Determinantes, rango e inversa

1. La pregunta

Un analista mete en un modelo tres variables: gasto en publicidad, gasto en publicidad en miles de euros, y presupuesto total de marketing. El programa devuelve un error o, peor, unos coeficientes absurdos y enormes.

El problema es que las tres variables no traen tres informaciones distintas: una es combinación de las otras. Detectar esa redundancia —y saber cuándo un modelo tiene solución única y cuándo no— es lo que hacen el determinante y el rango. Y la inversa es la operación que permite despejar $\mathbf{x}$ de $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$, que es lo que hace el estimador de mínimos cuadrados del tema 30.

2. Intuición

Determinante: un factor de escala. Una matriz cuadrada transforma el espacio. Coge un cuadrado de área 1 y lo convierte en un paralelogramo. El determinante es el área de ese paralelogramo (con signo, según si la transformación da la vuelta al plano).

Si el determinante es cero, el cuadrado se ha aplastado hasta convertirse en un segmento: se ha perdido una dimensión. Y de un segmento no se puede reconstruir el cuadrado original, porque infinitos cuadrados distintos se aplastan en el mismo segmento. Determinante cero = información destruida = no hay marcha atrás.

Esa es toda la conexión: determinante distinto de cero equivale a que existe inversa, a que el sistema tiene solución única, a que las variables no son redundantes.

Rango: cuántas informaciones distintas hay. Si tres ecuaciones son en realidad dos más una repetida disfrazada, el rango es 2. El rango cuenta filas —o columnas, da igual— genuinamente independientes. Es el determinante generalizado a matrices que no son cuadradas.

Inversa: la operación de deshacer. Igual que dividir entre 5 deshace multiplicar por 5, multiplicar por ${\mathbf{A}}^{-1}$ deshace multiplicar por $\mathbf{A}$. Y como el 0 no tiene inverso entre los números, las matrices de determinante 0 no tienen inversa.

3. Formalización

Determinante

Solo se define para matrices cuadradas. Se escribe $\det (\mathbf{A})$ o $|\mathbf{A}|$.

Orden 2:

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

Orden 3 (regla de Sarrus):

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$$

Los tres primeros productos siguen las diagonales que bajan a la derecha; los tres últimos, las que bajan a la izquierda. Sarrus solo vale para orden 3: aplicarla a matrices $4\times 4$ es un error frecuente y silencioso.

Orden cualquiera: desarrollo por adjuntos. El menor complementario $M_{ij}$ es el determinante que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$. El adjunto es $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$. Entonces, desarrollando por la fila $i$:

$$\det (\mathbf{A})=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

Se puede desarrollar por cualquier fila o columna: conviene elegir la que tenga más ceros, porque cada cero elimina un adjunto entero.

Los signos $(-1{)}^{i+j}$ se alternan en tablero de ajedrez, empezando con $+$ arriba a la izquierda.

Propiedades útiles

Propiedad	Consecuencia práctica
$\det ({\mathbf{A}}^{\top })=\det (\mathbf{A})$	da igual trabajar por filas o columnas
$\det (\mathbf{AB})=\det (\mathbf{A})\det (\mathbf{B})$	el del producto es el producto
Si una fila es toda ceros, $\det =0$	una ecuación vacía no aporta
Si dos filas son iguales o proporcionales, $\det =0$	información duplicada
Intercambiar dos filas cambia el signo	cuidado al reordenar
Multiplicar una fila por $c$ multiplica $\det$ por $c$	y por tanto $\det (c\mathbf{A})=c^n\det (\mathbf{A})$
Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia $\det$	es lo que permite el método de Gauss
Triangular: $\det$ = producto de la diagonal	la vía rápida de cálculo

La penúltima y la última, combinadas, dan el método eficiente: se hacen ceros por debajo de la diagonal sin alterar el determinante, y al final se multiplican los elementos diagonales.

Rango

El rango de $\mathbf{A}$, escrito $\mathrm{rg}(\mathbf{A})$, es el número máximo de filas linealmente independientes. Coincide siempre con el de columnas, aunque la matriz no sea cuadrada.

Equivalentemente: es el orden del mayor menor no nulo. Y en la práctica se calcula escalonando por Gauss y contando las filas que no quedan a cero.

Para una matriz $m\times n$ siempre se cumple $\mathrm{rg}(\mathbf{A})\le \min (m,n)$. Si se alcanza ese máximo se dice que la matriz tiene rango completo.

Una matriz cuadrada $n\times n$ tiene rango $n$ si y solo si su determinante es distinto de cero. Se llama entonces regular o no singular.

Inversa

${\mathbf{A}}^{-1}$ es la matriz que cumple

$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}={\mathbf{I}}_n$$

Existe si y solo si $\det (\mathbf{A})\ne 0$, y en tal caso es única.

Cálculo por adjuntos:

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\mathrm{adj}(\mathbf{A}{)}^{\top }$$

donde $\mathrm{adj}(\mathbf{A})$ es la matriz de los adjuntos $A_{ij}$. La trasposición es obligatoria y es el paso que más se olvida.

Para orden 2 hay atajo, y conviene memorizarlo:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟹{\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

Se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia el signo a los otros dos.

Propiedades:

$$({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A},(\mathbf{AB}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1},\det ({\mathbf{A}}^{-1})=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}$$

Otra vez se invierte el orden, igual que con la traspuesta.

Resolver con la inversa

Si $\mathbf{A}$ es cuadrada y regular, el sistema $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ tiene solución única

$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$$

Es limpio de escribir, pero caro de calcular: para sistemas grandes se usa Gauss (tema 8), que es mucho más rápido. La forma con inversa importa sobre todo como expresión teórica: el estimador MCO se escribe $\hat{\mathbf{\beta }}=({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}$, y ahí lo que interesa es que esa inversa exista, no calcularla a mano.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una economía tiene dos sectores, agricultura e industria. Para producir 1 € de agricultura hacen falta 0,2 € de agricultura y 0,3 € de industria; para producir 1 € de industria, 0,4 € de agricultura y 0,1 € de industria. La demanda final es de 100 € de agricultura y 200 € de industria. ¿Cuánto debe producir cada sector?

Es el modelo input-output de Leontief, y es el ejemplo canónico de este tema.

Paso 1. Plantear. Sea $x_1$ la producción total de agricultura y $x_2$ la de industria. Cada sector produce lo que se consume internamente más lo que va a demanda final:

$$x_1=0,2x_1+0,4x_2+100$$ $$x_2=0,3x_1+0,1x_2+200$$

En forma matricial, con $\mathbf{A}$ la matriz de coeficientes técnicos:

$$\mathbf{x}=\mathbf{Ax}+\mathbf{d},\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0,2& 0,4\\ 0,3& 0,1\end{array}\right),\mathbf{d}=\left(\begin{array}{c}100\\ 200\end{array}\right)$$

Cuidado con la lectura de $\mathbf{A}$: el elemento $a_{ij}$ es lo que el sector $i$ aporta para producir una unidad de $j$. Por eso la columna 1 (agricultura como producto) lleva 0,2 y 0,3.

Paso 2. Despejar. Pasamos $\mathbf{Ax}$ al otro lado y sacamos factor común $\mathbf{x}$, usando la identidad:

$$\mathbf{x}-\mathbf{Ax}=\mathbf{d}⟹(\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{x}=\mathbf{d}$$

El factor común tiene que ser $\mathbf{I}$, no un 1: restar un número a una matriz no está definido.

$$\mathbf{I}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1-0,2& -0,4\\ -0,3& 1-0,1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,8& -0,4\\ -0,3& 0,9\end{array}\right)$$

Paso 3. Comprobar que hay solución.

$$\det (\mathbf{I}-\mathbf{A})=0,8\cdot 0,9-(-0,4)(-0,3)=0,72-0,12=0,6$$

Distinto de cero: existe inversa y la solución es única. Económicamente significa que la economía es productiva: puede atender cualquier demanda final sin consumirse a sí misma.

Paso 4. Calcular la inversa con el atajo de orden 2:

$$(\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}=\frac{1}{0,6}\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,4\\ 0,3& 0,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1,5& 0,667\\ 0,5& 1,333\end{array}\right)$$

Esta es la matriz inversa de Leontief, y sus elementos tienen lectura directa: el elemento $(i,j)$ dice cuánto tiene que producir el sector $i$ para atender un euro más de demanda final del sector $j$, contando todas las repercusiones indirectas.

Paso 5. Resolver.

$$\mathbf{x}=(\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{d}=\left(\begin{array}{cc}1,5& 0,667\\ 0,5& 1,333\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}100\\ 200\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150+133,3\\ 50+266,7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}283,3\\ 316,7\end{array}\right)$$

Agricultura debe producir 283,3 € e industria 316,7 €, muy por encima de los 100 y 200 de demanda final: la diferencia se la come el propio proceso productivo.

Paso 6. Comprobar. Sustituimos en la primera ecuación original:

$$0,2(283,3)+0,4(316,7)+100=56,67+126,67+100=283,3✓$$

Lectura del multiplicador. Si la demanda final de industria subiera 1 €, la agricultura tendría que producir 0,667 € más aunque nadie pida más productos agrícolas directamente. Eso es el efecto arrastre entre sectores, y es lo que la inversa captura de golpe.

5. Errores típicos

Aplicar Sarrus a orden 4 o mayor. Solo vale para $3\times 3$. Para órdenes superiores, adjuntos o triangulación.

Olvidar trasponer la matriz de adjuntos. La fórmula es $\frac{1}{\det }\mathrm{adj}(\mathbf{A}{)}^{\top }$. Sin la trasposición el resultado es otra matriz que no cumple $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$. La comprobación es barata: multiplicar y ver si sale la identidad.

Equivocar los signos de los adjuntos. Alternan en tablero de ajedrez empezando por $+$. El adjunto $A_{12}$ lleva signo menos.

Intentar invertir una matriz no cuadrada. No existe. Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, la salida es otra: en econometría, precisamente, $({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}$ existe aunque $\mathbf{X}$ no sea cuadrada, porque ${\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}$ sí lo es.

Escribir $(\mathbf{AB}{)}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}{\mathbf{B}}^{-1}$. El orden se invierte: ${\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$.

Restar un número a una matriz. $\mathbf{I}-\mathbf{A}$ sí; $1-\mathbf{A}$ no significa nada.

Confundir «determinante pequeño» con «determinante cero». Un determinante casi nulo sí tiene inversa, pero enorme y numéricamente inestable. En econometría eso es la multicolinealidad casi perfecta del tema 33: el modelo estima, pero con errores estándar disparados.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Determinantes e inversa de orden 2

básico

Sea $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$. Calcula $\det (\mathbf{A})$ y ${\mathbf{A}}^{-1}$, y comprueba el resultado.

Ver solución

$$\det (\mathbf{A})=3\cdot 4-5\cdot 1=12-5=7\ne 0$$

Existe inversa. Con el atajo —intercambiar la diagonal principal, cambiar el signo a la otra— y dividir por el determinante:

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4/7& -5/7\\ -1/7& 3/7\end{array}\right)$$

Comprobación:

$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -1& 3\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}12-5& -15+15\\ 4-4& -5+12\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right)={\mathbf{I}}_2✓$$

Ejercicio 2 · Determinante de orden 3

básico

Calcula el determinante de

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& -1& 2\\ 1& 4& 0\end{array}\right)$$

por Sarrus y por adjuntos, comprobando que coinciden.

Ver solución

Por Sarrus. Diagonales descendentes a la derecha:

$$2\cdot (-1)\cdot 0+0\cdot 2\cdot 1+1\cdot 3\cdot 4=0+0+12=12$$

Diagonales descendentes a la izquierda:

$$1\cdot (-1)\cdot 1+2\cdot 2\cdot 4+0\cdot 3\cdot 0=-1+16+0=15$$$$\det (\mathbf{B})=12-15=-3$$

Por adjuntos. Conviene desarrollar por la fila 1, que tiene un cero:

$$\det (\mathbf{B})=2\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+1\cdot A_{13}$$$$A_{11}=(+1)\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 4& 0\end{array}\right|=0-8=-8$$$$A_{13}=(+1)\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 4\end{array}\right|=12+1=13$$

El signo de $A_{13}$ es $(-1{)}^{1+3}=+1$.

$$\det (\mathbf{B})=2(-8)+1(13)=-16+13=-3✓$$

Coinciden. El desarrollo por adjuntos ha exigido calcular solo dos determinantes de orden 2 en lugar de seis productos, gracias al cero.

Ejercicio 3 · Rango y redundancia de variables

medio

Un analista tiene tres variables medidas sobre cuatro empresas. La matriz de datos es

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 8\\ 3& 5& 11\\ 4& 8& 16\end{array}\right)$$

donde las columnas son publicidad, plantilla y «publicidad más algo». Calcula el rango e interpreta.

Ver solución

Escalonamos por Gauss, restando múltiplos de la fila 1 a las demás:

$$F_2-2F_1,F_3-3F_1,F_4-4F_1$$$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& -2& -2\\ 0& -4& -4\\ 0& -4& -4\end{array}\right)$$

Ahora $F_3-2F_2$ y $F_4-2F_2$:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& -2& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Quedan dos filas no nulas, luego $\mathrm{rg}(\mathbf{X})=2$.

Interpretación. La matriz tiene 3 columnas pero solo rango 2: una de las tres variables es combinación lineal de las otras dos. En efecto, se comprueba que la tercera columna es $2\times$ primera $+1\times$ segunda: $2(1)+3=5$, $2(2)+4=8$, $2(3)+5=11$, $2(4)+8=16$. Todas cuadran.

Consecuencia econométrica. Con esta matriz de datos, ${\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}$ tiene determinante cero y no es invertible: el estimador MCO del tema 30 no existe. Es la multicolinealidad perfecta, y el software devuelve un error o elimina una variable por su cuenta. La solución no es matemática sino de diseño: quitar la variable redundante, porque no aporta información nueva.

Ejercicio 4 · Cuándo un modelo deja de tener solución única

avanzado

Un mercado de dos bienes tiene el sistema de equilibrio

$$\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ k& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\ 15\end{array}\right)$$

1. ¿Para qué valor de $k$ deja de haber solución única?
2. Para ese valor, ¿el sistema no tiene solución o tiene infinitas?
3. Resuelve para $k=1$.

Ver solución

1. La solución es única si y solo si el determinante no se anula:

$$\det =4\cdot 3-(-2)\cdot k=12+2k=0⟹k=-6$$

2. Con $k=-6$ el sistema es

$$4p_1-2p_2=20,-6p_1+3p_2=15$$

La segunda fila de coeficientes es $-1,5$ veces la primera. Si los términos independientes guardasen la misma proporción, la segunda ecuación sería la primera repetida y habría infinitas soluciones. Comprobemos: $-1,5\times 20=-30\ne 15$.

No la guardan: las dos ecuaciones se contradicen. Dividiendo la primera entre 2 sale $2p_1-p_2=10$, y la segunda entre 3 sale $-2p_1+p_2=5$, es decir, $2p_1-p_2=-5$. La misma expresión no puede valer 10 y $-5$ a la vez.

El sistema es incompatible: no tiene solución. En términos de rango, la matriz de coeficientes tiene rango 1 pero la matriz ampliada tiene rango 2, y esa desigualdad es justo el criterio de incompatibilidad que se formaliza en el tema 8.

Lectura económica. Las dos condiciones de equilibrio serían informativamente la misma —una es múltiplo de la otra— pero exigen niveles incompatibles. El modelo está mal especificado.

3. Con $k=1$, $\det =12+2=14\ne 0$. Aplicando el atajo de la inversa:

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 15\end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{c}60+30\\ -20+60\end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{c}90\\ 40\end{array}\right)$$$$p_1=\frac{90}{14}=6,43,p_2=\frac{40}{14}=2,86$$

Comprobación: $4(6,43)-2(2,86)=25,71-5,71=20✓$

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Matrices y operaciones matriciales — tema 6

Te abre la puerta a:

• Sistemas de ecuaciones lineales y método de Gauss — tema 8
• Derivadas parciales, vector gradiente, matriz hessiana y Taylor — tema 11
• Regresión múltiple, supuestos de Gauss-Markov, R² y contrastes — tema 30

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Determinantes, rango e inversa, con el criterio de existencia de solución y aplicaciones al modelo de Leontief.
• OCW UPV/EHU — Investigación Operativa. Programación Lineal, Tema 0. El rango y la independencia lineal presentados como preparación de las bases del símplex.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulo de determinantes y matrices inversas; el desarrollo del modelo input-output es el más claro de la bibliografía habitual.