 000 € entre tres proyectos, $x$, $y$, $z$. Se sabe que:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ 2x+y-z=60\end{array}$$

(en miles de euros). Clasifica el sistema, da la solución general e indica el rango de valores admisibles.

Ver solución

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 100\\ 2& 1& -1& 60\end{array}\right)\stackrel{F_2-2F_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 100\\ 0& -1& -3& -140\end{array}\right)$$

Dos pivotes, tres incógnitas:

$$\mathrm{rg}(\mathbf{A})=\mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})=2<3=n$$

Compatible indeterminado con $3-2=1$ grado de libertad.

Solución paramétrica. Tomamos $z=t$ como parámetro libre. De la segunda ecuación:

$$-y-3t=-140⟹y=140-3t$$

De la primera:

$$x=100-y-z=100-(140-3t)-t=-40+2t$$

Solución general:

$$(x,y,z)=(-40+2t,140-3t,t)$$

Rango admisible. El presupuesto de un proyecto no puede ser negativo, así que hay que imponer las tres condiciones:

$$-40+2t\ge 0⟹t\ge 20$$$$140-3t\ge 0⟹t\le 46,67$$$$t\ge 0\text{(implicada por la primera)}$$

Los repartos factibles son los de $t\in [20;46,67]$, en miles de euros.

Interpretación. El modelo no determina un reparto único: le falta una condición. Lo que sí hace es reducir infinitas posibilidades a una familia de un solo parámetro, con límites claros. Elegir dentro de esa familia ya no es álgebra, es una decisión —y si hay un criterio para elegir, como maximizar el rendimiento, el problema pasa a ser de programación lineal, que es el bloque 4.

Ejercicio 4 · Discusión con parámetro

avanzado

Discute y resuelve, según los valores de $a$:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+ay+z=3\\ x+y+az=a\end{array}$$

Ver solución

Paso 1. Determinante de la matriz de coeficientes.

$$\det (\mathbf{A})=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|$$

Restamos $F_1$ a $F_2$ y a $F_3$, operación que no altera el determinante:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a-1& 0\\ 0& 0& a-1\end{array}\right|=1\cdot (a-1)\cdot (a-1)=(a-1{)}^2$$

Caso 1: $a\ne 1$. El determinante no se anula, $\mathrm{rg}(\mathbf{A})=3$: compatible determinado.

Escalonamos la ampliada con las mismas operaciones:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& a-1& 0& 0\\ 0& 0& a-1& a-3\end{array}\right)$$

De la segunda: $(a-1)y=0$, y como $a\ne 1$, $y=0$. De la tercera: $(a-1)z=a-3$, luego $z=\frac{a-3}{a-1}$. De la primera:

$$x=3-y-z=3-\frac{a-3}{a-1}=\frac{3(a-1)-(a-3)}{a-1}=\frac{3a-3-a+3}{a-1}=\frac{2a}{a-1}$$$$(x,y,z)=\left(\frac{2a}{a-1},0,\frac{a-3}{a-1}\right)$$

Caso 2: $a=1$. El sistema queda:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+y+z=3\\ x+y+z=1\end{array}$$

Las dos primeras son idénticas; la tercera exige que la misma suma valga 1. Escalonando:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right)$$

La última fila dice $0=-2$. Los rangos son $\mathrm{rg}(\mathbf{A})=1$ y $\mathrm{rg}(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})=2$: incompatible, sin solución.

Comprobación del caso 1 con $a=2$: debería salir $(x,y,z)=(4,0,-1)$. Sustituyendo en la tercera ecuación original: $4+0+2(-1)=2=a✓$

Observación. El valor $a=1$ anula el determinante y además rompe la compatibilidad. Que el determinante se anule solo avisa de que deja de haber solución única; para saber si el caso degenerado es de infinitas soluciones o de ninguna hay que mirar la matriz ampliada, no basta con el determinante.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Determinantes, rango e inversa — tema 7

Te abre la puerta a:

• Espacios vectoriales y conjuntos convexos — tema 9
• El algoritmo símplex: conceptos, teoremas fundamentales y funcionamiento — tema 16

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Sistemas lineales, Rouché-Frobenius y método de Gauss, con discusión de sistemas con parámetro.
• OCW UPV/EHU — Investigación Operativa. Programación Lineal, Tema 0. Presenta las operaciones de pivote justo como las usará el símplex: merece la pena leerlo con esa lectura en mente.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulo de sistemas de ecuaciones lineales, con la regla de Cramer aplicada a estática comparativa.