Derivadas parciales, vector gradiente, matriz hessiana y Taylor

1. La pregunta

¿Cuánto aumenta la producción si contrato un trabajador más? La respuesta obvia —«lo que produzca ese trabajador»— esconde una trampa: depende de con cuánta maquinaria trabaje. Y si al contratarlo también compro una máquina, el efecto ya no es el mismo.

Hace falta separar las dos cosas: el efecto de un factor manteniendo los demás quietos, y el efecto conjunto de moverlos todos. Lo primero es la derivada parcial; lo segundo, el gradiente y la diferencial. Y para saber si un punto es un máximo —cosa que en una variable resolvía la segunda derivada— hará falta una tabla entera de segundas derivadas: la hessiana.

2. Intuición

Vuelve al mapa topográfico del tema 10. Estás en un punto de la ladera.

Derivada parcial es la pendiente si caminas exactamente hacia el este, sin desviarte. Otra derivada parcial es la pendiente hacia el norte. Cada una ignora la otra dirección: por eso se llaman parciales.

Gradiente es la flecha que apunta hacia donde la ladera sube más deprisa, y cuya longitud dice cuánto. Se construye juntando las parciales en un vector. Tiene una propiedad geométrica que se usará en todo el bloque: el gradiente es perpendicular a la curva de nivel. Tiene sentido: caminando a lo largo de una curva de nivel no subes nada, así que la dirección de máxima subida tiene que ser la que se sale de ella lo más directamente posible.

Hessiana es la tabla de cómo cambian las pendientes. En una variable bastaba un número: si la pendiente decrecía, era una cima. En dos, la ladera puede curvarse hacia abajo en una dirección y hacia arriba en otra: eso es un puerto de montaña, un punto de silla. Ni cima ni valle. La hessiana es lo que permite distinguirlo, y necesita los determinantes del tema 7.

Taylor es aproximar el terreno cerca de un punto por algo simple: primero un plano (la tangente), luego una parábola. Es lo que hace todo el análisis marginal cuando dice «para cambios pequeños».

3. Formalización

Derivadas parciales

La derivada parcial de $f$ respecto de $x_i$ en el punto $\mathbf{x}$ es

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_i+h,\dots ,x_n)-f(\mathbf{x})}{h}$$

Es la derivada de una variable, tratando todas las demás como constantes. En la práctica no se calcula con el límite: se aplican las reglas del tema 3 considerando fijas las otras variables.

Notación: $\frac{\partial f}{\partial x}$ o, abreviando, $f_x$. Se usa $f_x$ solo cuando no hay ambigüedad; en cuanto hay subíndices numéricos se vuelve a la notación completa, según el criterio de NOTACION.md.

Lectura económica. Si $Q(K,L)$ es la producción, $\partial Q/\partial L$ es la productividad marginal del trabajo: lo que aporta un trabajador más con el capital constante. Si $U(x,y)$ es la utilidad, $\partial U/\partial x$ es la utilidad marginal del bien $x$.

Gradiente

$$\nabla f(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x})\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x})\end{array}\right)$$

El símbolo $\nabla$ se lee «nabla». Dos propiedades que se usan sin parar:

1. Apunta en la dirección de máximo crecimiento de $f$, y su norma es esa tasa máxima.
2. Es perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto.

En el óptimo interior de un problema sin restricciones, el gradiente será nulo: esa es la condición de primer orden del tema 12.

Diferencial total y regla de la cadena

Para cambios pequeños en varias variables a la vez:

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

o, en forma compacta, $df=\nabla f^{\top }d\mathbf{x}$. Es la generalización de $\Delta y\approx f^{\prime }(x)\Delta x$: el efecto total es la suma de los efectos parciales.

Si $x$ e $y$ dependen a su vez de un parámetro $t$, la regla de la cadena queda

$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

Es la que se usa en dinámica: si el capital y el trabajo evolucionan con el tiempo, así crece la producción.

Relación marginal de sustitución

De la diferencial sale un resultado central. A lo largo de una curva de nivel, $f$ no cambia, luego $df=0$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}$$

Esa es la pendiente de la curva de nivel, y en valor absoluto es la relación marginal de sustitución (RMS) entre los dos bienes o factores: cuántas unidades de $y$ hay que dar a cambio de una de $x$ para quedar igual.

Es la fórmula que los manuales de microeconomía dan sin demostrar. Aquí se demuestra en tres líneas.

Derivadas de segundo orden y hessiana

Derivando otra vez cada parcial se obtienen las segundas parciales:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$$

Las dos primeras son puras; la última es cruzada y mide cómo el cambio en $y$ afecta al efecto marginal de $x$. En economía la cruzada es informativa por sí sola: si ${\partial }^{2}Q/\partial K\partial L>0$, más capital hace más productivo al trabajador, es decir, capital y trabajo son complementarios.

Teorema de Schwarz. Si las segundas parciales son continuas, las cruzadas coinciden:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

En todas las funciones de este curso se cumple, y es lo que hace simétrica a la hessiana. Si al calcularlas salen distintas, hay un error de cálculo.

La matriz hessiana recoge todas las segundas parciales:

$$\mathbf{H}f(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)$$

Es cuadrada, de orden $n$, y simétrica. Sus determinantes clasifican los puntos críticos en el tema 12.

Polinomio de Taylor

De primer orden (aproximación por el plano tangente), alrededor de $\mathbf{a}$:

$$f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a}{)}^{\top }(\mathbf{x}-\mathbf{a})$$

De segundo orden, añadiendo la curvatura:

$$f(\mathbf{x})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a}{)}^{\top }(\mathbf{x}-\mathbf{a})+\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a}{)}^{\top }\mathbf{H}f(\mathbf{a})(\mathbf{x}-\mathbf{a})$$

La expresión ${\mathbf{d}}^{\top }\mathbf{Hd}$ es una forma cuadrática, y su signo es lo que decide si un punto crítico es máximo o mínimo. En un punto crítico el gradiente es nulo, el término lineal desaparece, y toda la información sobre el tipo de extremo está en esa forma cuadrática. Por eso Taylor no es un adorno: es la justificación de las condiciones de segundo orden.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una empresa produce $Q(K,L)=40K^{0,3}{L}^{0,5}$, con $K$ el capital y $L$ el trabajo. Actualmente $K=1000$ y $L=400$.

1. Calcula las productividades marginales.
2. Halla la relación marginal de sustitución técnica e interprétala.
3. Estima el efecto de aumentar el capital en 50 y reducir el trabajo en 8.
4. Escribe la hessiana y di qué significan sus signos.

Paso 1. Productividades marginales.

Derivando respecto de $K$, con $L$ constante (la parte $40L^{0,5}$ es una constante multiplicativa):

$$\frac{\partial Q}{\partial K}=40\cdot 0,3K^{-0,7}{L}^{0,5}=12K^{-0,7}{L}^{0,5}$$

Y respecto de $L$:

$$\frac{\partial Q}{\partial L}=40\cdot 0,5K^{0,3}{L}^{-0,5}=20K^{0,3}{L}^{-0,5}$$

Evaluamos. Primero las potencias: $1000^{0,3}=e^{0,3\ln 1000}=e^{2,0723}=7,943$ y $400^{0,5}=20$.

$$\frac{\partial Q}{\partial K}=12\cdot \frac{L^{0,5}}{K^{0,7}}=12\cdot \frac{20}{1000^{0,7}}$$

Con $1000^{0,7}=e^{0,7\cdot 6,9078}=e^{4,8355}=125,9$:

$$\frac{\partial Q}{\partial K}=\frac{240}{125,9}=1,906$$ $$\frac{\partial Q}{\partial L}=20\cdot \frac{K^{0,3}}{L^{0,5}}=20\cdot \frac{7,943}{20}=7,943$$

Una unidad más de capital añade 1,91 unidades de producto; un trabajador más, 7,94.

(Producción actual, para referencia: $Q=40\cdot 7,943\cdot 20=6354,4$ unidades.)

Paso 2. Relación marginal de sustitución técnica.

$$RMST=\frac{\partial Q/\partial K}{\partial Q/\partial L}=\frac{1,906}{7,943}=0,240$$

Interpretación. Para mantener la producción constante, renunciar a una unidad de capital exige contratar 0,24 trabajadores más. O al revés: un trabajador equivale, en esta tecnología y en este punto, a unas 4,17 unidades de capital ($1/0,24$).

Es la información que hace falta para decidir la combinación de factores: si un trabajador cuesta más que 4,17 unidades de capital, conviene mecanizar.

Paso 3. Efecto de un cambio conjunto. Con $dK=+50$ y $dL=-8$, la diferencial total:

$$dQ=\frac{\partial Q}{\partial K}dK+\frac{\partial Q}{\partial L}dL=1,906(50)+7,943(-8)$$ $$dQ=95,3-63,5=+31,8\text{ unidades}$$

La producción sube unas 32 unidades: el capital añadido compensa de sobra el trabajo perdido.

Comprobación con el valor exacto. Con $K=1050$ y $L=392$:

$$1050^{0,3}=e^{0,3\cdot 6,9565}=e^{2,0870}=8,061$$ $$392^{0,5}=19,799$$ $$Q(1050,392)=40\cdot 8,061\cdot 19,799=6384,2$$

El cambio real es $6384,2-6354,4=29,8$ frente a los 31,8 estimados. El error es del 6 %, y viene de que los cambios (un 5 % en $K$, un 2 % en $L$) ya no son infinitesimales. Para cambios más pequeños la aproximación mejora rápidamente.

Paso 4. Hessiana. Derivamos otra vez cada parcial.

$$\frac{{\partial }^{2}Q}{\partial K^2}=12\cdot (-0,7)K^{-1,7}{L}^{0,5}=-8,4K^{-1,7}{L}^{0,5}$$ $$\frac{{\partial }^{2}Q}{\partial L^2}=20\cdot (-0,5)K^{0,3}{L}^{-1,5}=-10K^{0,3}{L}^{-1,5}$$ $$\frac{{\partial }^{2}Q}{\partial K\partial L}=12\cdot 0,5K^{-0,7}{L}^{-0,5}=6K^{-0,7}{L}^{-0,5}$$

Derivando la otra parcial en el otro orden sale $20\cdot 0,3K^{-0,7}{L}^{-0,5}=6K^{-0,7}{L}^{-0,5}$: coinciden, como garantiza Schwarz.

$$\mathbf{H}Q=\left(\begin{array}{cc}-8,4K^{-1,7}{L}^{0,5}& 6K^{-0,7}{L}^{-0,5}\\ 6K^{-0,7}{L}^{-0,5}& -10K^{0,3}{L}^{-1,5}\end{array}\right)$$

Lectura de los signos. Con $K,L>0$:

• Las dos puras son negativas: rendimientos decrecientes de cada factor por separado. Cada unidad adicional de capital rinde menos que la anterior, y lo mismo con el trabajo.
• La cruzada es positiva: capital y trabajo son complementarios. Más capital aumenta la productividad marginal del trabajo. Es la razón económica de que la mecanización suba los salarios en lugar de hundirlos.

Estos signos —diagonal negativa, cruzada positiva— son los de toda Cobb-Douglas con exponentes entre 0 y 1, y son los que harán que el problema de maximización del tema 12 esté bien planteado.

5. Errores típicos

Derivar respecto de una variable sin fijar las otras. Al calcular $\partial Q/\partial K$, la parte que solo depende de $L$ es una constante multiplicativa: no desaparece, pero tampoco se deriva.

Confundir la parcial con la total. $\partial f/\partial x$ supone que $y$ no se mueve. Si $y$ depende de $x$, el efecto real es $df/dx$ y hay que aplicar la cadena. Es la diferencia entre «efecto directo» y «efecto total», y es una fuente clásica de confusión en econometría.

Olvidar el signo menos en la RMS. La pendiente de la curva de nivel es $-\frac{f_x}{f_y}$. La RMS suele darse en valor absoluto, pero al usarla en una condición de tangencia hay que ser coherente.

Invertir el cociente de la RMS. Es $f_x/f_y$ cuando se pregunta cuánto $y$ compensa una unidad de $x$. Comprobar con unidades ayuda: si sale un número que no cuadra con la intuición del problema, probablemente esté del revés.

Poner mal los índices de la hessiana. El elemento $(1,2)$ es ${\partial }^{2}f/\partial x_1\partial x_2$. Como es simétrica, el error se disimula, pero en matrices de orden 3 o más ya no.

Creer que una cruzada positiva es «bueno». Solo dice que los factores se refuerzan. No implica nada sobre si hay máximo: eso lo decide el conjunto de la hessiana.

Usar Taylor de primer orden en un punto crítico. Ahí el gradiente es cero y la aproximación lineal dice que la función es constante. Hace falta el término de segundo orden, que es justamente el informativo.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Parciales y gradiente

básico

Sea $f(x,y)=3x^{2}y+5x{y}^3-2y$.

1. Calcula $\partial f/\partial x$ y $\partial f/\partial y$.
2. Halla $\nabla f(1,2)$.

Ver solución

1. Respecto de $x$, tratando $y$ como constante:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=6xy+5y^3$$

El término $-2y$ no depende de $x$: su parcial es cero.

Respecto de $y$, tratando $x$ como constante:

$$\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2+15x{y}^2-2$$

2. En $(1,2)$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=6(1)(2)+5(8)=12+40=52$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=3+15(1)(4)-2=3+60-2=61$$$$\nabla f(1,2)=\left(\begin{array}{c}52\\ 61\end{array}\right)$$

La dirección de máximo crecimiento apunta un poco más hacia $y$ que hacia $x$.

Ejercicio 2 · Hessiana y simetría

básico

Calcula la hessiana de $g(x,y)=x^3+2x^{2}y-y^2$ en el punto $(1,1)$ y comprueba el teorema de Schwarz.

Ver solución

Primeras parciales:

$$g_x=3x^2+4xy,g_y=2x^2-2y$$

Segundas:

$$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}=6x+4y,\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}=-2$$$$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(3x^2+4xy)=4x$$$$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2x^2-2y)=4x$$

Coinciden: Schwarz se cumple, como debía.

En $(1,1)$:

$$\mathbf{H}g(1,1)=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 4& -2\end{array}\right)$$

Simétrica, y con un elemento diagonal positivo y otro negativo: la función se curva hacia arriba en la dirección $x$ y hacia abajo en la $y$. Es la firma de un punto de silla, que se formalizará en el tema 12.

Ejercicio 3 · Utilidad marginal y relación de sustitución

medio

Un consumidor tiene $U(x,y)=x^{0,4}{y}^{0,6}$ y actualmente consume $x=16$ e $y=32$.

1. Calcula las utilidades marginales.
2. Halla la relación marginal de sustitución.
3. Si en el mercado un bien $x$ cuesta 3 € y un bien $y$ cuesta 5 €, ¿le conviene cambiar su cesta?

Ver solución

1.

$$\frac{\partial U}{\partial x}=0,4x^{-0,6}{y}^{0,6}=0,4{\left(\frac{y}{x}\right)}^{0,6}$$$$\frac{\partial U}{\partial y}=0,6x^{0,4}{y}^{-0,4}=0,6{\left(\frac{x}{y}\right)}^{0,4}$$

Con $y/x=32/16=2$:

$$\frac{\partial U}{\partial x}=0,4\cdot 2^{0,6}=0,4\cdot 1,5157=0,6063$$$$\frac{\partial U}{\partial y}=0,6\cdot 0,5^{0,4}=0,6\cdot 0,7579=0,4547$$

2.

$$RMS=\frac{\partial U/\partial x}{\partial U/\partial y}=\frac{0,6063}{0,4547}=1,333$$

El consumidor está dispuesto a entregar 1,333 unidades de $y$ por una unidad extra de $x$, quedando igual de satisfecho.

3. El mercado ofrece un intercambio distinto. Con $p_x=3$ y $p_y=5$, comprar una unidad de $x$ cuesta 3 €, que equivalen a $3/5=0,6$ unidades de $y$.

$$RMS=1,333\text{frente a}\frac{p_x}{p_y}=0,6$$

La valora más de lo que cuesta. El consumidor daría 1,33 unidades de $y$ por una de $x$, y el mercado solo le pide 0,6. Le conviene comprar más $x$ y menos $y$.

Al hacerlo, $x$ sube e $y$ baja, de modo que $y/x$ disminuye y con él la RMS. El proceso para cuando

$$RMS=\frac{p_x}{p_y}$$

que es la condición de tangencia entre curva de indiferencia y recta presupuestaria: el óptimo del consumidor. Resolverlo formalmente, con la restricción de renta incluida, es el problema del tema 14.

Ejercicio 4 · Taylor de segundo orden y calidad de la aproximación

avanzado

Sea $B(x,y)=100+12x+8y-x^2-0,5y^2-xy$ el beneficio en función de dos líneas de producto.

1. Escribe la aproximación de Taylor de segundo orden alrededor de $(2,2)$.
2. Úsala para estimar $B(2,5;1,5)$ y compara con el valor exacto.
3. Explica por qué en este caso la aproximación es exacta.

Ver solución

1. Elementos necesarios.

Valor en el punto:

$$B(2,2)=100+24+16-4-2-4=130$$

Gradiente:

$$B_x=12-2x-y,B_y=8-y-x$$$$B_x(2,2)=12-4-2=6,B_y(2,2)=8-2-2=4$$$$\nabla B(2,2)=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$$

Hessiana (constante, porque $B$ es cuadrática):

$$\mathbf{H}B=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& -1\end{array}\right)$$

Con $\mathbf{d}=(x-2,y-2{)}^{\top }$, el polinomio de Taylor es

$$B(x,y)\approx 130+6(x-2)+4(y-2)+\frac{1}{2}[-2(x-2{)}^2-2(x-2)(y-2)-(y-2{)}^2]$$

El término cruzado aparece dos veces en la forma cuadrática (posiciones $(1,2)$ y $(2,1)$), de ahí el $-2(x-2)(y-2)$ antes de multiplicar por $\frac{1}{2}$.

2. Estimación en $(2,5;1,5)$. Aquí $\mathbf{d}=(0,5;-0,5)$.

Término lineal:

$$6(0,5)+4(-0,5)=3-2=1$$

Término cuadrático:

$$\frac{1}{2}[-2(0,25)-2(0,5)(-0,5)-(0,25)]=\frac{1}{2}[-0,5+0,5-0,25]=\frac{1}{2}(-0,25)=-0,125$$$$B\approx 130+1-0,125=130,875$$

Valor exacto:

$$B(2,5;1,5)=100+30+12-6,25-1,125-3,75=130,875$$

Coinciden exactamente.

3. Por qué es exacta. El polinomio de Taylor de orden 2 reproduce la función exactamente cuando la función es un polinomio de grado 2, porque todas las derivadas de orden 3 y superior —que son las que forman el resto— son nulas.

Consecuencia práctica. En cuanto un modelo económico se aproxima por una función cuadrática, el análisis de Taylor de segundo orden deja de ser aproximación y pasa a ser exacto. Y como cerca de un punto crítico el término lineal desaparece, toda la información sobre si es máximo o mínimo está en la hessiana: aquí, con $-2<0$ y $\det \mathbf{H}=(-2)(-1)-(-1{)}^2=2-1=1>0$, la forma cuadrática es definida negativa y el punto crítico será un máximo. El criterio completo, en el tema 12.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Derivadas: reglas de derivación y regla de la cadena — tema 3
• Determinantes, rango e inversa — tema 7
• Funciones multivariantes: definiciones, curvas de nivel y visualización — tema 10

Te abre la puerta a:

• Optimización sin restricciones: puntos críticos y clasificación — tema 12
• Concavidad y convexidad de funciones; criterios de globalidad — tema 13

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía II, cálculo diferencial en varias variables. Es el recurso central del tema: parciales, gradiente, diferencial y hessiana con ejercicios resueltos.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Derivadas parciales y diferenciabilidad, con más ejercicios de aplicación a utilidad y producción.
• Guías docentes UGR — Matemáticas para la Economía II. Confirman el alcance esperado: gradiente, regla de la cadena, hessiana y Taylor.
• Gnuplot. Ver la superficie y su plano tangente en un punto ayuda a entender Taylor de primer orden; con set isosamples 50 el dibujo queda mucho más legible.