Tema 13 de 40

Concavidad y convexidad de funciones; criterios de globalidad

10 h estimadas21.401 Fundamentos de matemáticas + 21.411 Investigación operativa / OptimizaciónGnuplot

1. La pregunta

El tema 12 encontró un máximo. Pero un máximo local: el mejor de su barrio. Si la función tiene varias cimas, el método no dice cuál es la más alta, y una empresa que optimice hasta una cima secundaria estará convencida de que no puede mejorar cuando sí puede.

La pregunta es: ¿qué propiedad tiene que tener una función para que solo pueda haber una cima? La respuesta es la concavidad, y es la razón de que la teoría económica insista tanto en la utilidad marginal decreciente y en los rendimientos decrecientes. No son hipótesis realistas por casualidad: son las que hacen que los modelos tengan solución única.

2. Intuición

Coge dos puntos cualesquiera de la gráfica de una función y únelos con una cuerda.

Si la cuerda queda por debajo de la curva, la función es cóncava. La curva se comba hacia arriba, como una loma.
Si la cuerda queda por encima, es convexa. Como un cuenco.

Una loma no puede tener dos cimas separadas: entre ellas habría un valle, y la cuerda que uniera las dos cimas pasaría por encima de ese valle, o sea, por encima de la curva. Eso contradice la concavidad. Por eso una función cóncava tiene una sola cima, y por eso cualquier máximo local que encuentres es automáticamente global.

En economía la traducción es directa. La utilidad marginal decreciente —la segunda ración de tarta gusta menos que la primera— es exactamente la concavidad de la función de utilidad. Los rendimientos decrecientes son la concavidad de la función de producción. Y los costes crecientes son la convexidad de la función de coste.

Un aviso que evita mucho lío: hay dos conceptos que se llaman parecido. La convexidad de un conjunto (tema 9) habla de segmentos que no se salen. La convexidad de una función habla de cuerdas por encima de la curva. Están relacionadas —una función es convexa si la región de encima de su gráfica es un conjunto convexo— pero no son lo mismo.

3. Formalización

Definición

Sea $S \subseteq R^{n}$ un conjunto convexo y $f : S \to R$ . Se dice que $f$ es cóncava si para todos $x, y \in S$ y todo $λ \in [0, 1]$ :

f (λ x + (1 - λ) y) \geq λ f (x) + (1 - λ) f (y)

El lado izquierdo es el valor de la función en un punto intermedio; el derecho, el valor de la cuerda ahí. Que la función sea mayor o igual significa que la cuerda queda por debajo.

Es convexa si se cumple la desigualdad contraria ( $\leq$ ). Es estrictamente cóncava o convexa si la desigualdad es estricta para $x \neq = y$ y $λ \in (0, 1)$ .

El dominio tiene que ser convexo. Si no, la expresión $λ x + (1 - λ) y$ podría caer fuera y la definición no tendría sentido.

Una relación cómoda: $f$ es cóncava si y solo si $- f$ es convexa. Por eso todo lo que se diga de una vale para la otra cambiando el signo, y maximizar $f$ cóncava es lo mismo que minimizar $- f$ convexa.

Criterio con la segunda derivada (una variable)

Si $f$ es dos veces derivable en un intervalo:

Condición	Tipo
$f^{''} (x) \leq 0$ para todo $x$	cóncava
$f^{''} (x) \geq 0$ para todo $x$	convexa
$f^{''} (x) < 0$ para todo $x$	estrictamente cóncava
$f^{''} (x) > 0$ para todo $x$	estrictamente convexa

La clave está en «para todo $x$ », no en un punto. Es la diferencia con el criterio del tema 12, que era local.

Criterio con la hessiana (varias variables)

Si $f$ es dos veces diferenciable en un conjunto convexo abierto $S$ :

$H f (x)$ en todo $S$	Tipo
semidefinida negativa	cóncava
definida negativa	estrictamente cóncava
semidefinida positiva	convexa
definida positiva	estrictamente convexa

Para dos variables, con $D_{1} = f_{xx}$ y $D_{2} = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ :

Cóncava: $f_{xx} \leq 0$ , $f_{y y} \leq 0$ y $D_{2} \geq 0$ en todo el dominio.
Convexa: $f_{xx} \geq 0$ , $f_{y y} \geq 0$ y $D_{2} \geq 0$ en todo el dominio.

Obsérvese que para la concavidad no estricta hay que comprobar también $f_{y y}$ : con desigualdades no estrictas, el criterio de los menores dominantes no basta y hacen falta todos los menores principales.

Los teoremas de globalidad

Aquí está el motivo de todo el tema.

Teorema 1. Si $f$ es cóncava en un conjunto convexo $S$ , todo máximo local de $f$ en $S$ es máximo global.

Teorema 2. Si $f$ es estrictamente cóncava, el máximo global, si existe, es único.

Teorema 3. Si $f$ es cóncava y diferenciable, la condición $\nabla f (x^{*}) = 0$ pasa de ser solo necesaria a ser necesaria y suficiente para máximo global.

Los tres tienen su versión para funciones convexas y mínimos.

La consecuencia práctica del tercero es enorme: si se demuestra que la función es cóncava, encontrar un punto crítico termina el problema. No hay que clasificarlo, no hay que buscar otros, no hay que comprobar la frontera. Es la razón de que en los modelos económicos bien planteados baste con la condición de primer orden.

Concavidad y curvas de nivel

Si $f$ es cóncava, sus conjuntos de nivel superior ${x : f (x) \geq c}$ son convexos.

Es lo que da a las curvas de indiferencia su forma abombada hacia el origen: el conjunto de cestas al menos tan buenas como una dada no tiene entrantes.

El recíproco es falso, y esto importa. Una función puede tener todos sus conjuntos de nivel superior convexos sin ser cóncava: se dice entonces cuasicóncava. La Cobb-Douglas $f = K^{a} L^{b}$ con $a + b > 1$ es cuasicóncava pero no cóncava.

Para la teoría del consumidor la cuasiconcavidad basta —lo único que importa es la forma de las curvas de indiferencia, no la escala de la utilidad—. Para garantizar que un máximo local es global en un problema sin restricciones hace falta concavidad de verdad.

Funciones que conservan la concavidad

Reglas útiles para no derivar dos veces cada vez:

Suma de cóncavas es cóncava.
Múltiplo positivo de cóncava es cóncava; múltiplo negativo la vuelve convexa.
$f$ cóncava y $g$ creciente y cóncava $⟹ g (f (x))$ cóncava.
Toda función lineal (o afín) es a la vez cóncava y convexa: sus cuerdas están exactamente sobre la curva.

De la última se sigue algo que se usa constantemente: si la producción $Q$ es cóncava y los costes son lineales, el beneficio $B = pQ - w^{⊤} x$ es cóncavo, por ser suma de una cóncava y una lineal. Con eso, el punto crítico del tema 12 queda garantizado como máximo global sin más comprobaciones.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una empresa produce con $Q (K, L) = K^{α} L^{β}$ , vende a precio $p$ y paga $r$ por unidad de capital y $w$ por unidad de trabajo. Determina para qué valores de $α$ y $β$ el problema de maximización de beneficio tiene solución global única.

Paso 1. Función de beneficio.

B (K, L) = p K^{α} L^{β} - r K - w L

Los dos últimos términos son lineales, así que ni añaden ni quitan concavidad. Todo depende de si $Q$ es cóncava.

Paso 2. Hessiana de la producción.

Q_{K} = α K^{α - 1} L^{β}, Q_{L} = β K^{α} L^{β - 1}

Q_{K K} = α (α - 1) K^{α - 2} L^{β}

Q_{LL} = β (β - 1) K^{α} L^{β - 2}

Q_{K L} = α β K^{α - 1} L^{β - 1}

Paso 3. Primera condición: diagonal no positiva. Con $K, L > 0$ , las potencias son positivas, así que el signo lo ponen los coeficientes:

Q_{K K} \leq 0 ⟺ α (α - 1) \leq 0 ⟺ 0 \leq α \leq 1

e igual para $β$ . Esto es la productividad marginal decreciente de cada factor.

Paso 4. Segunda condición: determinante no negativo.

D_{2} = Q_{K K} Q_{LL} - (Q_{K L})^{2}

= α (α - 1) β (β - 1) K^{2 α - 2} L^{2 β - 2} - α^{2} β^{2} K^{2 α - 2} L^{2 β - 2}

Los dos términos comparten el factor $K^{2 α - 2} L^{2 β - 2}$ , que es positivo:

D_{2} = α β K^{2 α - 2} L^{2 β - 2} [(α - 1) (β - 1) - α β]

Desarrollamos el corchete:

(α - 1) (β - 1) - α β = α β - α - β + 1 - α β = 1 - α - β

D_{2} = α β K^{2 α - 2} L^{2 β - 2} (1 - α - β)

Como $α, β > 0$ y la potencia es positiva:

D_{2} \geq 0 ⟺ α + β \leq 1

Paso 5. Conclusión.

0 < α, 0 < β, α + β \leq 1

Y para concavidad estricta —y por tanto unicidad del óptimo— hace falta $α + β < 1$ .

Lectura económica. $α + β$ es el grado de homogeneidad, es decir, los rendimientos a escala del tema 10. El resultado dice:

Rendimientos decrecientes a escala ( $α + β < 1$ ): la producción es estrictamente cóncava, el beneficio también, y hay un plan óptimo único.
Rendimientos constantes ( $α + β = 1$ ): concavidad no estricta. Si el beneficio máximo es positivo, la empresa querría producir infinito; si es negativo, cerrar; y en el caso justo, cualquier escala da lo mismo. No hay tamaño óptimo determinado.
Rendimientos crecientes ( $α + β > 1$ ): $D_{2} < 0$ , la hessiana es indefinida, y el punto crítico es una silla. La empresa siempre gana creciendo: el modelo no tiene óptimo interior y es incompatible con la competencia perfecta. Es la situación que lleva a los monopolios naturales.

Comprobación con el ejemplo del tema 12: allí $α = 0, 5$ y $β = 0, 25$ , que suman $0, 75 < 1$ . Por eso el máximo era global, como se afirmó.

5. Errores típicos

Confundir concavidad de función con convexidad de conjunto. Son cosas distintas con nombres parecidos. La función cóncava tiene forma de loma; el conjunto convexo no tiene entrantes. Una función cóncava tiene conjuntos de nivel superior convexos, pero eso es un teorema, no una definición.

Comprobar el signo en un punto y concluir concavidad. La concavidad es una propiedad global: hay que verificar el signo de la hessiana en todo el dominio. Un punto solo da información local.

Confundir «cóncava hacia arriba» con «cóncava». En algunos manuales de bachillerato «cóncava» significa lo contrario. En economía y en este sitio, cóncava = segunda derivada negativa = forma de loma = máximos. Ante la duda, dibujar $- x^{2}$ .

Creer que cuasicóncava es lo mismo que cóncava. No lo es. La cuasiconcavidad basta para que las curvas de indiferencia tengan buena forma y para los problemas con restricción presupuestaria, pero no garantiza que un punto crítico sea máximo global en un problema libre.

Olvidar que el dominio debe ser convexo. Si el conjunto factible tiene un agujero, ni siquiera se puede plantear la definición.

Aplicar el criterio de menores dominantes a la concavidad no estricta. Para definida negativa basta con que $D_{1} < 0$ y $D_{2} > 0$ . Para semidefinida negativa hay que mirar también $f_{y y} \leq 0$ : la matriz $(0001)$ tiene $D_{1} = 0$ y $D_{2} = 0$ y no es semidefinida negativa.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Concavidad en una variable

básico

Determina si son cóncavas, convexas o ninguna de las dos, en su dominio natural:

$f (x) = ln x$ , con $x > 0$
$g (x) = e^{x}$
$h (x) = x^{3}$

Ver solución

1. $f^{'} (x) = 1/ x$ , $f^{''} (x) = - 1/ x^{2}$ . Para todo $x > 0$ , $f^{''} < 0$ : estrictamente cóncava.

Es la función de utilidad más usada precisamente por esto: incorpora utilidad marginal decreciente por construcción.

2. $g^{''} (x) = e^{x} > 0$ siempre: estrictamente convexa. Es la forma típica de una función de coste con costes marginales crecientes.

3. $h^{''} (x) = 6 x$ , que es negativo si $x < 0$ y positivo si $x > 0$ . Ni cóncava ni convexa en todo $R$ : es cóncava en $(- \infty, 0)$ y convexa en $(0, + \infty)$ . El punto $x = 0$ es de inflexión.

Restringida a $x > 0$ sí es convexa, y ahí es donde tiene sentido económico. El dominio forma parte de la respuesta.

Ejercicio 2 · Concavidad en dos variables

básico

Estudia la concavidad de $f (x, y) = - 2 x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y + 5 x$ .

Ver solución

f_{x} = - 4 x + 2 y + 5, f_{y} = - 6 y + 2 x

f_{xx} = - 4, f_{y y} = - 6, f_{x y} = 2

La hessiana es constante:

H = (- 4 2 2 - 6)

D_{1} = - 4 < 0, D_{2} = 24 - 4 = 20 > 0

Definida negativa en todo $R^{2}$ , que es un conjunto convexo. Por tanto $f$ es estrictamente cóncava.

Consecuencia. Basta resolver $\nabla f = 0$ y el punto obtenido es el máximo global único, sin más comprobaciones:

{- 4 x + 2 y + 5 = 0 2 x - 6 y = 0

De la segunda, $x = 3 y$ . Sustituyendo: $- 12 y + 2 y + 5 = 0 ⟹ y = 0, 5$ , y $x = 1, 5$ . Máximo global en $(1, 5; 0, 5)$ .

Ejercicio 3 · Aversión al riesgo

medio

Un inversor tiene función de utilidad de la riqueza $U (W) = W$ , con $W > 0$ . Le ofrecen una apuesta justa: ganar o perder 3600 € con probabilidad 1/2 cada una, partiendo de una riqueza de 10 000 €.

Demuestra que $U$ es cóncava.
Calcula la utilidad esperada de aceptar y la de rechazar.
Relaciona el resultado con la definición de concavidad.

Ver solución

1. $U (W) = W^{0, 5}$ .

U^{'} (W) = 0, 5 W^{- 0, 5} > 0, U^{''} (W) = - 0, 25 W^{- 1, 5} < 0

Creciente (más riqueza es mejor) y estrictamente cóncava (utilidad marginal decreciente) para todo $W > 0$ .

2. Rechazar. La riqueza queda en 10 000 €:

U (10000) = 10000 = 100

Aceptar. La riqueza será 13 600 o 6400, cada una con probabilidad 0,5:

E [U] = 0, 513600 + 0, 56400 = 0, 5 (116, 62) + 0, 5 (80) = 58, 31 + 40 = 98, 31

98, 31 < 100

Rechaza la apuesta, aunque su valor esperado en euros sea exactamente cero ( $0, 5 \cdot 13600 + 0, 5 \cdot 6400 = 10000$ ).

3. La conexión. La desigualdad obtenida es literalmente la definición de concavidad con $λ = 0, 5$ , $x = 6400$ e $y = 13600$ :

U (0, 5 \cdot 6400 + 0, 5 \cdot 13600) \geq 0, 5 U (6400) + 0, 5 U (13600)

U (10000) = 100 \geq 98, 31 ✓

El lado izquierdo es la utilidad del valor esperado; el derecho, la utilidad esperada. Concavidad significa exactamente que la primera es mayor, y eso es la definición económica de aversión al riesgo. Esta desigualdad tiene nombre propio en matemáticas —desigualdad de Jensen— y reaparecerá en el tema 22 al hablar de esperanzas.

Equivalente de certeza. ¿Qué riqueza segura le daría la misma utilidad que la apuesta? Resolviendo $W = 98, 31$ sale $W = 9664, 9$ €. El inversor pagaría hasta 335 € por librarse de una apuesta cuyo valor esperado es cero: esa es su prima de riesgo, y es consecuencia directa de la curvatura de $U$ .

Ejercicio 4 · Cóncava frente a cuasicóncava

avanzado

Considera $f (K, L) = K^{0, 8} L^{0, 8}$ con $K, L > 0$ .

Estudia si es cóncava.
Comprueba que sus conjuntos de nivel superior son convexos.
Explica qué consecuencia tiene la diferencia para un problema de maximización de beneficio y para uno de minimización de costes.

Ver solución

1. Concavidad. Aplicamos el resultado del ejemplo con $α = β = 0, 8$ :

D_{2} = α β K^{2 α - 2} L^{2 β - 2} (1 - α - β) = 0, 64 K^{- 0, 4} L^{- 0, 4} (1 - 1, 6)

D_{2} = - 0, 384 K^{- 0, 4} L^{- 0, 4} < 0

El determinante es negativo en todo el dominio: la hessiana es indefinida y $f$ no es cóncava, pese a que sus dos segundas parciales puras sí son negativas ( $α (α - 1) = 0, 8 (- 0, 2) < 0$ ).

Es el mismo fenómeno del ejercicio 3 del tema 12: las puras engañan cuando la cruzada es fuerte.

2. Conjuntos de nivel superior. El conjunto ${(K, L) : K^{0, 8} L^{0, 8} \geq c}$ . Como la función $t \mapsto t^{1/0, 8}$ es creciente, elevar los dos lados conserva la desigualdad:

K^{0, 8} L^{0, 8} \geq c ⟺ K L \geq c^{1, 25}

El conjunto ${K L \geq m}$ con $K, L > 0$ está por encima de una hipérbola. Y la hipérbola $L = m / K$ es una función convexa de $K$ (su segunda derivada es $2 m / K^{3} > 0$ ), de modo que la región de encima es un conjunto convexo.

Luego $f$ es cuasicóncava pero no cóncava.

3. Las consecuencias, que son distintas en cada problema.

Maximización de beneficio ( $max p f (K, L) - r K - w L$ , sin restricciones). Aquí la cuasiconcavidad no sirve. Con $α + β = 1, 6 > 1$ hay rendimientos crecientes a escala: doblar los factores multiplica la producción por $2^{1, 6} = 3, 03$ , mientras los costes solo se doblan. Si a la escala actual el beneficio es positivo, crecer siempre lo aumenta y no existe óptimo finito. El punto crítico que se obtenga de $\nabla B = 0$ será un punto de silla o un mínimo, no un máximo. El modelo está mal planteado sin una restricción de capacidad o de demanda.

Minimización de costes ( $min r K + w L$ sujeto a $f (K, L) = Q_{0}$ ). Aquí sí funciona. La función objetivo es lineal —por tanto convexa— y el conjunto factible ${f (K, L) \geq Q_{0}}$ es convexo, que es justo lo que da la cuasiconcavidad. Un problema de minimizar una función convexa sobre un conjunto convexo tiene mínimo global, y la condición de tangencia entre isocuanta e isocoste lo identifica sin ambigüedad.

Conclusión. La cuasiconcavidad basta cuando lo único que importa es la forma de las curvas de nivel —elegir la mejor combinación para un nivel dado— pero no cuando hay que decidir la escala. Por eso en teoría del consumidor se trabaja cómodamente con cuasiconcavidad, y en teoría de la empresa sin restricciones hace falta concavidad de verdad.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

Derivadas parciales, vector gradiente, matriz hessiana y Taylor — tema 11
Optimización sin restricciones: puntos críticos y clasificación — tema 12

Te abre la puerta a:

Optimización con restricciones: Lagrange y Kuhn-Tucker — tema 14

8. Recursos externos

OCW UC3M — Matemáticas para la Economía II. Concavidad y convexidad, criterios con la hessiana y teoremas de globalidad; incluye la distinción con la cuasiconcavidad.
OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Aplicaciones a utilidad y producción, con el análisis de la Cobb-Douglas según sus exponentes.
Guías docentes UGR — Matemáticas para la Economía II. Recogen los criterios de globalidad como contenido evaluable.
Gnuplot. Comparar splot x**0.4*y**0.4 (cóncava) con splot x**0.8*y**0.8 (no cóncava) hace visible una diferencia que en las fórmulas es solo un signo.