Funciones multivariantes: definiciones, curvas de nivel y visualización

1. La pregunta

Ningún problema económico real tiene una sola variable. La producción depende del capital y del trabajo; la satisfacción de un consumidor, de todos los bienes que compra a la vez; el beneficio, del precio y de la cantidad y de los costes.

En cuanto hay dos variables, la gráfica deja de ser una curva y pasa a ser una superficie, que no se puede dibujar en un papel. La solución que usa toda la economía —curvas de indiferencia, isocuantas, isocostes— es la misma que usan los mapas topográficos: las curvas de nivel. Este tema explica qué son exactamente y cómo se leen.

2. Intuición

Un mapa de montaña es plano y sin embargo representa un terreno con relieve. El truco son las líneas que unen los puntos de la misma altitud. Si están juntas, la pendiente es fuerte; si están separadas, el terreno es suave. Y nunca se cruzan: un punto no puede estar a 800 y a 900 metros a la vez.

Una función de dos variables es un terreno: cada par $(x,y)$ tiene una «altura» $f(x,y)$. Sus curvas de nivel son las combinaciones que dan el mismo resultado.

Y aquí está la conexión con la economía, que es total:

• Si $f$ es una función de utilidad, sus curvas de nivel son las curvas de indiferencia: cestas distintas que dejan al consumidor igual de satisfecho.
• Si $f$ es una función de producción, son las isocuantas: combinaciones de capital y trabajo que producen lo mismo.
• Si $f$ es un coste, son las isocostes.

Cuando un manual dibuja una curva de indiferencia convexa y dice «la pendiente es la relación marginal de sustitución», está diciendo algo que se demuestra con las herramientas del tema 11. Aquí montamos el objeto; allí lo derivamos.

3. Formalización

Definición

Una función de $n$ variables es una regla

$$f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}$$

que asigna a cada vector $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ un único número real $f(\mathbf{x})$. El dominio $D$ es el conjunto de vectores admisibles; en economía casi siempre $x_i\ge 0$.

Con $n=2$ se escribe $z=f(x,y)$ y su gráfica es una superficie en ${\mathbb{R}}^3$. Con $n\ge 3$ ya no hay dibujo posible, y por eso las curvas de nivel dejan de ser una comodidad para ser la única herramienta visual.

Funciones que aparecen una y otra vez

Cobb-Douglas.

$$f(K,L)=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$$

con $A>0$ la productividad total de los factores, y $\alpha ,\beta >0$ las elasticidades respecto de cada factor. Es la forma funcional más usada en economía, y la razón es que al tomar logaritmos se vuelve lineal: $\ln f=\ln A+\alpha \ln K+\beta \ln L$, que es directamente una regresión.

Lineal (sustitutos perfectos). $f(x,y)=ax+by$. Sus curvas de nivel son rectas paralelas.

Leontief (complementarios perfectos). $f(x,y)=\min (ax,by)$. Curvas de nivel en forma de L: no sirve de nada tener más de un factor si falta el otro. Es la función de producción del modelo input-output del tema 7.

CES, que engloba a las tres anteriores como casos límite, y que se menciona aquí solo para reconocerla si aparece.

Curvas de nivel

La curva de nivel $c$ de $f$ es el conjunto

$$N_c=\{(x,y)\in D:f(x,y)=c\}$$

Propiedades que se usan constantemente:

• Dos curvas de nivel distintas nunca se cortan. Si un punto estuviera en $N_{c_1}$ y en $N_{c_2}$, la función valdría $c_1$ y $c_2$ en él, y una función asigna un solo valor. Es la razón formal de que las curvas de indiferencia no se crucen.
• Por cada punto del dominio pasa exactamente una.
• Cuanto más juntas estén las curvas de niveles equiespaciados, más rápido cambia la función: la superficie es más empinada.

Cómo se obtienen. Se iguala $f(x,y)=c$ y se despeja $y$ en función de $x$. Para la Cobb-Douglas $f=K^{0,5}{L}^{0,5}=c$, elevando al cuadrado sale $KL=c^2$, es decir, $L=c^2/K$: una hipérbola. Esa es la forma característica de las isocuantas.

Rendimientos a escala

Multiplicar todos los factores por un mismo número $t>1$ y ver qué pasa con la producción:

$$f(tK,tL)=t^{r}f(K,L)$$

Valor de $r$	Rendimientos a escala
$r>1$	crecientes
$r=1$	constantes
$r<1$	decrecientes

Para la Cobb-Douglas $A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$ el cálculo es directo:

$$f(tK,tL)=A(tK{)}^{\alpha }(tL{)}^{\beta }=A{t}^{\alpha }{K}^{\alpha }{t}^{\beta }{L}^{\beta }=t^{\alpha +\beta }f(K,L)$$

luego $r=\alpha +\beta$. Sumar los exponentes de una Cobb-Douglas da directamente el tipo de rendimientos a escala, y es una de las lecturas más útiles de una regresión log-log.

Una función que cumple $f(t\mathbf{x})=t^{r}f(\mathbf{x})$ para todo $t>0$ se llama homogénea de grado $r$.

No confundir con los rendimientos decrecientes de un factor del tema 3: aquellos mueven un factor dejando los demás fijos; estos mueven todos a la vez. Una Cobb-Douglas con $\alpha =\beta =0,5$ tiene rendimientos constantes a escala y rendimientos decrecientes de cada factor por separado.

Continuidad y conjuntos de nivel superior

La continuidad se define igual que en una variable, con límites, y en la práctica vale la misma regla: sumas, productos, cocientes (donde no se anule el denominador) y composiciones de funciones elementales son continuas.

El conjunto de nivel superior $\{\mathbf{x}:f(\mathbf{x})\ge c\}$ es el conjunto de cestas al menos tan buenas como una dada. Que sea convexo —en el sentido del tema 9— es exactamente lo que significa «preferencias convexas», y es lo que da a las curvas de indiferencia su forma abombada hacia el origen. La caracterización completa llega en el tema 13.

Visualización con Gnuplot

El plan de 21.411 usa Gnuplot para esto. Dos órdenes bastan:

set isosamples 40
splot [0.1:10][0.1:10] x**0.5 * y**0.5

dibuja la superficie de una Cobb-Douglas, y

set contour base
set cntrparam levels incremental 1,1,6
unset surface
set view map
splot [0.1:10][0.1:10] x**0.5 * y**0.5

dibuja sus curvas de nivel vistas desde arriba: las isocuantas. Merece la pena ejecutarlo al menos una vez: la forma hiperbólica se queda mucho mejor vista que leída.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una empresa produce según $Q(K,L)=20K^{0,4}{L}^{0,6}$, con $K$ el capital en miles de euros y $L$ los trabajadores.

1. Calcula la producción con $K=32$ y $L=243$.
2. Determina los rendimientos a escala.
3. Halla la ecuación de la isocuanta de 500 unidades y dibuja su forma.
4. Comprueba qué pasa si se duplican los dos factores.

Paso 1. Evaluar. Conviene escoger números que sean potencias cómodas: $32=2^5$ y $243=3^5$.

$$32^{0,4}=(2^5{)}^{0,4}=2^2=4$$ $$243^{0,6}=(3^5{)}^{0,6}=3^3=27$$ $$Q=20\cdot 4\cdot 27=2160\text{ unidades}$$

Paso 2. Rendimientos a escala. Aplicamos la definición con un $t$ genérico:

$$Q(tK,tL)=20(tK{)}^{0,4}(tL{)}^{0,6}=20t^{0,4}{K}^{0,4}{t}^{0,6}{L}^{0,6}=t^{1,0}Q(K,L)$$

Como $0,4+0,6=1$, es homogénea de grado 1: rendimientos constantes a escala. Doblar todo dobla la producción.

Paso 3. Isocuanta de 500 unidades. Igualamos y despejamos $L$:

$$20K^{0,4}{L}^{0,6}=500⟹K^{0,4}{L}^{0,6}=25$$

Elevamos los dos lados a $1/0,6$ para despejar $L$, usando $(L^{0,6}{)}^{1/0,6}=L$:

$$L={\left(\frac{25}{K^{0,4}}\right)}^{1/0,6}=\frac{25^{1,667}}{K^{0,667}}$$

Numéricamente $25^{1,667}\approx 213,7$, así que

$$L(K)\approx \frac{213,7}{K^{0,667}}$$

Forma. Es decreciente (más capital permite menos trabajo) y convexa. Algunos puntos:

$K$	10	20	40	80
$L$	46,1	29,0	18,2	11,5

Pasar de 10 a 20 de capital ahorra 17,1 trabajadores; pasar de 40 a 80 ahorra solo 6,7. Cuanto más capital hay, menos trabajo sustituye cada unidad adicional: eso es la convexidad de la isocuanta, y es lo que en el tema 11 se medirá como relación marginal de sustitución técnica decreciente.

Paso 4. Duplicar los factores. Con $K=64$ y $L=486$:

$$Q(64,486)=20\cdot 64^{0,4}\cdot 486^{0,6}$$

Por la homogeneidad de grado 1, sin calcular nada: $Q(2\cdot 32,2\cdot 243)=2\cdot 2160=4320$.

Comprobación directa: $64^{0,4}=(2^6{)}^{0,4}=2^{2,4}=5,278$ y $486^{0,6}=(2\cdot 3^5{)}^{0,6}=2^{0,6}\cdot 27=1,516\cdot 27=40,93$. Entonces $Q=20\cdot 5,278\cdot 40,93=4320$. Coincide.

La lección. La propiedad de homogeneidad ha permitido responder sin hacer una sola potencia. Reconocer la estructura de una función ahorra más trabajo que calcular deprisa.

5. Errores típicos

Confundir rendimientos a escala con rendimientos de un factor. Son preguntas distintas: la escala mueve todos los factores a la vez; el rendimiento de un factor mueve uno solo. Una función puede tener rendimientos constantes a escala y decrecientes en cada factor, y de hecho es el caso más habitual.

Sumar mal los exponentes de la Cobb-Douglas. El grado de homogeneidad es $\alpha +\beta$, no incluye la constante $A$: multiplicar por $A$ no cambia el grado.

Dibujar curvas de nivel que se cortan. Es imposible por definición. Si al dibujar a mano se cruzan, hay un error de cálculo.

Creer que la curva de nivel es la gráfica de la función. La gráfica de $f(x,y)$ vive en tres dimensiones; la curva de nivel es su sombra en el plano para un valor fijo. Son objetos distintos.

Despejar mal al calcular una isocuanta. Con exponentes fraccionarios hay que elevar al inverso del exponente, y el error de aritmética de potencias del tema 1 reaparece aquí con toda su fuerza.

Olvidar el dominio. $K^{0,4}$ con $K$ negativo no está definido en los reales. El dominio económico $K,L>0$ no es un adorno.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Evaluar y hallar el dominio

básico

Sea $U(x,y)=\ln x+2\ln y$.

1. Calcula $U(4,3)$.
2. Determina el dominio.
3. Halla la curva de indiferencia de nivel $U=\ln 36$.

Ver solución

1. $U(4,3)=\ln 4+2\ln 3=1,386+2(1,099)=3,584$.

2. El logaritmo exige argumento positivo en los dos casos: $D=\{(x,y):x>0,y>0\}$. Es el primer cuadrante abierto, que es justo el dominio económico de las cantidades consumidas.

3. Usando $2\ln y=\ln y^2$ y $\ln x+\ln y^2=\ln (x{y}^2)$:

$$\ln (x{y}^2)=\ln 36⟹x{y}^2=36⟹y=\sqrt{\frac{36}{x}}=\frac{6}{\sqrt{x}}$$

Es decreciente y convexa: la curva de indiferencia típica. Nótese que aplicar las reglas de logaritmos del tema 1 ha convertido una expresión con dos logaritmos en una relación algebraica simple.

Ejercicio 2 · Rendimientos a escala

básico

Determina los rendimientos a escala de:

1. $f(K,L)=5K^{0,3}{L}^{0,5}$
2. $g(K,L)=3K+7L$
3. $h(K,L)=K^2+KL+L^2$

Ver solución

1. $0,3+0,5=0,8<1$: decrecientes. Doblar los factores multiplica la producción por $2^{0,8}=1,74$, menos del doble.

2. $g(tK,tL)=3tK+7tL=t(3K+7L)=tg(K,L)$. Homogénea de grado 1: constantes.

3.

$$h(tK,tL)=t^2{K}^2+t^{2}KL+t^2{L}^2=t^2(K^2+KL+L^2)=t^{2}h(K,L)$$

Homogénea de grado 2: crecientes. Doblar los factores cuadruplica la producción.

Ejercicio 3 · Sustitutos y complementarios

medio

Dibuja mentalmente y describe las curvas de nivel de:

1. $f(x,y)=2x+3y$
2. $g(x,y)=\min (2x,3y)$

¿Qué situación económica representa cada una?

Ver solución

1. Sustitutos perfectos. La curva de nivel $c$ es $2x+3y=c$, o sea $y=\frac{c-2x}{3}$: rectas paralelas de pendiente $-2/3$.

La pendiente constante significa que la tasa a la que se cambia un bien por otro no depende de cuánto se tenga ya: siempre 3 unidades de $x$ valen lo mismo que 2 de $y$. Es el caso de dos marcas idénticas de azúcar, o de billetes de 10 y de 20 €.

2. Complementarios perfectos. La curva de nivel $c$ cumple $\min (2x,3y)=c$. Eso exige que el menor de los dos valga $c$, lo que ocurre en el conjunto de puntos con $2x\ge c$ y $3y\ge c$ donde al menos uno vale exactamente $c$: son dos semirrectas que forman una L con el vértice en $(c/2,c/3)$.

El tramo horizontal significa que aumentar $x$ manteniendo $y$ no sirve de nada: lo que limita es el otro factor. Es el caso de los zapatos izquierdo y derecho, o de un proceso productivo con proporciones técnicas fijas.

Contraste. En el caso 1 la sustitución siempre es posible; en el 2, nunca. Las Cobb-Douglas están en medio: sustitución posible, pero cada vez más costosa. Por eso son las que mejor describen la mayoría de los procesos reales.

Ejercicio 4 · Rendimientos, escala y política de inversión

avanzado

Una empresa produce con $Q(K,L)=12K^{0,5}{L}^{0,3}$.

1. ¿Qué rendimientos a escala tiene?
2. Actualmente usa $K=100$ y $L=100$. Si multiplica ambos por 1,5, ¿cuánto crece la producción? Compáralo con la inversión.
3. ¿Qué le pasaría al beneficio si el precio del producto es 5 € y los factores cuestan 2 € por unidad de $K$ y 3 € por unidad de $L$?

Ver solución

1. $0,5+0,3=0,8<1$: rendimientos decrecientes a escala.

2. Por homogeneidad de grado 0,8:

$$Q(1,5K,1,5L)=1,5^{0,8}Q(K,L)$$$$1,5^{0,8}=e^{0,8\ln 1,5}=e^{0,8\cdot 0,4055}=e^{0,3244}=1,383$$

La producción crece un 38,3 % cuando los factores crecen un 50 %. La empresa está invirtiendo un 50 % más para obtener menos de un 40 % más de producto.

Comprobación con números. Producción inicial:

$$Q(100,100)=12\cdot 100^{0,5}\cdot 100^{0,3}=12\cdot 10\cdot 3,981=477,7$$

Producción tras la ampliación:

$$Q(150,150)=12\cdot 150^{0,5}\cdot 150^{0,3}=12\cdot 12,247\cdot 4,484=659,0$$$$\frac{659,0}{477,7}=1,380✓$$

3. Beneficio antes y después.

$$B_0=5(477,7)-2(100)-3(100)=2388,5-500=1888,5\text{ €}$$$$B_1=5(659,0)-2(150)-3(150)=3295,0-750=2545,0\text{ €}$$

El beneficio sube, de 1888,5 a 2545 €, pese a los rendimientos decrecientes.

Por qué no hay contradicción. Los rendimientos decrecientes a escala dicen que el producto crece menos que proporcionalmente, no que crezca menos que los costes. Aquí los ingresos suben un 38 % y los costes un 50 %, pero los ingresos parten de una base mucho mayor (2388 frente a 500), así que en valor absoluto ganan de largo.

El límite existe y se puede localizar: la ampliación deja de compensar cuando el incremento de ingreso iguala al de coste. Con rendimientos decrecientes, ese punto llega tarde o temprano, y encontrarlo es exactamente el problema de optimización del tema 12.

Moraleja. «Rendimientos decrecientes» describe la tecnología, no la rentabilidad. Confundir las dos cosas lleva a rechazar inversiones que compensan.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Funciones elementales, límites y continuidad — tema 2
• Derivadas: reglas de derivación y regla de la cadena — tema 3

Te abre la puerta a:

• Derivadas parciales, vector gradiente, matriz hessiana y Taylor — tema 11

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía II. Introducción al cálculo en varias variables: dominio, curvas de nivel y funciones homogéneas.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Funciones escalares y vectoriales, con aplicaciones a utilidad y producción; las isocuantas están tratadas con detalle.
• Guías docentes UGR — Matemáticas para la Economía II. Sirven de mapa de validación: confirman qué se espera saber sobre curvas de nivel y homogeneidad.
• Gnuplot. Es el momento de instalarlo: splot x**0.5*y**0.5 y la vista de contornos hacen que las isocuantas dejen de ser una abstracción.