Procesos estocásticos: media, varianza, autocovarianza y autocorrelación

1. La pregunta

Hay una dificultad conceptual en el corazón del análisis de series temporales, y conviene verla de frente.

Para estimar la media de la altura de los españoles se toma una muestra de mil personas. Se tienen mil observaciones de la misma variable aleatoria. Pero el PIB de España en 2024 se observó una sola vez. Nunca habrá otra realización de ese año. ¿Cómo se estima entonces la media o la varianza de algo de lo que solo hay un dato?

La respuesta —que se pueden sustituir promedios entre realizaciones por promedios a lo largo del tiempo, siempre que el proceso sea estacionario y ergódico— es lo que hace posible todo el bloque. Este tema la formaliza, y de paso construye la función de autocorrelación, que es la herramienta con la que se identifican los modelos del tema 39.

2. Intuición

Proceso estocástico: la película de todos los futuros posibles. Imagina que el universo se pudiera rebobinar hasta 1990 y dejar correr la historia otra vez. Saldría otra serie de PIB: parecida en lo general, distinta en el detalle. Y otra vez, otra. El proceso estocástico es el conjunto de todas esas historias posibles; la serie que observamos es una de ellas, elegida por el azar.

Con esa imagen, la media del PIB en 2024 es el promedio de ese año entre todas las historias posibles —no entre los años de nuestra historia—. Y ahí está el problema: solo tenemos una historia.

Estacionariedad: que las reglas no cambien. Si el proceso se comporta igual en 1995 que en 2024 —misma media, misma variabilidad, misma memoria—, entonces los distintos años de nuestra historia son, a efectos de información, como distintas realizaciones. Podemos promediar a lo largo del tiempo.

Sin estacionariedad, promediar mezcla regímenes distintos y el promedio no describe ninguno.

Ergodicidad: que la memoria se acabe. Además hace falta que las observaciones lejanas sean casi independientes. Si el proceso recordara para siempre, cien años de datos serían poco más informativos que uno.

Autocorrelación: la memoria medida. ¿Cuánto se parece hoy a ayer? ¿Y a hace un año? La función de autocorrelación responde a eso para cada distancia temporal, y su forma es la huella dactilar del proceso: cada familia de modelos deja un dibujo característico.

3. Formalización

Proceso estocástico

Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias indexada por el tiempo:

$$\{Y_t{\}}_{t\in \mathbb{Z}}$$

Una realización o trayectoria es una sucesión concreta de valores observados, $\{y_t\}$. En economía se dispone de una sola realización, y de un tramo finito de ella.

Siguiendo NOTACION.md: $Y_t$ mayúscula para la variable aleatoria, $y_t$ minúscula para el valor observado.

Momentos del proceso

$${\mu }_t=E[Y_t]$$ $${\gamma }_t(k)=\mathrm{Cov}(Y_t,Y_{t-k})=E\left[(Y_t-{\mu }_t)(Y_{t-k}-{\mu }_{t-k})\right]$$

${\gamma }_t(k)$ es la autocovarianza de orden $k$: la covarianza del proceso consigo mismo $k$ periodos antes. Nótese que ${\gamma }_t(0)=\mathrm{Var}(Y_t)$.

En general estos momentos dependen de $t$, y con una sola realización no se pueden estimar. De ahí la necesidad de la estacionariedad.

Estacionariedad

Estricta (o fuerte). La distribución conjunta de cualquier grupo de variables no cambia al desplazarlas en el tiempo. Es una condición muy exigente y poco operativa.

Débil (o en covarianza). La que se usa. Exige tres condiciones:

$$\text{1.}E[Y_t]=\mu \text{constante, no depende de }t$$ $$\text{2.}\mathrm{Var}(Y_t)=\gamma (0)={\sigma }^2\text{constante y finita}$$ $$\text{3.}\mathrm{Cov}(Y_t,Y_{t-k})=\gamma (k)\text{depende solo de }k,\text{ no de }t$$

La tercera es la clave: la relación entre dos observaciones depende solo de la distancia que las separa, no de en qué momento estén. La covarianza entre enero y febrero de 1998 es la misma que entre enero y febrero de 2024.

Salvo aviso, «estacionario» significa en este sitio estacionario en sentido débil.

Series económicas que NO son estacionarias, y son la mayoría: el PIB (media creciente), el IPC, la población, las cotizaciones bursátiles. Por eso el tema 36 transformaba antes de modelar.

Ergodicidad

Un proceso estacionario es ergódico en la media si

$${\bar{y}}_T=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{y}_t\underset{T\to \infty }{\to }\mu$$

es decir, si el promedio temporal de una sola realización converge a la media del proceso.

Condición suficiente: que las autocovarianzas tiendan a cero lo bastante rápido,

$$\sum _{k=0}^{\infty }|\gamma (k)|<\infty$$

Por qué importa. La ergodicidad es lo que autoriza a sustituir el promedio entre realizaciones (que no tenemos) por el promedio temporal (que sí). Sin ella, toda la inferencia con una sola serie sería imposible.

Un contraejemplo instructivo. Sea $Y_t=A$ para todo $t$, con $A$ una variable aleatoria de media $\mu$. El proceso es estacionario —media, varianza y covarianzas constantes— pero no es ergódico: cada realización es una constante, y su promedio temporal es esa constante, no $\mu$. Por muchos datos que se recojan, no se aprende nada sobre $\mu$.

Ruido blanco

El proceso estacionario más simple, y el ladrillo con el que se construye todo lo demás:

$${\epsilon }_t\sim RB(0,{\sigma }^2)$$ $$E[{\epsilon }_t]=0,\mathrm{Var}({\epsilon }_t)={\sigma }^2,\mathrm{Cov}({\epsilon }_t,{\epsilon }_{t-k})=0\forall k\ne 0$$

Sin memoria alguna. El valor de hoy no dice nada sobre el de mañana.

Si además es gaussiano e independiente (no solo incorrelado), se habla de ruido blanco gaussiano.

Su papel en el bloque es doble:

1. Es el componente básico con el que se construyen los procesos AR y MA.
2. Es el objetivo del diagnóstico: un modelo está bien especificado cuando sus residuos son ruido blanco. Si queda estructura, es que el modelo no la ha capturado.

Función de autocorrelación (ACF)

$${\rho }_k=\frac{\gamma (k)}{\gamma (0)}=\frac{\mathrm{Cov}(Y_t,Y_{t-k})}{\mathrm{Var}(Y_t)}$$

Propiedades:

• ${\rho }_0=1$ siempre.
• $-1\le {\rho }_k\le 1$.
• Simétrica: ${\rho }_k={\rho }_{-k}$, así que solo se representan los retardos positivos.

La representación gráfica de ${\rho }_k$ frente a $k$ es el correlograma, y es la herramienta central de identificación del tema 39.

Estimación muestral:

$${\hat{\rho }}_k=\frac{{\sum }_{t=k+1}^T(y_t-\bar{y})(y_{t-k}-\bar{y})}{{\sum }_{t=1}^T(y_t-\bar{y}{)}^2}$$

Nótese que el denominador usa todas las observaciones aunque el numerador solo tenga $T-k$ sumandos. Es la convención estándar y garantiza propiedades deseables de la matriz de autocorrelaciones.

Bandas de significación. Bajo la hipótesis de ruido blanco, ${\hat{\rho }}_k\approx N(0,1/T)$, de modo que la banda al 95 % es

$$\pm \frac{1,96}{\sqrt{T}}$$

Los valores que salen de la banda son significativamente distintos de cero. Con $T=100$, la banda es $\pm 0,196$.

Aviso sobre comparaciones múltiples. Si se miran 24 retardos al 5 %, cabe esperar que uno salga de la banda por puro azar (tema 28). Un pico aislado en el retardo 17 no significa nada; lo informativo son los primeros retardos y los estacionales.

Función de autocorrelación parcial (PACF)

${\varphi }_{kk}$ mide la correlación entre $Y_t$ e $Y_{t-k}$ eliminando el efecto de los retardos intermedios.

Por qué hace falta. Si $Y_t$ depende de $Y_{t-1}$ y $Y_{t-1}$ de $Y_{t-2}$, entonces $Y_t$ e $Y_{t-2}$ estarán correlacionadas aunque no haya relación directa entre ellas: la correlación es heredada. La ACF no distingue lo directo de lo heredado; la PACF sí.

Es exactamente la diferencia entre correlación simple y coeficiente de regresión múltiple del tema 30: ${\varphi }_{kk}$ es el coeficiente de $y_{t-k}$ al regresar $y_t$ sobre $y_{t-1},\dots ,y_{t-k}$.

Se cumple ${\varphi }_{11}={\rho }_1$, y a partir de ahí divergen.

Las firmas de cada proceso

Este cuadro es el que se usa para identificar modelos, y conviene memorizarlo:

Proceso	ACF	PACF
Ruido blanco	todo cero	todo cero
AR($p$)	decae gradualmente	se corta tras el retardo $p$
MA($q$)	se corta tras el retardo $q$	decae gradualmente
ARMA($p,q$)	decae gradualmente	decae gradualmente
No estacionario	decae muy lentamente, casi lineal	${\varphi }_{11}\approx 1$

La simetría entre AR y MA es la idea que hay que retener: el AR se corta en la PACF, el MA en la ACF.

La última fila es la señal de alarma más importante: una ACF que apenas decae después de 20 retardos indica que la serie no es estacionaria y hay que volver a las transformaciones del tema 36.

Contraste conjunto de ruido blanco

En lugar de mirar retardo a retardo, se contrastan varios a la vez.

Contraste de Ljung-Box:

$$Q=T(T+2)\sum _{k=1}^m\frac{{\hat{\rho }}_k^2}{T-k}\sim {\chi }_m^2$$

bajo $H_0$: las primeras $m$ autocorrelaciones son todas cero.

Se rechaza para valores grandes de $Q$. Es el contraste estándar para diagnosticar residuos: si los residuos de un modelo lo superan, queda estructura sin capturar.

Ajuste de grados de libertad. Si $Q$ se aplica a los residuos de un modelo ARMA($p,q$) estimado, los grados de libertad son $m-p-q$, porque se han estimado parámetros. Es un detalle que los paquetes hacen automáticamente y que a mano se olvida.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Se dispone de la serie trimestral de la tasa de variación del PIB de un país durante 80 trimestres. Las primeras autocorrelaciones estimadas son:

$k$	1	2	3	4	5	6	8	12
${\hat{\rho }}_k$	0,62	0,41	0,25	0,18	0,09	0,06	0,02	$-0,01$
${\hat{\varphi }}_{kk}$	0,62	0,04	$-0,02$	0,05	$-0,03$	0,01	0,00	$-0,02$

1. Calcula las bandas de significación.
2. Identifica qué retardos son significativos en cada función.
3. Propón un modelo.
4. Contrasta con Ljung-Box hasta $m=6$ si la serie fuera ruido blanco.

Paso 1. Bandas de significación.

$$\pm \frac{1,96}{\sqrt{T}}=\pm \frac{1,96}{\sqrt{80}}=\pm \frac{1,96}{8,944}=\pm 0,219$$

Paso 2. Retardos significativos.

ACF. Superan 0,219 en valor absoluto:

$${\hat{\rho }}_1=0,62✓{\hat{\rho }}_2=0,41✓{\hat{\rho }}_3=0,25✓$$

A partir de $k=4$ ($0,18$) ya no.

Patrón: decaimiento gradual. Y no cualquiera: mirando los cocientes,

$$\frac{0,41}{0,62}=0,66\frac{0,25}{0,41}=0,61\frac{0,18}{0,25}=0,72$$

decae aproximadamente de forma geométrica, con razón cercana a 0,62. Es exactamente el patrón ${\rho }_k={\varphi }^k$ de un AR(1) con $\varphi =0,62$:

$$0,62^2=0,384\approx 0,410,62^3=0,238\approx 0,250,62^4=0,148\approx 0,18$$

PACF. Solo ${\hat{\varphi }}_{11}=0,62$ supera la banda. Todos los demás están muy por debajo de 0,219, y de hecho son prácticamente cero.

Patrón: se corta tras el retardo 1.

Paso 3. Identificación del modelo.

Aplicando el cuadro de firmas:

Observado	Compatible con
ACF decae gradualmente	AR
PACF se corta en $k=1$	AR(1)

$$\boxed{\text{Modelo propuesto: AR}(1)}$$ $$y_t=c+\varphi y_{t-1}+{\epsilon }_t\text{con }\hat{\varphi }\approx 0,62$$

Comprobaciones adicionales que refuerzan el diagnóstico:

• La ACF decae pero no se estanca. A los 12 retardos ya está en $-0,01$. Si la serie no fuera estacionaria, ${\hat{\rho }}_{12}$ seguiría siendo alto. La serie es estacionaria, lo cual tiene sentido: es una tasa de variación, no un nivel.
• No hay picos estacionales. ${\hat{\rho }}_4=0,18$ y ${\hat{\rho }}_8=0,02$: si hubiera estacionalidad trimestral sin corregir, esos retardos destacarían. No lo hacen, así que la serie está desestacionalizada o no tiene estacionalidad apreciable.

Interpretación económica de $\varphi =0,62$. El crecimiento del PIB tiene inercia: un trimestre bueno tiende a seguir a otro bueno. Concretamente, el 62 % de la desviación respecto al crecimiento medio persiste al trimestre siguiente, el 38 % ($0,62^2$) dos trimestres después, y así sucesivamente.

Esa persistencia es un hecho estilizado bien conocido de los ciclos económicos, y es lo que permite que las previsiones a un trimestre vista tengan alguna utilidad.

Paso 4. Contraste de Ljung-Box hasta $m=6$.

$$Q=T(T+2)\sum _{k=1}^6\frac{{\hat{\rho }}_k^2}{T-k}=80(82)\sum _{k=1}^6\frac{{\hat{\rho }}_k^2}{80-k}$$ $$=6560\sum _{k=1}^6\frac{{\hat{\rho }}_k^2}{80-k}$$

Término a término:

$k$	${\hat{\rho }}_k$	${\hat{\rho }}_k^2$	$80-k$	cociente
1	0,62	0,3844	79	0,0048658
2	0,41	0,1681	78	0,0021551
3	0,25	0,0625	77	0,0008117
4	0,18	0,0324	76	0,0004263
5	0,09	0,0081	75	0,0001080
6	0,06	0,0036	74	0,0000486
			Σ	0,0084155

$$Q=6560\times 0,0084155=55,21$$ $${\chi }_{6;0,05}^2=12,592$$ $$55,21\gg 12,592⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

La serie NO es ruido blanco, con enorme margen. Tiene estructura, y por tanto merece la pena modelarla: no es simple ruido.

Cómo se usará este contraste después. Una vez estimado el AR(1), se aplica Ljung-Box a sus residuos. Si el modelo ha capturado bien la dinámica, los residuos serán ruido blanco y $Q$ no rechazará. Ese es el criterio de validación del tema 39, y es mucho más informativo que cualquier $R^2$.

5. Errores típicos

Estimar momentos sin comprobar la estacionariedad. La media muestral de una serie con tendencia no estima nada: es un número intermedio entre el principio y el final que no describe ningún momento.

Confundir estacionariedad con ergodicidad. Un proceso puede ser estacionario y no ergódico, como el contraejemplo de la constante aleatoria. Se necesitan las dos para poder inferir de una sola realización.

Interpretar la ACF de una serie no estacionaria. Si la ACF decae muy despacio, la respuesta no es identificar un AR de orden alto: es diferenciar y volver a mirar.

Sobreinterpretar picos aislados. Con 24 retardos y bandas al 95 %, alguno saldrá por azar. Lo informativo son los primeros retardos y los múltiplos de $s$.

Olvidar la simetría. ${\rho }_{-k}={\rho }_k$. La ACF no aporta información nueva en los retardos negativos, y por eso los correlogramas solo muestran los positivos.

Confundir ACF y PACF al identificar. El AR se corta en la PACF; el MA, en la ACF. Es la confusión más frecuente y lleva a especificar el modelo justo al revés.

Usar Ljung-Box sin ajustar los grados de libertad. Aplicado a residuos de un ARMA estimado, los grados de libertad son $m-p-q$.

Creer que autocorrelación nula implica independencia. Solo implica ausencia de relación lineal, igual que en el tema 20. Un proceso puede tener ACF nula y dependencia no lineal fuerte: es el caso de las series financieras, donde las rentabilidades son casi incorreladas pero sus cuadrados no.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Comprobar estacionariedad

básico

Determina si estos procesos son estacionarios en sentido débil:

1. $y_t=5+{\epsilon }_t$, con ${\epsilon }_t\sim RB(0,{\sigma }^2)$
2. $y_t=y_{t-1}+{\epsilon }_t$ (paseo aleatorio)
3. $y_t=0,5t+{\epsilon }_t$
4. $y_t={\epsilon }_t+0,7{\epsilon }_{t-1}$

Ver solución

1. Estacionario.

$$E[y_t]=5\text{(constante)}$$$$\mathrm{Var}(y_t)={\sigma }^2\text{(constante)}$$$$\mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})=0\forall k\ne 0\text{(depende solo de }k)$$

Es ruido blanco desplazado. Cumple las tres condiciones.

2. NO estacionario. Desarrollando desde $y_0=0$:

$$y_t=\sum _{j=1}^t{\epsilon }_j$$$$E[y_t]=0✓$$$$\mathrm{Var}(y_t)=t{\sigma }^2✗$$

La varianza crece con el tiempo, así que falla la segunda condición. Es el caso paradigmático de serie con raíz unitaria, y el objeto central del tema 38.

3. NO estacionario.

$$E[y_t]=0,5t✗$$

La media depende de $t$: falla la primera condición. Es una serie con tendencia determinista.

(Matiz importante: se vuelve estacionaria quitando la tendencia, no diferenciando. El caso 2, al revés. Distinguirlos es justo lo que hace el contraste de raíces unitarias.)

4. Estacionario. Es un MA(1):

$$E[y_t]=0✓$$$$\mathrm{Var}(y_t)={\sigma }^2(1+0,7^2)=1,49{\sigma }^2\text{constante}✓$$$$\mathrm{Cov}(y_t,y_{t-1})=0,7{\sigma }^2,\mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})=0\text{para }k\ge 2✓$$

Depende solo de $k$. Todo proceso MA de orden finito es estacionario, sea cual sea el valor de sus parámetros: es una propiedad que lo distingue de los AR.

Ejercicio 2 · Calcular la ACF de un MA(1)

básico

Para el proceso $y_t={\epsilon }_t+\theta {\epsilon }_{t-1}$ con ${\epsilon }_t\sim RB(0,{\sigma }^2)$:

1. Calcula $\gamma (0)$, $\gamma (1)$ y $\gamma (2)$.
2. Deduce ${\rho }_1$ y comprueba que $|{\rho }_1|\le 0,5$.

Ver solución

1. Autocovarianzas.

$$\gamma (0)=\mathrm{Var}(y_t)=\mathrm{Var}({\epsilon }_t)+{\theta }^2\mathrm{Var}({\epsilon }_{t-1})={\sigma }^2(1+{\theta }^2)$$

(los términos cruzados se anulan porque el ruido blanco es incorrelado).

$$\gamma (1)=E\left[({\epsilon }_t+\theta {\epsilon }_{t-1})({\epsilon }_{t-1}+\theta {\epsilon }_{t-2})\right]$$

Desarrollando, el único producto con esperanza no nula es $\theta E[{\epsilon }_{t-1}^2]$:

$$\gamma (1)=\theta {\sigma }^2$$$$\gamma (2)=E\left[({\epsilon }_t+\theta {\epsilon }_{t-1})({\epsilon }_{t-2}+\theta {\epsilon }_{t-3})\right]=0$$

No hay términos comunes: los subíndices $\{t,t-1\}$ y $\{t-2,t-3\}$ son disjuntos.

En general, $\gamma (k)=0$ para todo $k\ge 2$. Esa es la firma del MA(1): la ACF se corta tras el primer retardo.

2. Autocorrelación de primer orden.

$${\rho }_1=\frac{\gamma (1)}{\gamma (0)}=\frac{\theta {\sigma }^2}{{\sigma }^2(1+{\theta }^2)}=\frac{\theta }{1+{\theta }^2}$$

Cota. Hay que probar que $\left|\frac{\theta }{1+{\theta }^2}\right|\le 0,5$, es decir, que $2|\theta |\le 1+{\theta }^2$.

Reordenando:

$${\theta }^2-2|\theta |+1\ge 0⟺(|\theta |-1{)}^2\ge 0$$

que es siempre cierto, con igualdad solo si $|\theta |=1$.

$$\boxed{|{\rho }_1|\le 0,5}$$

Consecuencia práctica muy útil. Si en un correlograma aparece ${\hat{\rho }}_1=0,7$, el proceso NO puede ser un MA(1), sea cual sea $\theta$. Hay que buscar otra especificación.

Y el máximo se alcanza en $\theta =\pm 1$, que son precisamente los valores en la frontera de la invertibilidad del tema 38. El ${\rho }_1\approx -0,5$ que delataba la sobrediferenciación en el tema 36 es exactamente este caso con $\theta =-1$.

Ejercicio 3 · Identificar a partir del correlograma

medio

Tres series de $T=144$ observaciones mensuales dan estos correlogramas:

Serie A: ACF: 0,85; 0,72; 0,61; 0,52; 0,44; … (decae despacio). PACF: 0,85; $-0,02$; 0,03; $-0,01$; …

Serie B: ACF: $-0,42$; 0,05; $-0,02$; 0,01; … PACF: $-0,42$; $-0,16$; $-0,09$; $-0,04$; …

Serie C: ACF: 0,97; 0,94; 0,91; 0,88; 0,85; … (a los 30 retardos, 0,62).

Identifica cada una.

Ver solución

Banda de significación:

$$\pm \frac{1,96}{\sqrt{144}}=\pm \frac{1,96}{12}=\pm 0,163$$

Serie A: AR(1) con $\varphi \approx 0,85$.

• ACF decae gradualmente y de forma geométrica: $0,85^2=0,72✓$, $0,85^3=0,61✓$, $0,85^4=0,52✓$. El ajuste es exacto.
• PACF se corta tras el retardo 1: solo ${\varphi }_{11}=0,85$ supera la banda.

Aplicando el cuadro: ACF decae + PACF se corta en 1 $⟹$ AR(1).

Serie B: MA(1) con $\theta \approx -0,5$.

• ACF se corta tras el retardo 1: solo ${\rho }_1=-0,42$ supera 0,163.
• PACF decae gradualmente, alternando signo.

$$\text{ACF se corta en 1 + PACF decae}⟹\text{MA(1)}$$

Estimando $\theta$ a partir de ${\rho }_1=\frac{\theta }{1+{\theta }^2}=-0,42$:

$$0,42{\theta }^2+\theta +0,42=0$$$$\theta =\frac{-1\pm \sqrt{1-4(0,42{)}^2}}{2(0,42)}=\frac{-1\pm \sqrt{1-0,7056}}{0,84}=\frac{-1\pm 0,5426}{0,84}$$

Las dos soluciones son $\theta =-0,545$ y $\theta =-1,836$. Se elige la primera por invertibilidad ($|\theta |<1$).

Serie C: NO estacionaria.

La ACF apenas decae: 0,97 en el primer retardo y todavía 0,62 en el trigésimo. Ese decaimiento casi lineal es la firma inequívoca de una raíz unitaria.

No hay que intentar identificar ningún ARMA sobre esta serie. Hay que diferenciar y volver a calcular el correlograma. Si tras $\Delta$ la ACF decae rápidamente, se identifica sobre la serie diferenciada; si sigue sin decaer, se diferencia otra vez —comprobando la varianza, para no sobrediferenciar—.

Cómo distinguir C de A. Ambas tienen ACF decreciente, y la diferencia es la velocidad. Un AR(1) estacionario con $\varphi =0,85$ llega a $0,85^{30}=0,0076$ en el retardo 30: prácticamente cero. La serie C sigue en 0,62. Esa es la señal.

Ejercicio 4 · Momentos de un AR(1) y su ACF

avanzado

Sea el proceso $y_t=c+\varphi y_{t-1}+{\epsilon }_t$ con ${\epsilon }_t\sim RB(0,{\sigma }_{\epsilon }^2)$ y $|\varphi |<1$.

1. Calcula $E[y_t]$.
2. Calcula $\mathrm{Var}(y_t)$.
3. Demuestra que ${\rho }_k={\varphi }^k$.
4. ¿Qué pasa cuando $\varphi \to 1$?

Ver solución

1. Media. Suponiendo estacionariedad, $E[y_t]=E[y_{t-1}]=\mu$ para todo $t$. Tomando esperanzas en la ecuación:

$$\mu =c+\varphi \mu +0⟹\mu (1-\varphi )=c⟹\mu =\frac{c}{1-\varphi }$$

Requiere $\varphi \ne 1$. Con $\varphi =1$ la media no está definida, lo cual es coherente con que el paseo aleatorio no sea estacionario.

2. Varianza. Conviene trabajar con el proceso centrado, ${\tilde{y}}_t=y_t-\mu$, que cumple ${\tilde{y}}_t=\varphi {\tilde{y}}_{t-1}+{\epsilon }_t$.

Tomando varianzas, y usando que ${\tilde{y}}_{t-1}$ y ${\epsilon }_t$ son independientes —el shock de hoy no puede afectar al pasado—:

$$\mathrm{Var}(y_t)={\varphi }^2\mathrm{Var}(y_{t-1})+{\sigma }_{\epsilon }^2$$

Por estacionariedad, $\mathrm{Var}(y_t)=\mathrm{Var}(y_{t-1})=\gamma (0)$:

$$\gamma (0)={\varphi }^2\gamma (0)+{\sigma }_{\epsilon }^2⟹\gamma (0)(1-{\varphi }^2)={\sigma }_{\epsilon }^2$$$$\boxed{\gamma (0)=\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1-{\varphi }^2}}$$

Requiere $|\varphi |<1$ para que sea positiva y finita: es exactamente la condición de estacionariedad del AR(1).

3. Autocorrelaciones. Multiplicando ${\tilde{y}}_t=\varphi {\tilde{y}}_{t-1}+{\epsilon }_t$ por ${\tilde{y}}_{t-k}$ y tomando esperanzas:

$$E[{\tilde{y}}_t{\tilde{y}}_{t-k}]=\varphi E[{\tilde{y}}_{t-1}{\tilde{y}}_{t-k}]+E[{\epsilon }_t{\tilde{y}}_{t-k}]$$

Para $k\ge 1$, el último término es cero: ${\epsilon }_t$ es incorrelado con todo el pasado. Queda la ecuación de Yule-Walker:

$$\gamma (k)=\varphi \gamma (k-1)$$

Aplicándola recursivamente desde $\gamma (0)$:

$$\gamma (k)={\varphi }^k\gamma (0)$$$${\rho }_k=\frac{\gamma (k)}{\gamma (0)}={\varphi }^k■$$

La ACF de un AR(1) decae geométricamente, y ese es exactamente el patrón que permitió identificar la serie del ejemplo resuelto. Si $\varphi >0$, decae siempre positiva; si $\varphi <0$, alterna de signo.

4. El límite $\varphi \to 1$. Las tres expresiones se rompen a la vez:

$$\mu =\frac{c}{1-\varphi }\to \infty$$$$\gamma (0)=\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1-{\varphi }^2}\to \infty$$$${\rho }_k={\varphi }^k\to 1\text{para todo }k$$

Interpretación de cada una:

• La media deja de existir: el proceso no tiene ningún nivel al que volver.
• La varianza se hace infinita: la serie puede alejarse indefinidamente.
• La ACF no decae: el proceso recuerda para siempre. Un shock de hace veinte años sigue plenamente presente.

Con $\varphi =1$ el proceso es exactamente el paseo aleatorio del ejercicio 1, y la ACF teórica vale 1 en todos los retardos. En la práctica, la ACF estimada de un paseo aleatorio decae lentamente por razones muestrales, y ese decaimiento lento es lo que se observó en la serie C del ejercicio anterior.

Conclusión. $\varphi =1$ es la frontera entre un proceso con memoria finita y uno con memoria infinita. Detectar de qué lado está una serie es el problema de las raíces unitarias, y ocupa el tema 38 entero.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Variables aleatorias discretas y continuas; esperanza y varianza — tema 22
• Transformaciones: operador retardo, diferencia regular y estacional, medias móviles — tema 36

Te abre la puerta a:

• Procesos estacionarios, AR y MA, series integradas y raíces unitarias — tema 38

8. Recursos externos

• eknowmetrics — curso de ARIMA. Su tratamiento de proceso estocástico, ruido blanco, estacionariedad y ergodicidad encaja exactamente con este tema, y viene con prácticas en Gretl.
• Apuntes Box-Jenkins de Rafael de Arce y Ramón Mahía (UAM). Autocovarianzas y ACF con las deducciones hechas.
• estadistica.net — PDF de modelos ARIMA. Explica el uso de la ACF y la PACF en la fase de identificación, con ejemplos de correlogramas.
• Gretl. Variable → Correlograma dibuja ACF y PACF con las bandas de significación y da directamente el estadístico de Ljung-Box para cada retardo. Merece la pena simular un AR(1) y un MA(1) con Añadir → Serie aleatoria y comparar sus correlogramas: las firmas del cuadro se ven de inmediato.