Variables aleatorias discretas y continuas; esperanza y varianza

1. La pregunta

Un inversor duda entre dos proyectos. El A deja 100 000 € con seguridad. El B deja 300 000 € si el mercado va bien (probabilidad 0,4) y pierde 20 000 € si va mal (probabilidad 0,6).

¿Cuál elige? El B tiene un valor esperado de 108 000 €, mayor que el A. Y sin embargo casi ningún inversor prudente lo tomaría. Para poder discutir eso hacen falta dos números por proyecto —cuánto se espera ganar y cuánto riesgo se corre—, y este tema los define: esperanza y varianza.

Es también el tema que convierte la probabilidad del tema 21 en algo con lo que se puede calcular.

2. Intuición

Variable aleatoria: poner número al azar. Lanzar un dado da un resultado. Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado posible: los euros que ganas, las unidades que vendes, el tiempo que tardas. Deja de haber «caras» y «cruces» y pasa a haber números con los que se puede hacer aritmética.

Discreta o continua. Si los valores posibles se pueden enumerar —0, 1, 2, 3 impagos— es discreta. Si puede tomar cualquier valor de un intervalo —el precio de una acción, el tiempo de espera— es continua. La diferencia práctica es que en las discretas se suma y en las continuas se integra. Nada más.

Esperanza: el promedio a largo plazo. Si repitieras el experimento un millón de veces y promediaras los resultados, obtendrías la esperanza. No es lo que va a pasar: es el centro de gravedad de lo que puede pasar. La esperanza de un dado es 3,5, un valor que el dado nunca saca.

Varianza: cuánto te puedes alejar. Dos loterías con la misma esperanza pueden ser muy distintas: una que siempre paga 100 € y otra que paga 0 o 200 con igual probabilidad. La varianza distingue una de otra, y es lo que llamamos riesgo.

Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones. Porque si no, se cancelan: las desviaciones positivas y negativas respecto de la media suman siempre cero, exactamente como en el tema 20.

3. Formalización

Definición

Una variable aleatoria $X$ es una función que asigna a cada resultado del espacio muestral un número real. Se escriben con mayúscula; sus valores concretos, con minúscula. Es el convenio de NOTACION.md y evita mucha confusión: $X$ es la regla, $x$ es lo que salió.

Variables discretas

Toman un número finito o numerable de valores. Se describen con la función de masa de probabilidad:

$$f(x)=P(X=x)$$

que debe cumplir $f(x)\ge 0$ y ${\sum }_{x}f(x)=1$.

Variables continuas

Toman valores en un intervalo. Aquí ocurre algo que descoloca al principio:

$$P(X=x)=0\text{para todo }x$$

La probabilidad de que una acción valga exactamente 42,000000 € es cero. Solo tienen probabilidad los intervalos, y se calculan integrando la función de densidad $f(x)$:

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

con $f(x)\ge 0$ y ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$.

$f(x)$ no es una probabilidad: puede valer más de 1. Lo que es probabilidad es el área bajo ella. Y como los puntos no tienen área, da igual usar $<$ o $\le$ en las continuas.

Aquí es donde hace falta la integración del tema 5: sin ella no se puede trabajar con variables continuas.

Función de distribución

Vale para los dos casos:

$$F(x)=P(X\le x)$$

Es no decreciente, va de 0 a 1, y en el caso continuo $F^{\prime }(x)=f(x)$: la densidad es la derivada de la distribución. Es exactamente la relación entre marginal y total del tema 5, con otro vocabulario.

Propiedad de uso constante:

$$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$$

Esperanza

$$E[X]=\sum _{x}xf(x)\text{(discreta)}$$ $$E[X]={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx\text{(continua)}$$

Se denota también $\mu$. Es un promedio ponderado de los valores posibles, con las probabilidades como pesos.

Esperanza de una función. Sin necesidad de hallar la distribución de $g(X)$:

$$E[g(X)]=\sum _{x}g(x)f(x)\text{o}\int g(x)f(x)dx$$

Propiedades (linealidad). Para constantes $a$, $b$:

$$E[aX+b]=aE[X]+b$$ $$E[X+Y]=E[X]+E[Y]\text{siempre}$$

La segunda no exige independencia, y es una de las propiedades más útiles de toda la estadística.

Aviso importante. En general $E[g(X)]\ne g(E[X])$. Solo coinciden si $g$ es lineal. Para $g$ cóncava, $E[g(X)]\le g(E[X])$: es la desigualdad de Jensen, que ya apareció en el tema 13 como aversión al riesgo.

Varianza

$$\mathrm{Var}(X)=E\left[(X-\mu {)}^2\right]=E[X^2]-{\mu }^2$$

La segunda expresión es la fórmula de cálculo, casi siempre más cómoda. Se denota ${\sigma }^2$, y $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$ es la desviación típica, que tiene las mismas unidades que $X$.

Propiedades:

$$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$$

Dos consecuencias que hay que interiorizar:

• Sumar una constante no cambia el riesgo. Desplazar todos los resultados 1000 € no hace la inversión más arriesgada.
• Multiplicar por $a$ multiplica la varianza por $a^2$, y la desviación típica por $|a|$. Doblar la apuesta cuadruplica la varianza.

Covarianza y suma de variables

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$$ $$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$

Solo si $X$ e $Y$ son independientes la covarianza es cero y las varianzas se suman sin más. Esta fórmula es la base matemática de la diversificación: combinando activos con covarianza negativa, la varianza de la cartera es menor que la suma de las individuales.

Ojo: independencia implica covarianza cero, pero el recíproco es falso. Covarianza cero solo descarta relación lineal, como el $r=0$ del tema 20.

Desigualdad de Chebyshev

Para cualquier variable aleatoria con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y para $k>1$:

$$P\left(|X-\mu |\ge k\sigma \right)\le \frac{1}{k^2}$$

Es una cota sin suponer ninguna forma de distribución: al menos el 75 % de los valores está a menos de 2 desviaciones típicas de la media, y al menos el 89 % a menos de 3. Es floja —para la normal esos porcentajes son 95 % y 99,7 %— pero universal, y de ahí su valor cuando no se sabe con qué distribución se trabaja.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una empresa evalúa lanzar un producto. Según el escenario de mercado, el beneficio anual (en miles de euros) sería:

Escenario	Probabilidad	Beneficio
Recesión	0,20	$-150$
Estable	0,50	200
Expansión	0,30	500

1. Calcula esperanza, varianza y desviación típica del beneficio.
2. Calcula el coeficiente de variación y compáralo con un proyecto alternativo de $E=180$ y $\sigma =90$.
3. Si la empresa aplica una utilidad $U(B)=\sqrt{B+200}$, ¿qué proyecto prefiere?

Paso 1. Comprobar que es una distribución válida.

$$0,20+0,50+0,30=1✓$$

Paso 2. Esperanza.

$$E[B]=(-150)(0,20)+200(0,50)+500(0,30)$$ $$E[B]=-30+100+150=220\text{ mil €}$$

Nótese que 220 no es ninguno de los tres valores posibles. La esperanza es el centro de gravedad, no una predicción.

Paso 3. Varianza por la fórmula de cálculo. Primero $E[B^2]$:

$$E[B^2]=(-150{)}^2(0,20)+200^2(0,50)+500^2(0,30)$$ $$=22500(0,20)+40000(0,50)+250000(0,30)$$ $$=4500+20000+75000=99500$$ $$\mathrm{Var}(B)=99500-220^2=99500-48400=51100$$ $$\sigma =\sqrt{51100}=226,05\text{ mil €}$$

Comprobación por la definición. $\sum (b_i-220{)}^{2}f(b_i)$:

$$(-370{)}^2(0,2)+(-20{)}^2(0,5)+(280{)}^2(0,3)=27380+200+23520=51100✓$$

Paso 4. Coeficiente de variación y comparación.

$$C{V}_{\text{producto}}=\frac{226,05}{220}=1,027$$ $$C{V}_{\text{alternativo}}=\frac{90}{180}=0,50$$

El proyecto nuevo tiene mayor beneficio esperado (220 frente a 180) pero el doble de riesgo por euro esperado. Su desviación típica supera a su media: en un escenario de cada cinco pierde dinero.

Con estos dos números solos no hay decisión posible: depende de la tolerancia al riesgo. Y eso es exactamente lo que formaliza el apartado siguiente.

Paso 5. Decisión con función de utilidad. La empresa evalúa $U(B)=\sqrt{B+200}$, que es cóncava ($U^{\prime \prime }<0$), es decir, con aversión al riesgo, como se vio en el tema 13. El desplazamiento $+200$ garantiza argumento positivo incluso en recesión.

Utilidad esperada del producto nuevo:

$$E[U]=0,20\sqrt{-150+200}+0,50\sqrt{200+200}+0,30\sqrt{500+200}$$ $$=0,20\sqrt{50}+0,50\sqrt{400}+0,30\sqrt{700}$$ $$=0,20(7,071)+0,50(20)+0,30(26,458)$$ $$=1,414+10+7,937=19,351$$

Equivalente de certeza. ¿Qué beneficio seguro daría la misma utilidad?

$$\sqrt{B_{eq}+200}=19,351⟹B_{eq}+200=374,47⟹B_{eq}=174,47$$

El proyecto arriesgado, con esperanza de 220, vale para esta empresa lo mismo que 174,5 seguros. La prima de riesgo es $220-174,5=45,5$ mil €: lo que la empresa estaría dispuesta a pagar por eliminar la incertidumbre.

Comparación. El proyecto alternativo tiene $E=180$ con menos riesgo. Aunque no conocemos su distribución completa, su equivalente de certeza será cercano a 180 —bastante por encima de 174,5— porque su dispersión es mucho menor.

Conclusión: la empresa averso al riesgo prefiere el proyecto alternativo, pese a tener 40 mil € menos de beneficio esperado.

Lo que ilustra el ejemplo. Maximizar la esperanza no es criterio de decisión bajo incertidumbre. Lo es maximizar la utilidad esperada, y la diferencia entre ambas es exactamente la aversión al riesgo, que se manifiesta en la concavidad de $U$ y se cuantifica con la prima de riesgo.

5. Errores típicos

Creer que la esperanza es lo que va a pasar. Es un promedio a largo plazo. Un beneficio esperado de 220 en un proyecto que solo se hace una vez puede no parecerse a nada de lo que ocurra.

Aplicar $E[g(X)]=g(E[X])$. Solo vale si $g$ es lineal. Con $g(x)=\sqrt{x}$ o $g(x)=x^2$ es falso, y esa falsedad es la aversión al riesgo.

Interpretar $f(x)$ de una continua como una probabilidad. Es una densidad; puede valer más de 1. La probabilidad es el área bajo ella.

Olvidar el cuadrado en $\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)$. Es el error de escala más frecuente. Doblar una posición cuadruplica la varianza, no la dobla.

Sumar varianzas sin comprobar independencia. Falta el término $2\mathrm{Cov}(X,Y)$. En finanzas ese término es el efecto diversificación.

Confundir covarianza cero con independencia. Cero covarianza descarta relación lineal, no dependencia. El ejercicio 4 del tema 20 es el contraejemplo.

Interpretar la varianza en unidades naturales. Está al cuadrado: «una varianza de 51 100 miles de euros al cuadrado» no dice nada. Se interpreta $\sigma =226$ mil €.

Olvidar comprobar que las probabilidades suman 1. Cuesta cinco segundos y detecta enunciados mal copiados.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Variable discreta

básico

El número de averías mensuales de una máquina tiene la distribución:

$x$	0	1	2	3
$f(x)$	0,5	0,3	0,15	0,05

Calcula $E[X]$, $\mathrm{Var}(X)$ y $P(X\ge 1)$.

Ver solución

Comprobación: $0,5+0,3+0,15+0,05=1✓$

Esperanza:

$$E[X]=0(0,5)+1(0,3)+2(0,15)+3(0,05)=0+0,3+0,3+0,15=0,75$$

Tres cuartos de avería al mes, o unas 9 al año.

Varianza:

$$E[X^2]=0+1(0,3)+4(0,15)+9(0,05)=0,3+0,6+0,45=1,35$$$$\mathrm{Var}(X)=1,35-0,75^2=1,35-0,5625=0,7875$$$$\sigma =0,887$$

Probabilidad de al menos una avería. Por el complementario, que es siempre más rápido:

$$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,5=0,5$$

La mitad de los meses hay al menos una avería.

Ejercicio 2 · Variable continua

básico

El tiempo (en horas) que tarda en resolverse una incidencia tiene densidad

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{t}{8}& \text{si }0\le t\le 4\\ 0& \text{en otro caso}\end{array}$$

1. Comprueba que es una densidad válida.
2. Calcula $P(1\le T\le 3)$.
3. Calcula $E[T]$.

Ver solución

1. Es no negativa en $[0,4]$. Y el área total:

$${\int }_0^4\frac{t}{8}dt=\frac{1}{8}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^4=\frac{1}{8}\cdot \frac{16}{2}=\frac{8}{8}=1✓$$

Es una densidad válida.

2.

$$P(1\le T\le 3)={\int }_1^3\frac{t}{8}dt=\frac{1}{8}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_1^3=\frac{1}{16}(9-1)=\frac{8}{16}=0,5$$

La mitad de las incidencias se resuelven entre 1 y 3 horas.

3.

$$E[T]={\int }_0^{4}t\cdot \frac{t}{8}dt=\frac{1}{8}{\int }_0^4{t}^{2}dt=\frac{1}{8}{\left[\frac{t^3}{3}\right]}_0^4=\frac{64}{24}=2,667\text{ horas}$$

Observación. La media (2,67) está por encima del punto medio del intervalo (2), porque la densidad crece con $t$: es más probable tardar mucho que poco. La distribución está sesgada a la izquierda en el sentido de que acumula masa a la derecha.

Ejercicio 3 · Diversificación de una cartera

medio

Dos activos tienen rentabilidades $X$ e $Y$ con $E[X]=8\%$, ${\sigma }_X=12\%$, $E[Y]=6\%$, ${\sigma }_Y=9\%$ y $\mathrm{Cov}(X,Y)=-40$ (en unidades de porcentaje al cuadrado).

Se construye una cartera con el 60 % en $X$ y el 40 % en $Y$.

1. Calcula la rentabilidad esperada de la cartera.
2. Calcula su desviación típica y compárala con la de cada activo.

Ver solución

La rentabilidad de la cartera es $C=0,6X+0,4Y$.

1. Esperanza. Por linealidad, que no exige independencia:

$$E[C]=0,6(8)+0,4(6)=4,8+2,4=7,2\%$$

Está entre las dos, como debe ser: es una media ponderada.

2. Varianza. Aplicando $\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$:

$$\mathrm{Var}(C)=0,36(144)+0,16(81)+2(0,6)(0,4)(-40)$$$$=51,84+12,96-19,2=45,60$$$${\sigma }_C=\sqrt{45,60}=6,75\%$$

Comparación:

	Rentabilidad esperada	Desviación típica
Activo X	8,0 %	12,0 %
Activo Y	6,0 %	9,0 %
Cartera	7,2 %	6,75 %

El resultado clave: la cartera tiene menos riesgo que cualquiera de los dos activos por separado, y una rentabilidad intermedia.

Por qué. El término de covarianza es negativo y resta 19,2 a la varianza. Cuando $X$ va mal, $Y$ tiende a ir bien, y las oscilaciones se compensan parcialmente. Ese es todo el mecanismo de la diversificación, y matemáticamente es el término $2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$ de la fórmula.

Sin covarianza negativa. Si los activos fueran independientes ($\mathrm{Cov}=0$), $\mathrm{Var}(C)=64,8$ y ${\sigma }_C=8,05\%$: menos que $X$, pero más que $Y$. La diversificación seguiría funcionando, pero menos.

Con correlación perfecta positiva ($\mathrm{Cov}=12\times 9=108$), $\mathrm{Var}(C)=51,84+12,96+51,84=116,64$ y ${\sigma }_C=10,8\%$: la media ponderada exacta de 12 y 9. No habría diversificación en absoluto.

Ejercicio 4 · Precio de un seguro y desigualdad de Jensen

avanzado

Un comerciante tiene un patrimonio de 50 000 €. Existe un 3 % de probabilidad de un siniestro que le costaría 40 000 €. Su función de utilidad es $U(W)=\ln W$.

1. Calcula la pérdida esperada y la prima «justa» (actuarialmente neutra).
2. Calcula la prima máxima que el comerciante estaría dispuesto a pagar.
3. Interpreta la diferencia y di si existe margen para una aseguradora.

Ver solución

1. Pérdida esperada.

$$E[\text{peˊrdida}]=0,03\times 40000+0,97\times 0=1200\text{ €}$$

La prima justa es 1200 €: la que deja a la aseguradora con beneficio esperado cero.

2. Prima máxima aceptable. Sin seguro, el patrimonio es aleatorio:

$$W=\{\begin{array}{ll}10000& \text{con probabilidad }0,03\\ 50000& \text{con probabilidad }0,97\end{array}$$

Utilidad esperada sin seguro:

$$E[U]=0,03\ln (10000)+0,97\ln (50000)$$$$=0,03(9,2103)+0,97(10,8198)=0,27631+10,49518=10,77149$$

Con seguro, pagando una prima $\pi$, el patrimonio es seguro: $W=50000-\pi$, con utilidad $\ln (50000-\pi )$.

El comerciante acepta el seguro mientras esa utilidad sea al menos la esperada sin él. La prima máxima ${\pi }^{\ast }$ es la que iguala:

$$\ln (50000-{\pi }^{\ast })=10,77149$$$$50000-{\pi }^{\ast }=e^{10,77149}=47469$$$${\pi }^{\ast }=50000-47469=2531\text{ €}$$

3. Interpretación.

Concepto	Importe
Prima justa (pérdida esperada)	1200 €
Prima máxima aceptable	2531 €
Margen para la aseguradora	1331 €

El comerciante pagaría hasta 2531 € por un riesgo cuyo valor esperado es de solo 1200 €. La diferencia, 1331 €, es su prima de riesgo: lo que está dispuesto a pagar de más por convertir un patrimonio incierto en uno seguro.

Por qué existe ese margen. Es la desigualdad de Jensen. Como $\ln$ es cóncava:

$$E[\ln W]<\ln (E[W])$$

En números: $E[W]=0,03(10000)+0,97(50000)=48800$, y $\ln (48800)=10,7955>10,77149=E[\ln W]$. El equivalente de certeza (47 469 €) está por debajo del valor esperado (48 800 €), y esos 1331 € de diferencia son exactamente el margen.

Existe negocio asegurador, y no porque la aseguradora sepa algo que el comerciante no sepa. Existe porque la aseguradora, al agrupar miles de pólizas independientes, tiene una varianza por póliza muchísimo menor —consecuencia de que $\mathrm{Var}(\bar{X})={\sigma }^2/n$, que es lo que formalizará el tema 24— y por tanto es prácticamente neutral al riesgo. La aversión al riesgo asimétrica entre las partes es lo que crea valor en el intercambio.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Optimización en una variable e integración básica — tema 5
• Probabilidad, probabilidad condicionada y teorema de Bayes — tema 21

Te abre la puerta a:

• Distribuciones clave: binomial, Poisson y normal — tema 23
• Procesos estocásticos: media, varianza, autocovarianza y autocorrelación — tema 37

8. Recursos externos

• Sanabria, Comprendiendo la Estadística Inferencial (PDF libre). Variables aleatorias, esperanza y varianza con los ejemplos mejor construidos del material en español.
• Apuntes UGR — Estadística II. Formulario compacto de esperanza, varianza y sus propiedades.
• Nota de encaje. Este es el tema que conecta el bloque de matemáticas con el de estadística: la esperanza de una continua es una integral del tema 5, y la aversión al riesgo es la concavidad del tema 13. Si alguna de las dos cosas no está sólida, conviene volver antes de seguir.