Optimización con restricciones: Lagrange y Kuhn-Tucker

1. La pregunta

Ningún agente económico optimiza libremente. El consumidor tiene una renta; la empresa, una capacidad de planta; el Estado, un presupuesto. La pregunta no es «cuál es el mejor plan» sino «cuál es el mejor plan de los que puedo permitirme».

Y hay una segunda pregunta, más útil todavía: cuánto vale relajar la restricción. ¿Cuánto ganaría la empresa con una hora más de máquina? ¿Cuánto sube la utilidad del consumidor con un euro más de renta? Ese número tiene nombre —el multiplicador de Lagrange— y es el resultado con más contenido económico de todo el bloque 3. Reaparece en el bloque 4 como precio sombra de la dualidad.

2. Intuición

Estás en la ladera y quieres llegar lo más alto posible, pero solo puedes caminar por un sendero marcado. La cima de la montaña te queda fuera del sendero: es inalcanzable.

¿Dónde está el punto más alto del sendero? Piensa en las curvas de nivel. Mientras el sendero cruce una curva de nivel, puedes seguir andando y subir. El punto más alto es donde el sendero deja de cruzar curvas de nivel y pasa a rozar una de ellas: donde son tangentes.

Y tangencia significa que las dos tienen la misma dirección perpendicular. Como el gradiente es perpendicular a la curva de nivel (tema 11), la condición es que el gradiente de la función y el de la restricción sean paralelos. Paralelos, no iguales: uno puede ser un múltiplo del otro. Ese múltiplo es $\lambda$.

Qué mide $\lambda$. Si el sendero se desplaza un poco ladera arriba, ganas altura. El multiplicador dice cuánta por cada unidad de desplazamiento. Por eso es el valor de relajar la restricción.

Y cuando la restricción es una desigualdad, aparece un caso nuevo: puede que el óptimo libre ya esté dentro de lo permitido, y entonces la restricción no ata. Si no ata, relajarla no vale nada, y $\lambda =0$. Esa alternativa —o la restricción se cumple con igualdad, o su multiplicador es cero— es toda la idea de Kuhn-Tucker.

3. Formalización

El problema con restricción de igualdad

$$\underset{x,y}{\max }f(x,y)\text{sujeto a}g(x,y)=b$$

$f$ es la función objetivo y $g(x,y)=b$ la restricción.

Función lagrangiana

$$\mathcal{L}(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda (g(x,y)-b)$$

donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange, una variable nueva. El signo del término es un convenio; con el signo contrario, $\lambda$ cambia de signo y la interpretación se invierte. En este sitio se usa siempre la resta, según NOTACION.md.

Condiciones de primer orden

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=f_x-\lambda g_x=0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=f_y-\lambda g_y=0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda }=-(g(x,y)-b)=0⟺g(x,y)=b$$

La tercera devuelve la restricción: derivar respecto de $\lambda$ obliga a cumplirla. Ese es el truco del método, y por eso funciona.

De las dos primeras, dividiendo una entre otra (si $g_y\ne 0$):

$$\frac{f_x}{f_y}=\frac{g_x}{g_y}$$

que es la condición de tangencia: la relación marginal de sustitución iguala a la relación de precios. Es la ecuación que la microeconomía usa continuamente.

Interpretación del multiplicador

El resultado clave. Si $V(b)$ es el valor óptimo alcanzado cuando el nivel de la restricción es $b$, entonces

$${\lambda }^{\ast }=\frac{dV}{db}$$

$\lambda$ es la variación del óptimo por unidad de relajación de la restricción.

• Si la restricción es un presupuesto y $f$ una utilidad, $\lambda$ es la utilidad marginal de la renta.
• Si es una capacidad y $f$ un beneficio, $\lambda$ es lo que la empresa pagaría como máximo por una unidad más de capacidad: su precio sombra.

Un $\lambda =12$ significa: «un euro más de presupuesto vale 12 unidades de objetivo». Y por tanto: si conseguir esa unidad cuesta menos de 12, conviene.

Condición de segundo orden: hessiana orlada

Para confirmar que el punto es máximo y no mínimo se usa la hessiana orlada, que añade a la hessiana del lagrangiano una fila y una columna con el gradiente de la restricción:

$$\bar{\mathbf{H}}=\left(\begin{array}{ccc}0& g_x& g_y\\ g_x& {\mathcal{L}}_{xx}& {\mathcal{L}}_{xy}\\ g_y& {\mathcal{L}}_{yx}& {\mathcal{L}}_{yy}\end{array}\right)$$

Con dos variables y una restricción:

• $\det \bar{\mathbf{H}}>0⟹$ máximo local.
• $\det \bar{\mathbf{H}}<0⟹$ mínimo local.

Atajo que ahorra casi siempre este cálculo. Si $f$ es cóncava (tema 13) y la restricción es lineal, el punto que cumple las condiciones de primer orden es máximo global, sin más. En los problemas económicos habituales —utilidad cóncava, restricción presupuestaria lineal— basta con decirlo.

Restricciones de desigualdad: Kuhn-Tucker

$$\underset{x,y}{\max }f(x,y)\text{sujeto a}g(x,y)\le b,x\ge 0,y\ge 0$$

Con el mismo lagrangiano, las condiciones de Kuhn-Tucker para un máximo son:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}\le 0,x\ge 0,x\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$

(y análogamente para $y$), más

$$g(x,y)\le b,\lambda \ge 0,\lambda (g(x,y)-b)=0$$

La última línea es la holgura complementaria, y es lo único realmente nuevo. Dice que el producto es cero, es decir, que al menos uno de los dos factores lo es:

• o bien $g(x,y)=b$ (la restricción satura, se cumple con igualdad) y entonces $\lambda$ puede ser positivo;
• o bien $g(x,y)<b$ (sobra recurso) y entonces $\lambda =0$.

La lectura económica es transparente: un recurso que sobra no vale nada en el margen. Nadie paga por una hora extra de una máquina que ya está parada.

La condición $\lambda \ge 0$ también tiene sentido: relajar una restricción de máximo nunca puede empeorar el óptimo.

Cómo se resuelve en la práctica

Se procede por casos, según qué restricciones saturan:

1. Suponer que la restricción no ata ($\lambda =0$) y resolver el problema libre. Comprobar si la solución cumple $g\le b$. Si la cumple, es la solución.
2. Si no la cumple, suponer que satura ($g=b$) y resolver con Lagrange. Comprobar que $\lambda \ge 0$.
3. Con varias restricciones, repetir con cada combinación de saturadas y no saturadas.

Con $m$ restricciones hay $2^m$ casos, lo que se vuelve impracticable a mano. Por eso, cuando todo es lineal, se usa el símplex del tema 16, que recorre los casos con método en vez de enumerarlos.

Cualificación de restricciones. Los teoremas exigen una condición técnica —que los gradientes de las restricciones saturadas sean linealmente independientes— llamada cualificación de restricciones. Con restricciones lineales se cumple siempre, y en este curso se dará por buena; conviene saber que existe porque sin ella el método puede fallar.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Un consumidor tiene utilidad $U(x,y)=x^{0,6}{y}^{0,4}$, los precios son $p_x=3$ € y $p_y=2$ €, y su renta es $m=120$ €. Halla la cesta óptima e interpreta el multiplicador.

Paso 1. Plantear.

$$\max x^{0,6}{y}^{0,4}\text{sujeto a}3x+2y=120$$

La restricción se toma con igualdad porque la utilidad es creciente en los dos bienes: al consumidor nunca le sobra renta.

Paso 2. Lagrangiano.

$$\mathcal{L}=x^{0,6}{y}^{0,4}-\lambda (3x+2y-120)$$

Paso 3. Condiciones de primer orden.

$${\mathcal{L}}_x=0,6x^{-0,4}{y}^{0,4}-3\lambda =0$$ $${\mathcal{L}}_y=0,4x^{0,6}{y}^{-0,6}-2\lambda =0$$ $$3x+2y=120$$

Paso 4. Eliminar $\lambda$. Dividiendo la primera entre la segunda:

$$\frac{0,6x^{-0,4}{y}^{0,4}}{0,4x^{0,6}{y}^{-0,6}}=\frac{3\lambda }{2\lambda }=\frac{3}{2}$$

El lado izquierdo, aplicando reglas de potencias:

$$\frac{0,6}{0,4}{x}^{-0,4-0,6}{y}^{0,4+0,6}=1,5\frac{y}{x}$$

Luego

$$1,5\frac{y}{x}=1,5⟹y=x$$

Paso 5. Sustituir en la restricción.

$$3x+2x=120⟹5x=120⟹x^{\ast }=24,y^{\ast }=24$$

Paso 6. Calcular $\lambda$. De la primera condición, con $x=y=24$:

$$0,6x^{-0,4}{y}^{0,4}=0,6{\left(\frac{y}{x}\right)}^{0,4}=0,6\cdot 1=0,6$$ $$0,6=3\lambda ⟹{\lambda }^{\ast }=0,2$$

Paso 7. Interpretar. La utilidad alcanzada es

$$U(24,24)=24^{0,6}\cdot 24^{0,4}=24$$

${\lambda }^{\ast }=0,2$ significa que un euro más de renta aumentaría la utilidad en 0,2 unidades.

Comprobación numérica. Con $m=121$, las proporciones no cambian ($y=x$), así que $5x=121⟹x=y=24,2$ y $U=24,2$. El aumento de utilidad es $24,2-24=0,2$. Coincide exactamente con $\lambda$.

(Coincide de forma exacta porque esta Cobb-Douglas con exponentes que suman 1 tiene función de utilidad indirecta lineal en la renta; en general $\lambda$ es una derivada y la coincidencia es solo aproximada para incrementos finitos.)

Paso 8. Un resultado que conviene reconocer. El gasto en cada bien ha sido $3(24)=72$ € y $2(24)=48$ €, es decir, el 60 % y el 40 % de la renta. Y esos son justo los exponentes de la Cobb-Douglas.

No es casualidad. Repitiendo el cálculo con exponentes $\alpha$ y $1-\alpha$ genéricos, sale siempre

$$p_x{x}^{\ast }=\alpha m,p_y{y}^{\ast }=(1-\alpha )m$$

Con preferencias Cobb-Douglas, la proporción de renta gastada en cada bien es constante y no depende de los precios. Es una de las razones de que esta forma funcional se use tanto, y es contrastable con datos reales de gasto.

Paso 9. Globalidad. $U$ es cuasicóncava y la restricción es lineal, de modo que el conjunto factible es convexo y la solución encontrada es el máximo global. No hace falta la hessiana orlada.

5. Errores típicos

Olvidar la tercera condición. Derivar respecto de $\lambda$ es lo que impone la restricción. Sin ella el sistema queda indeterminado.

Cambiar el signo del multiplicador a mitad del problema. Si el lagrangiano se define restando, hay que mantenerlo. Con la otra convención, $\lambda$ sale con signo opuesto y la interpretación como precio sombra se invierte.

Interpretar $\lambda$ como euros cuando el objetivo no son euros. $\lambda$ tiene las unidades del objetivo divididas por las de la restricción. Si $f$ es utilidad y la restricción euros, $\lambda$ es «utilidad por euro», no euros.

Aplicar Lagrange con restricción de desigualdad sin comprobar si ata. Si el óptimo libre ya cumple la restricción, forzar la igualdad da un resultado peor y un $\lambda$ negativo. Un $\lambda$ negativo en un problema de máximo es la señal de que la restricción no debía saturar.

Olvidar la holgura complementaria. En Kuhn-Tucker no basta con las derivadas: hay que comprobar los productos $\lambda (g-b)=0$ y $x{\mathcal{L}}_x=0$ para cada caso.

No comprobar las soluciones de esquina. Si una variable sale negativa, la solución está en la frontera $x=0$, y hay que rehacer el caso con esa variable fija en cero.

Dar por global un óptimo sin justificarlo. Con objetivo cóncavo y conjunto factible convexo, sí. Fuera de ese caso, hace falta la hessiana orlada o comparar candidatos.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Lagrange con restricción lineal

básico

Maximiza $f(x,y)=xy$ sujeto a $x+y=20$.

Ver solución

$$\mathcal{L}=xy-\lambda (x+y-20)$$$${\mathcal{L}}_x=y-\lambda =0⟹y=\lambda$$$${\mathcal{L}}_y=x-\lambda =0⟹x=\lambda$$$$x+y=20$$

De las dos primeras, $x=y$. Sustituyendo: $2x=20⟹x=y=10$, y $\lambda =10$.

El máximo es $f(10,10)=100$.

Interpretación de $\lambda =10$. Si el total disponible pasara de 20 a 21, el producto máximo pasaría a $10,5^2=110,25$, es decir, unas 10,25 unidades más. El multiplicador (10) aproxima ese incremento; la diferencia es el término de segundo orden.

Ejercicio 2 · Minimizar coste para un nivel de producción

básico

Una empresa quiere producir 100 unidades con $Q(K,L)=K^{0,5}{L}^{0,5}$, pagando $r=4$ € por unidad de capital y $w=9$ € por unidad de trabajo. Minimiza el coste.

Ver solución

$$\min 4K+9L\text{sujeto a}{K}^{0,5}{L}^{0,5}=100$$$$\mathcal{L}=4K+9L-\lambda (K^{0,5}{L}^{0,5}-100)$$$${\mathcal{L}}_K=4-\lambda \cdot 0,5K^{-0,5}{L}^{0,5}=0$$$${\mathcal{L}}_L=9-\lambda \cdot 0,5K^{0,5}{L}^{-0,5}=0$$

Dividiendo la primera entre la segunda:

$$\frac{4}{9}=\frac{K^{-0,5}{L}^{0,5}}{K^{0,5}{L}^{-0,5}}=\frac{L}{K}⟹L=\frac{4}{9}K$$

Sustituyendo en la restricción:

$$K^{0,5}{\left(\frac{4}{9}K\right)}^{0,5}=100⟹K\sqrt{\frac{4}{9}}=100⟹\frac{2}{3}K=100$$$$K^{\ast }=150,L^{\ast }=\frac{4}{9}(150)=66,67$$$$C^{\ast }=4(150)+9(66,67)=600+600=1200\text{ €}$$

Obsérvese que el gasto se reparte a partes iguales entre los dos factores, 600 y 600: es la consecuencia de que los exponentes sean iguales (0,5 y 0,5), el mismo fenómeno que en el ejemplo resuelto.

Multiplicador: de la primera condición, $\lambda =8K^{0,5}{L}^{-0,5}=8\sqrt{150/66,67}=8\cdot 1,5=12$.

$\lambda =12$ €: producir una unidad más costaría unos 12 €. Es el coste marginal, y aquí ha salido como multiplicador de la restricción de producción.

Ejercicio 3 · Kuhn-Tucker: cuándo la restricción no ata

medio

Maximiza $f(x,y)=20x+30y-x^2-y^2$ sujeto a $x+y\le 30$, con $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Ver solución

Caso 1: la restricción no ata ($\lambda =0$). El problema es libre:

$$f_x=20-2x=0⟹x=10$$$$f_y=30-2y=0⟹y=15$$

Comprobamos la restricción: $10+15=25\le 30✓$. También $x,y\ge 0$.

Se cumple todo, así que este es el óptimo:

$$x^{\ast }=10,y^{\ast }=15,{\lambda }^{\ast }=0$$$$f(10,15)=200+450-100-225=325$$

Verificación de que es máximo. $f_{xx}=-2$, $f_{yy}=-2$, $f_{xy}=0$, luego $D_2=4>0$ y $f_{xx}<0$: hessiana definida negativa en todo el plano, función estrictamente cóncava, máximo global.

Interpretación de ${\lambda }^{\ast }=0$. La capacidad de 30 no ata: sobran 5 unidades. Ampliarla no valdría nada, y la empresa no debería pagar ni un céntimo por más capacidad. Es exactamente lo que dice la holgura complementaria: si $g<b$, entonces $\lambda =0$.

Contraste. Si la restricción fuera $x+y\le 20$, el óptimo libre (25 unidades) ya no sería factible y habría que resolver el caso 2 con $x+y=20$. Ahí saldría $x=7,5$, $y=12,5$ y $\lambda =5>0$: cada unidad extra de capacidad valdría 5.

Ejercicio 4 · Dos restricciones y análisis por casos

avanzado

Una empresa maximiza $B(x,y)=40x+50y-x^2-2y^2$ sujeta a dos recursos:

$$x+y\le 25\text{(horas)},2x+y\le 30\text{(materia prima)}$$

con $x,y\ge 0$. Encuentra el óptimo y di qué recurso conviene ampliar.

Ver solución

Caso A: ninguna restricción ata. Óptimo libre:

$$B_x=40-2x=0⟹x=20,B_y=50-4y=0⟹y=12,5$$

Comprobamos: $20+12,5=32,5>25$. Incumple la primera. Se descarta.

Caso B: solo ata la primera ($x+y=25$).

$$\mathcal{L}=40x+50y-x^2-2y^2-{\lambda }_1(x+y-25)$$$$40-2x-{\lambda }_1=0,50-4y-{\lambda }_1=0$$

Igualando ${\lambda }_1$: $40-2x=50-4y⟹4y-2x=10⟹y=2,5+0,5x$.

Con $x+y=25$:

$$x+2,5+0,5x=25⟹1,5x=22,5⟹x=15,y=10$$

Comprobamos la segunda restricción: $2(15)+10=40>30$. Incumple. Se descarta.

Caso C: solo ata la segunda ($2x+y=30$).

$$40-2x-2{\lambda }_2=0,50-4y-{\lambda }_2=0$$

De la segunda, ${\lambda }_2=50-4y$. Sustituyendo en la primera:

$$40-2x-2(50-4y)=0⟹40-2x-100+8y=0⟹8y-2x=60$$$$y=7,5+0,25x$$

Con $2x+y=30$:

$$2x+7,5+0,25x=30⟹2,25x=22,5⟹x=10,y=10$$

Comprobamos la primera: $10+10=20\le 25✓$.

Y el multiplicador: ${\lambda }_2=50-40=10\ge 0✓$.

Todas las condiciones se cumplen. Este es el óptimo:

$$x^{\ast }=10,y^{\ast }=10,{\lambda }_1^{\ast }=0,{\lambda }_2^{\ast }=10$$$$B(10,10)=400+500-100-200=600\text{ €}$$

Caso D (ambas atan) daría el corte de las dos rectas: $x+y=25$ y $2x+y=30$, o sea $x=5$, $y=20$, con $B=200+1000-25-800=375<600$. Peor, y además habría que comprobar los signos de los multiplicadores. Se descarta.

Qué recurso ampliar. Los multiplicadores lo dicen sin ambigüedad:

• ${\lambda }_1^{\ast }=0$: de las horas sobran 5 (se usan 20 de 25). Ampliarlas no vale nada.
• ${\lambda }_2^{\ast }=10$: la materia prima está agotada y cada unidad adicional aportaría unos 10 € de beneficio.

Conviene ampliar la materia prima, y solo si conseguirla cuesta menos de 10 € por unidad. Comprar más horas de máquina sería tirar el dinero.

Comprobación de ${\lambda }_2$. Con la restricción a 31 en lugar de 30, rehaciendo el caso C: $2,25x=31-7,5=23,5⟹x=10,444$, $y=10,111$, y

$$B=417,78+505,56-109,09-204,47=609,78$$

El incremento es 9,78, muy cerca de los 10 que anunciaba el multiplicador. La pequeña diferencia es el término de segundo orden, y confirma que $\lambda$ es una derivada: exacta en el margen, aproximada para saltos finitos.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Espacios vectoriales y conjuntos convexos — tema 9
• Optimización sin restricciones: puntos críticos y clasificación — tema 12
• Concavidad y convexidad de funciones; criterios de globalidad — tema 13

Te abre la puerta a:

Cierra el bloque 3. La idea del multiplicador como precio de una restricción reaparece, con otro nombre y otro método, en la dualidad del bloque 4.

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía II. Optimización con restricciones: Lagrange, hessiana orlada e interpretación del multiplicador.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Optimización con restricciones aplicada a utilidad, producción y costes; muchos ejercicios resueltos del tipo del ejemplo.
• Guías docentes UGR — Matemáticas para la Economía II. Recogen explícitamente Lagrange y Kuhn-Tucker con interpretación económica de los multiplicadores como contenido evaluable: sirven para validar que este tema cubre lo esperado.
• Gnuplot. Dibujar las curvas de nivel de la utilidad junto con la recta presupuestaria hace visible la tangencia; con set contour y la recta (120-3*x)/2 se ve el punto óptimo sin resolver nada.