Tema 6 de 40

Matrices y operaciones matriciales

8 h estimadas21.401 Fundamentos de matemáticas + 21.411 Investigación operativa / Optimización

1. La pregunta

Una economía tiene cien sectores y cada uno compra insumos a los otros noventa y nueve. Si la demanda de coches sube un 10 %, ¿cuánto acero, cuánta electricidad y cuánto plástico hacen falta de más, contando que fabricar acero también consume electricidad?

Escribir eso con ecuaciones sueltas son cien ecuaciones con cien incógnitas y no cabe en una página. Con matrices cabe en una línea. Este tema no resuelve todavía el problema: monta el lenguaje en el que se escribe, y que es el mismo de la econometría del bloque 7 y de la programación lineal del bloque 4.

2. Intuición

Una matriz es una tabla de números con dos ideas dentro.

La primera es de almacén: filas y columnas que significan algo. En una tabla input-output, la fila $i$ dice cuánto vende el sector $i$ a cada uno de los demás; la columna $j$ dice cuánto compra el sector $j$ a cada uno. El mismo número $a_{ij}$ se lee como venta o como compra según por dónde lo mires.

La segunda es de máquina: una matriz transforma vectores. Le entra un vector de producciones y le sale un vector de necesidades de insumos. Multiplicar dos matrices es encadenar dos máquinas, y por eso el orden importa: pintar y luego lijar no da lo mismo que lijar y luego pintar.

Esa segunda idea explica la regla de multiplicación, que de otro modo parece arbitraria. Cada elemento del resultado es un producto escalar: una fila de precios contra una columna de cantidades da un importe. Fila por columna, siempre. Si la fila y la columna no tienen la misma longitud, no hay nada que emparejar, y por eso las dimensiones tienen que encajar.

3. Formalización

Definición y notación

Una matriz $A$ de orden $m \times n$ es un cuadro de $m$ filas y $n$ columnas:

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn}

El elemento $a_{ij}$ está en la fila $i$ y la columna $j$ , en ese orden y sin excepción. Se escribe abreviadamente $A = (a_{ij})$ .

Un vector columna es una matriz $n \times 1$ y se escribe en minúscula negrita, $x$ . Salvo aviso, todos los vectores de este sitio son columna.

Tipos que reaparecen

Tipo	Definición	Dónde sale
Cuadrada	$m = n$	matrices de coeficientes, hessianas
Diagonal	cuadrada con $a_{ij} = 0$ si $i \neq = j$	ponderaciones, MCG
Identidad $I_{n}$	diagonal con unos	elemento neutro del producto
Simétrica	$A = A^{⊤}$	covarianzas, hessianas
Triangular superior	ceros por debajo de la diagonal	resultado del método de Gauss
Nula	todos los elementos cero	elemento neutro de la suma

Suma y producto por un escalar

Se suman elemento a elemento, y para eso las dos matrices deben tener exactamente el mismo orden:

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

El producto por un número multiplica todos los elementos: $(c A)_{ij} = c \cdot a_{ij}$ .

Ambas operaciones son conmutativas y asociativas, como con los números.

Producto de matrices

Aquí está toda la sustancia del tema. Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$ , el producto $AB$ es $m \times p$ y

(AB)_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j}

El símbolo $\sum_{k = 1}^{n}$ significa «suma para $k$ desde 1 hasta $n$ ». En palabras: el elemento de la posición $(i, j)$ del resultado es la fila $i$ de $A$ multiplicada término a término con la columna $j$ de $B$ , y sumado todo.

Regla de dimensiones. El número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Colocándolas como $(m \times n) (n \times p)$ , los dos números de dentro deben ser iguales y los de fuera dan el orden del resultado.

El producto no es conmutativo. En general $AB \neq = BA$ . Muchas veces uno de los dos ni siquiera está definido. Es la diferencia más importante con el álgebra de números y la fuente de casi todos los errores.

Sí se cumplen la asociatividad, $(AB) C = A (BC)$ , la distributividad respecto de la suma, y $A I_{n} = I_{m} A = A$ .

Otra diferencia grave: que $AB = 0$ no implica que $A$ o $B$ sean nulas. No se puede «cancelar» a la ligera.

Traspuesta

$A^{⊤}$ se obtiene cambiando filas por columnas: $(A^{⊤})_{ij} = a_{j i}$ . Si $A$ es $m \times n$ , su traspuesta es $n \times m$ .

Propiedades, con especial atención a la última:

(A^{⊤})^{⊤} = A, (A + B)^{⊤} = A^{⊤} + B^{⊤}, (AB)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}

El orden se invierte al trasponer un producto. Esa regla es la que hace que aparezca $X^{⊤} X$ en la fórmula de mínimos cuadrados del tema 30.

Una matriz es simétrica si $A = A^{⊤}$ . Solo las cuadradas pueden serlo. Toda matriz de covarianzas y toda hessiana lo son, y eso simplifica mucho su estudio.

Sistemas en forma matricial

Un sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas se escribe

Ax = b

donde $A$ es la matriz de coeficientes ( $m \times n$ ), $x$ el vector de incógnitas ( $n \times 1$ ) y $b$ el de términos independientes ( $m \times 1$ ). Es la notación con la que se trabaja en los temas 8 y 16.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una carpintería fabrica tres productos: sillas, mesas y estanterías. Cada uno consume madera (m²), horas de trabajo y barniz (litros) según esta tabla:

	Madera	Trabajo	Barniz
Silla	2	3	1
Mesa	5	4	2
Estantería	4	2	3

Los precios de los recursos son 8 €/m² de madera, 15 €/hora y 6 €/litro de barniz. El plan de producción del mes es 40 sillas, 25 mesas y 30 estanterías.

Calcula el consumo total de cada recurso y el coste total de materiales y mano de obra.

Paso 1. Montar las matrices. La tabla de necesidades técnicas es una matriz $3 \times 3$ donde las filas son productos y las columnas recursos:

N = 254342123

El plan de producción es un vector, y los precios otro:

q = 402530, p = 8156

Paso 2. Consumo total de recursos. Queremos, para cada recurso, sumar lo que consume cada producto por las unidades producidas. El recurso está en las columnas de $N$ , así que hay que recorrerlas: eso es $N^{⊤} q$ .

N^{⊤} = 231542423

Comprobamos dimensiones: $(3 \times 3) (3 \times 1) = (3 \times 1)$ . Correcto.

N^{⊤} q = 2 \cdot 40 + 5 \cdot 25 + 4 \cdot 30 3 \cdot 40 + 4 \cdot 25 + 2 \cdot 30 1 \cdot 40 + 2 \cdot 25 + 3 \cdot 30 = 80 + 125 + 120 120 + 100 + 60 40 + 50 + 90 = 325280180

Hacen falta 325 m² de madera, 280 horas de trabajo y 180 litros de barniz.

Paso 3. Coste unitario de cada producto. Ahora queremos, para cada producto, lo que cuestan sus insumos. El producto está en las filas de $N$ , así que es $Np$ :

Np = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 15 + 1 \cdot 6 5 \cdot 8 + 4 \cdot 15 + 2 \cdot 6 4 \cdot 8 + 2 \cdot 15 + 3 \cdot 6 = 16 + 45 + 6 40 + 60 + 12 32 + 30 + 18 = 6711280

Cada silla cuesta 67 €, cada mesa 112 € y cada estantería 80 €.

Paso 4. Coste total, por dos caminos.

Por productos, multiplicando el vector de costes unitarios por el plan. Como los dos son columna, hay que trasponer uno: $q^{⊤} (Np)$ , de orden $(1 \times 3) (3 \times 1) = (1 \times 1)$ , un número.

40 \cdot 67 + 25 \cdot 112 + 30 \cdot 80 = 2680 + 2800 + 2400 = 7880

Por recursos, multiplicando el consumo total por los precios:

325 \cdot 8 + 280 \cdot 15 + 180 \cdot 6 = 2600 + 4200 + 1080 = 7880

Coinciden: 7880 €. Y no es casualidad, es la asociatividad del producto:

q^{⊤} (Np) = (q^{⊤} N) p

Los dos caminos son la misma cuenta agrupada de otra forma. En un problema real con cientos de productos, esa propiedad permite elegir el orden más barato de calcular.

5. Errores típicos

Multiplicar elemento a elemento. La suma sí es elemento a elemento; el producto no. El producto es fila por columna y suma. Confundirlos es el error número uno.

Ignorar el orden. $AB$ y $BA$ son cosas distintas, y a menudo solo una existe. Antes de multiplicar, escribir las dimensiones y comprobar que los números de dentro coinciden.

Trasponer un producto sin invertir el orden. $(AB)^{⊤}$ es $B^{⊤} A^{⊤}$ , no $A^{⊤} B^{⊤}$ —que además muchas veces ni está definido.

Cancelar factores. De $AB = AC$ no se sigue $B = C$ . Hará falta la inversa del tema 7, y solo si existe.

Perder de vista qué significa cada índice. En cuanto hay que trasponer, es fácil acabar sumando peras con manzanas. El truco es comprobar las unidades del resultado: si esperabas euros y te sale metros cuadrados por hora, la operación está mal montada.

Escribir $a_{ij}$ con los índices cambiados. Primero fila, luego columna. Siempre.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Operaciones básicas

básico

Dadas

A = (1320), B = (42 - 1 5)

calcula $A + B$ , $AB$ y $BA$ .

Ver solución

Suma, elemento a elemento:

A + B = (5515)

Producto $AB$ , fila de $A$ por columna de $B$ :

AB = (1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 3 \cdot 4 + 0 \cdot 2 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 5 3 \cdot (- 1) + 0 \cdot 5) = (812 9 - 3)

Producto $BA$ :

BA = (4 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 4 \cdot 2 + (- 1) \cdot 0 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0) = (11784)

Los dos productos existen —ambas son cuadradas del mismo orden— y aun así no coinciden. Es la demostración más corta de que el producto no es conmutativo.

Ejercicio 2 · Dimensiones

básico

$A$ es $4 \times 3$ , $B$ es $3 \times 5$ y $C$ es $5 \times 4$ . Di cuáles de estos productos existen y de qué orden son: $AB$ , $BA$ , $ABC$ , $CA$ , $A^{⊤} A$ .

Ver solución

$AB$ : $(4 \times 3) (3 \times 5)$ . Los de dentro coinciden: existe, orden $4 \times 5$ .
$BA$ : $(3 \times 5) (4 \times 3)$ . 5 y 4 no coinciden: no existe.
$ABC$ : $(4 \times 5) (5 \times 4)$ tras el primer producto: existe, orden $4 \times 4$ .
$CA$ : $(5 \times 4) (4 \times 3)$ : existe, orden $5 \times 3$ .
$A^{⊤} A$ : $A^{⊤}$ es $3 \times 4$ , luego $(3 \times 4) (4 \times 3)$ : existe, orden $3 \times 3$ . Además es siempre cuadrada y simétrica, sea cual sea $A$ : es la matriz que aparece en la estimación por MCO.

Ejercicio 3 · Demanda de insumos en dos etapas

medio

Un fabricante monta bicicletas y patinetes. Cada bicicleta lleva 2 ruedas y 1 cuadro; cada patinete, 2 ruedas y 1 plataforma. A su vez, cada rueda consume 3 kg de caucho y 1 kg de acero; cada cuadro, 5 kg de acero; cada plataforma, 2 kg de acero y 1 kg de plástico.

Si se fabrican 100 bicicletas y 150 patinetes, ¿cuánto caucho, acero y plástico hacen falta?

Ver solución

Primera etapa: productos a componentes. Filas = productos (bici, patinete), columnas = componentes (rueda, cuadro, plataforma):

P = (221001)

Segunda etapa: componentes a materiales. Filas = componentes, columnas = materiales (caucho, acero, plástico):

M = 300152001

Encadenar las dos etapas. El producto $PM$ da directamente los materiales por producto, porque «componentes» es el índice que se suma: $(2 \times 3) (3 \times 3) = (2 \times 3)$ .

PM = (2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 2 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 2 2 \cdot 1 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 2 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1) = (667401)

Cada bicicleta lleva 6 kg de caucho, 7 de acero y nada de plástico; cada patinete, 6 de caucho, 4 de acero y 1 de plástico.

Aplicar el plan. Con $q^{⊤} = (100150)$ :

q^{⊤} (PM) = (100 \cdot 6 + 150 \cdot 6 100 \cdot 7 + 150 \cdot 4 100 \cdot 0 + 150 \cdot 1) = (15001300150)

Hacen falta 1500 kg de caucho, 1300 kg de acero y 150 kg de plástico.

Lo que hace útil el método es que $PM$ se calcula una sola vez y sirve para cualquier plan de producción. Con veinte etapas de fabricación y cientos de componentes, encadenar matrices es la única forma manejable de llevar la cuenta.

Ejercicio 4 · Trasposición y simetría

avanzado

Sea $A$ una matriz cualquiera de orden $m \times n$ .

Demuestra que $A^{⊤} A$ es simétrica.
Demuestra que, si $S$ es simétrica y $B$ tiene el orden adecuado, $B^{⊤} SB$ también es simétrica.

Ver solución

1. Hay que probar que la matriz coincide con su traspuesta. Aplicamos la regla del producto traspuesto, que invierte el orden:

(A^{⊤} A)^{⊤} = A^{⊤} (A^{⊤})^{⊤} = A^{⊤} A

En el primer paso se ha aplicado $(UV)^{⊤} = V^{⊤} U^{⊤}$ con $U = A^{⊤}$ y $V = A$ ; en el segundo, que trasponer dos veces devuelve la original.

Como coincide con su traspuesta, es simétrica.

2. El producto $B^{⊤} SB$ tiene tres factores; se aplica la regla dos veces, invirtiendo el orden cada vez:

(B^{⊤} SB)^{⊤} = B^{⊤} S^{⊤} (B^{⊤})^{⊤} = B^{⊤} S^{⊤} B

Y como $S$ es simétrica, $S^{⊤} = S$ , luego el resultado es $B^{⊤} SB$ : la matriz de partida.

Por qué importa. La expresión $B^{⊤} SB$ es exactamente la forma en que se transforma una matriz de varianzas y covarianzas al hacer una combinación lineal de variables. Este resultado garantiza que la matriz de covarianzas de una cartera sigue siendo simétrica, hagamos las combinaciones que hagamos. Reaparece en los temas 30 y 32.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

Repaso operativo: potencias, logaritmos, ecuaciones e inecuaciones — tema 1

Te abre la puerta a:

Determinantes, rango e inversa — tema 7

8. Recursos externos

OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Bloque de álgebra lineal: definiciones, operaciones y propiedades del producto, con ejercicios de dimensiones.
OCW UPV/EHU — Investigación Operativa. Programación Lineal, Tema 0. Repaso de álgebra matricial orientado directamente al símplex; útil leerlo ya, porque fija la notación del bloque 4.
Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulo de álgebra matricial, con el modelo input-output de Leontief como aplicación central.