Optimización en una variable e integración básica

1. La pregunta

Ya sabemos calcular el beneficio de cualquier nivel de producción. Falta lo importante: cuál es el mejor. Y luego, la pregunta inversa: si un contable solo conoce el coste de cada unidad adicional, ¿puede reconstruir el coste total de la fábrica?

Las dos preguntas son la misma operación en dos sentidos. Derivar lleva del total al marginal; integrar, del marginal al total. Este tema cierra el bloque 1 y es la última pieza antes de que todo se vuelva multivariante.

2. Intuición

Optimizar. Imagina que caminas por una cordillera con los ojos vendados y quieres llegar a una cima. Solo notas la pendiente bajo tus pies. Mientras suba, sigues; cuando la pendiente se hace cero, te paras: has llegado a un sitio llano.

Ese es todo el método. Pero un sitio llano puede ser tres cosas: una cima, el fondo de un valle o un rellano en mitad de una cuesta. Para distinguirlos hace falta más información: cómo cambia la pendiente al pasar por ahí. Si venías subiendo y sigues bajando, era cima. Eso es la derivada segunda.

Y hay una trampa: la cima más alta puede estar en el borde del mapa. Si solo puedes producir entre 0 y 500 unidades, el máximo puede estar en 500 sin que la pendiente sea cero ahí. Los extremos del intervalo hay que mirarlos siempre.

Integrar. Un taxímetro va marcando el precio por metro recorrido. Si apuntas cuánto marca en cada instante y quieres saber el total del viaje, tienes que ir sumando. Cuando los trozos se hacen infinitamente pequeños, esa suma es una integral.

Por eso integrar el coste marginal da el coste total: vas acumulando lo que cuesta cada unidad. Y por eso queda siempre una constante indeterminada: el taxímetro no sabe cuánto se cobró de bajada de bandera. Esa constante es el coste fijo, y solo la sabes si alguien te la dice.

3. Formalización

Puntos críticos

Un punto crítico de $f$ es un $x$ donde $f^{\prime }(x)=0$ o donde $f^{\prime }$ no existe.

Condición necesaria de primer orden. Si $f$ es derivable y tiene un extremo local en un punto interior $x^{\ast }$, entonces $f^{\prime }(x^{\ast })=0$.

Léase con cuidado: es necesaria, no suficiente. Todo extremo interior es punto crítico, pero no todo punto crítico es extremo. En $f(x)=x^3$, el punto $x=0$ tiene derivada nula y no es ni máximo ni mínimo: es un punto de inflexión.

Clasificación: condición de segundo orden

Sea $x^{\ast }$ con $f^{\prime }(x^{\ast })=0$:

Signo de $f^{\prime \prime }(x^{\ast })$	Qué es
$f^{\prime \prime }(x^{\ast })<0$	máximo local
$f^{\prime \prime }(x^{\ast })>0$	mínimo local
$f^{\prime \prime }(x^{\ast })=0$	no concluye: hay que estudiar el signo de $f^{\prime }$ alrededor

Regla mnemotécnica: la segunda derivada negativa dibuja una curva «con forma de montaña», que es donde están las cimas.

Cuando la segunda derivada no decide, se recurre al criterio del signo de $f^{\prime }$: si $f^{\prime }$ pasa de positiva a negativa, hay máximo; de negativa a positiva, mínimo; si no cambia de signo, no hay extremo.

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Si $f$ es continua en $[a,b]$, alcanza su máximo y su mínimo absolutos en ese intervalo (teorema de Weierstrass). Para encontrarlos:

1. Hallar los puntos críticos interiores.
2. Evaluar $f$ en ellos y en los extremos $a$ y $b$.
3. Comparar los valores: el mayor es el máximo absoluto; el menor, el mínimo.

El paso 2 es el que más se olvida y el que más importa en economía, donde casi siempre hay una capacidad máxima de producción.

La condición de máximo beneficio

Con $B(q)=I(q)-C(q)$:

$$B^{\prime }(q)=Im(q)-Cm(q)=0⟹Im(q^{\ast })=Cm(q^{\ast })$$ $$B^{\prime \prime }(q)=I{m}^{\prime }(q)-C{m}^{\prime }(q)<0⟹I{m}^{\prime }(q^{\ast })<C{m}^{\prime }(q^{\ast })$$

La primera es la célebre condición «ingreso marginal igual a coste marginal». La segunda dice que en el óptimo el coste marginal debe cortar al ingreso marginal desde abajo: si no, ese punto es un mínimo de beneficio, no un máximo. Con costes marginales crecientes e ingreso marginal decreciente se cumple automáticamente, pero conviene comprobarlo.

Integral indefinida

Una primitiva de $f$ es una función $F$ con $F^{\prime }(x)=f(x)$. Como la derivada de una constante es cero, si $F$ es primitiva también lo es $F+C$ para cualquier constante. Se escribe

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

y a $C$ se le llama constante de integración. En economía casi nunca es un residuo técnico: suele ser el coste fijo, el capital inicial o el stock de partida.

Primitivas inmediatas, cada una la lectura inversa de una regla del tema 3:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1),\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$ $$\int e^{x}dx=e^x+C,\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}{e}^{kx}+C$$

La integral es lineal: la de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen fuera. No hay regla para la integral de un producto comparable a la de la derivada; ahí hacen falta técnicas que quedan fuera de este bloque.

Integral definida

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Es la regla de Barrow, y aquí la constante se cancela: da igual qué primitiva se use. Geométricamente es el área bajo la curva entre $a$ y $b$ (con signo: lo que quede por debajo del eje resta).

En economía se lee como acumulación:

$$C(q_1)-C(q_0)={\int }_{q_0}^{q_1}Cm(q)dq$$

El coste añadido por pasar de $q_0$ a $q_1$ unidades es el área bajo la curva de coste marginal. Es la versión exacta de lo que en el tema 3 se aproximaba multiplicando la derivada por el incremento.

Dos aplicaciones clásicas, ambas integrales definidas: el excedente del consumidor (área entre la curva de demanda y el precio) y el excedente del productor (área entre el precio y la curva de oferta).

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una imprenta vende folletos con demanda inversa $p(q)=90-0,1q$ euros y tiene un coste total $C(q)=0,05q^2+20q+3000$. Su capacidad máxima es de 300 folletos. Halla la producción de máximo beneficio.

Paso 1. Función de beneficio.

$$I(q)=p(q)q=(90-0,1q)q=90q-0,1q^2$$ $$B(q)=I(q)-C(q)=90q-0,1q^2-0,05q^2-20q-3000$$ $$B(q)=-0,15q^2+70q-3000$$

Paso 2. Condición de primer orden.

$$B^{\prime }(q)=-0,3q+70=0⟹q^{\ast }=\frac{70}{0,3}=233,33$$

Paso 3. Condición de segundo orden.

$$B^{\prime \prime }(q)=-0,3<0$$

Negativa en todo el dominio: el punto crítico es un máximo, y además es el máximo global, porque la parábola es cóncava en todas partes.

Paso 4. Comprobar la restricción de capacidad. El intervalo factible es $[0,300]$, y $233,33$ está dentro. Evaluamos los tres candidatos:

$$B(0)=-3000B(233,33)=5166,67B(300)=-13500+21000-3000=4500$$

El máximo absoluto es $q^{\ast }=233,33$, con 5166,67 € de beneficio. Como los folletos son unidades enteras, se comparan los dos vecinos: $B(233)=5166,65$ y $B(234)=5166,60$. La respuesta operativa es 233 folletos.

Paso 5. Verificar con la regla marginal.

$$Im(q)=90-0,2qCm(q)=0,1q+20$$ $$90-0,2q=0,1q+20⟹70=0,3q⟹q=233,33$$

Coincide, como tenía que ser: es la misma ecuación reordenada. Y el precio de venta sale de la demanda: $p=90-0,1\cdot 233,33=66,67$ €.

Paso 6. El camino inverso. Supongamos ahora que solo conocemos $Cm(q)=0,1q+20$ y que el coste fijo es 3000 €. Reconstruimos el coste total integrando:

$$C(q)=\int (0,1q+20)dq=0,1\cdot \frac{q^2}{2}+20q+C=0,05q^2+20q+C$$

La constante se fija con el dato de que producir cero unidades cuesta el fijo:

$$C(0)=C=3000$$

Y recuperamos $C(q)=0,05q^2+20q+3000$, la función de partida. Sin el dato del coste fijo, la integración sola no habría bastado.

5. Errores típicos

Parar en la condición de primer orden. Encontrar $f^{\prime }(x)=0$ no demuestra que haya máximo. Hay que clasificar el punto, y si el enunciado pide un máximo absoluto en un intervalo, comparar también con los extremos.

Olvidar los extremos del intervalo. Es el error más frecuente en los problemas de economía, donde siempre hay una capacidad máxima o un presupuesto. Si la función crece en todo el intervalo factible, el óptimo está en el borde y no hay ningún punto con derivada nula.

Confundir el signo de la segunda derivada. Negativa es máximo. La forma de acordarse: $f(x)=-x^2$ tiene un máximo en 0 y su segunda derivada es $-2$.

Concluir cuando $f^{\prime \prime }=0$. No dice nada. En $x^4$ hay mínimo, en $-x^4$ máximo, y en $x^3$ ninguno de los dos; los tres tienen primera y segunda derivadas nulas en 0.

Perder la constante de integración. Sin ella la primitiva está incompleta, y en economía esa constante suele ser precisamente el dato con contenido: el coste fijo, la población inicial, el stock de partida.

Integrar el coste marginal y llamarlo coste total sin más. Da el coste variable. El total necesita además el fijo, que la integral indefinida no puede conocer.

Maximizar el ingreso en lugar del beneficio. Ya avisado en el tema 4: el ingreso máximo ignora los costes y da siempre una producción mayor que la de beneficio máximo.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Clasificar puntos críticos

básico

Halla y clasifica los puntos críticos de $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$.

Ver solución

Primera derivada:

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$$

Se anula en $x=1$ y $x=3$.

Segunda derivada:

$$f^{\prime \prime }(x)=6x-12$$$$f^{\prime \prime }(1)=-6<0⟹\text{maˊximo local},f(1)=1-6+9+2=6$$$$f^{\prime \prime }(3)=6>0⟹\text{mıˊnimo local},f(3)=27-54+27+2=2$$

Ninguno de los dos es absoluto: al ser un polinomio de grado impar, $f\to -\infty$ cuando $x\to -\infty$ y $f\to +\infty$ cuando $x\to +\infty$. Solo son extremos locales, y por eso el adjetivo importa.

Ejercicio 2 · Integrales inmediatas

básico

Calcula:

1. $\int (6q^2-4q+5)dq$
2. $\int \frac{3}{q}dq$
3. ${\int }_0^2{e}^{0,5t}dt$

Ver solución

1. Término a término, con la regla de la potencia al revés:

$$\int (6q^2-4q+5)dq=6\cdot \frac{q^3}{3}-4\cdot \frac{q^2}{2}+5q+C=2q^3-2q^2+5q+C$$

2. La constante sale fuera y queda la primitiva del inverso:

$$\int \frac{3}{q}dq=3\ln |q|+C$$

3. Primitiva $\frac{1}{0,5}{e}^{0,5t}=2e^{0,5t}$, y se aplica Barrow:

$${\int }_0^2{e}^{0,5t}dt=[2e^{0,5t}{]}_0^2=2e^1-2e^0=2(2,71828)-2=3,437$$

Ejercicio 3 · Óptimo en la frontera

medio

Un taller obtiene un beneficio $B(q)=120q-0,5q^2-800$ euros, pero su capacidad máxima es de 90 unidades. Halla la producción óptima.

Ver solución

Condición de primer orden:

$$B^{\prime }(q)=120-q=0⟹q=120$$

Pero 120 está fuera del intervalo factible $[0,90]$. El punto crítico no es alcanzable, así que hay que razonar sobre el comportamiento de la función dentro del intervalo.

Para todo $q<120$ se tiene $B^{\prime }(q)=120-q>0$: el beneficio es creciente en todo el intervalo factible. Por tanto el máximo está en el extremo derecho:

$$q^{\ast }=90B(90)=10800-4050-800=5950\text{ €}$$

Lectura económica. El taller está restringido por capacidad: le compensaría producir más y no puede. Ese es justo el escenario en que invertir en ampliar capacidad tiene sentido, y el que da valor positivo al multiplicador de la restricción en el tema 14.

Si aquí se hubiera aplicado mecánicamente la condición de primer orden, la respuesta —120 unidades— habría sido no solo incorrecta, sino imposible.

Ejercicio 4 · Del marginal al total, y el excedente del consumidor

avanzado

Una empresa conoce su coste marginal $Cm(q)=3\sqrt{q}+12$ y sabe que producir 100 unidades le cuesta 4200 € en total.

1. Reconstruye la función de coste total y deduce el coste fijo.
2. La demanda del mercado es $p(q)=200-0,4q$ y el precio de equilibrio es 120 €. Calcula el excedente del consumidor.

Ver solución

1. Integrar el coste marginal. Escribimos la raíz como potencia: $Cm(q)=3q^{1/2}+12$.

$$C(q)=\int \left(3q^{1/2}+12\right)dq=3\cdot \frac{q^{3/2}}{3/2}+12q+K=2q^{3/2}+12q+K$$

Se ha llamado $K$ a la constante para no confundirla con la función de coste. La fijamos con el dato:

$$C(100)=2\cdot 100^{3/2}+1200+K=2\cdot 1000+1200+K=3200+K=4200$$$$K=1000$$

Luego $C(q)=2q^{3/2}+12q+1000$, y el coste fijo es $C(0)=1000$ €.

Obsérvese que el dato «producir 100 unidades cuesta 4200» era imprescindible: la integral sola determina la forma de la curva, no su altura.

2. Excedente del consumidor. Primero, la cantidad de equilibrio:

$$120=200-0,4q⟹0,4q=80⟹q^{\ast }=200$$

El excedente es el área entre la curva de demanda y la recta del precio, desde 0 hasta $q^{\ast }$:

$$EC={\int }_0^{200}[p(q)-120]dq={\int }_0^{200}\left(80-0,4q\right)dq$$$$EC=[80q-0,2q^2{]}_0^{200}=16000-0,2\cdot 40000=16000-8000=8000$$

El excedente del consumidor es 8000 €.

Qué significa. Hay compradores dispuestos a pagar hasta 200 € por la primera unidad y solo pagan 120. La integral suma, unidad a unidad, esa diferencia entre lo que se estaba dispuesto a pagar y lo que se pagó. Es el beneficio que el mercado deja a los compradores, y aparecerá en cualquier análisis de bienestar.

Comprobación geométrica. Como la demanda es lineal, el área es un triángulo de base 200 y altura $200-120=80$: $\frac{1}{2}\cdot 200\cdot 80=8000$. Coincide. La integral es imprescindible cuando la demanda no es una recta.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Derivadas: reglas de derivación y regla de la cadena — tema 3
• Aplicaciones económicas I: coste e ingreso marginal, elasticidad — tema 4

Te abre la puerta a:

• Variables aleatorias discretas y continuas; esperanza y varianza — tema 22

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Optimización en una variable: condiciones de primer y segundo orden, y extremos absolutos en intervalos cerrados.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Integración e integral definida, con aplicaciones a excedentes y a la reconstrucción de funciones totales.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulos de optimización de una variable e integración; los ejemplos de excedente del consumidor y del productor están desarrollados paso a paso.
• Gnuplot. Ver a la vez beneficio y su derivada ayuda a fijar la idea: plot [0:300] -0.15*x**2+70*x-3000, -0.3*x+70.