Aplicaciones económicas I: coste e ingreso marginal, elasticidad

1. La pregunta

Una cadena de cafeterías sube el café de 1,50 € a 1,65 €. Vende un 8 % menos de cafés. ¿Ha ganado o ha perdido dinero?

La respuesta no depende del precio ni de la cantidad por separado, sino de cuál de los dos se ha movido proporcionalmente más. Esa comparación tiene nombre —elasticidad— y es una derivada disfrazada. Sin ella no se puede decidir ninguna política de precios.

2. Intuición

El tema 3 dejó una herramienta: la derivada mide cuánto cambia la salida por una unidad más de entrada. El problema es que una unidad significa cosas distintas según lo que midas.

Si el precio del pan sube 0,10 €, es mucho. Si el precio de un coche sube 0,10 €, es nada. La derivada de la demanda respecto del precio da un número en «unidades por euro», y ese número cambia si mides en euros o en céntimos, en unidades o en docenas. No se pueden comparar dos mercados con él.

La solución es dejar de contar en unidades y contar en porcentajes. La elasticidad pregunta: si el precio sube un 1 %, ¿cuánto por ciento cae la cantidad? Ese número no tiene unidades, y por eso sí se puede comparar el pan con los coches.

Y la intuición del ingreso: el ingreso es precio por cantidad. Al subir el precio, uno de los factores sube y el otro baja. Gana el que se mueva proporcionalmente más. Si la cantidad reacciona poco (demanda inelástica, como la gasolina), manda el precio y el ingreso sube. Si reacciona mucho (demanda elástica, como una marca concreta de refresco con diez sustitutos al lado), manda la cantidad y el ingreso baja.

3. Formalización

Magnitudes totales, medias y marginales

Con $q$ la cantidad producida o vendida:

Concepto	Total	Media	Marginal
Coste	$C(q)$	$CMe(q)=\frac{C(q)}{q}$	$Cm(q)=C^{\prime }(q)$
Ingreso	$I(q)$	$IMe(q)=\frac{I(q)}{q}$	$Im(q)=I^{\prime }(q)$
Beneficio	$B(q)=I(q)-C(q)$	—	$B^{\prime }(q)=Im(q)-Cm(q)$

Aquí $C$, $I$ y $B$ son los totales; $Cm$ e $Im$ son sus derivadas. Esta notación es la del plan y se mantiene en todo el sitio.

Relación entre medio y marginal

Derivando el coste medio como un cociente:

$$CM{e}^{\prime }(q)=\frac{C^{\prime }(q)q-C(q)}{q^2}=\frac{1}{q}\left(Cm(q)-CMe(q)\right)$$

Como $q>0$, el signo de $CM{e}^{\prime }$ es el de $Cm-CMe$. De ahí la regla:

• si $Cm<CMe$, el coste medio baja;
• si $Cm>CMe$, el coste medio sube;
• si $Cm=CMe$, el coste medio está en un punto crítico: su mínimo.

Es la razón de que las curvas de coste marginal y coste medio se corten siempre en el mínimo de la media. La misma cuenta vale para cualquier par medio-marginal: una nota media sube exactamente cuando el examen nuevo saca más que la media anterior.

Ingreso marginal y demanda

Si la empresa no es precio-aceptante, el precio depende de lo que venda: $p=p(q)$, la función de demanda inversa. Entonces

$$I(q)=p(q)q$$

y derivando como producto:

$$Im(q)=p(q)+p^{\prime }(q)q$$

Los dos sumandos son los dos efectos de vender una unidad más: se ingresa su precio ($p$), pero para colocarla hay que bajar el precio de todas las demás ($p^{\prime }(q)q$, negativo porque $p^{\prime }<0$). Por eso el ingreso marginal está siempre por debajo del precio, salvo en competencia perfecta, donde $p^{\prime }=0$ e $Im=p$.

Elasticidad

La elasticidad de $y$ respecto de $x$ es el cociente entre la variación porcentual de $y$ y la de $x$:

$${\epsilon }_{y,x}=\frac{\Delta y/y}{\Delta x/x}\underset{\Delta x\to 0}{\to }{\epsilon }_{y,x}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{x}{y}$$

La versión con la derivada es la elasticidad puntual, y es la que se usa. Es un número sin unidades: da igual medir en euros o en dólares.

Para la demanda, con $q=D(p)$:

$${\epsilon }_{q,p}=D^{\prime }(p)\cdot \frac{p}{q}$$

Como la demanda decrece, ${\epsilon }_{q,p}$ sale negativa. Muchos manuales trabajan con su valor absoluto y hablan de «elasticidad 1,4»; en este sitio se conserva el signo y se dice «elasticidad $-1,4$», que es más honesto y evita errores al aplicar fórmulas.

Clasificación, según $|\epsilon |$:

Rango	Nombre	Qué pasa con el ingreso si sube el precio
$|\epsilon |<1$	inelástica	sube
$|\epsilon |=1$	unitaria	no cambia (ingreso máximo)
$|\epsilon |>1$	elástica	baja

La regla que une ingreso y elasticidad

Partiendo de $I=p\cdot q$ con $q=D(p)$ y derivando respecto del precio:

$$\frac{dI}{dp}=q+p{D}^{\prime }(p)=q\left(1+D^{\prime }(p)\frac{p}{q}\right)=q\left(1+{\epsilon }_{q,p}\right)$$

Como $q>0$, el signo de $dI/dp$ es el de $1+\epsilon$. Con $\epsilon =-0,4$ da $0,6>0$: subir el precio sube el ingreso. Con $\epsilon =-1,8$ da $-0,8<0$: lo baja. Con $\epsilon =-1$ da cero: el ingreso está en su máximo.

Toda la política de precios cabe en esa fórmula.

Elasticidad y logaritmos

Un resultado que reaparece en el tema 31: si se toman logaritmos en los dos lados,

$${\epsilon }_{y,x}=\frac{d(\ln y)}{d(\ln x)}$$

Por eso, en el modelo $\ln q={\beta }_0+{\beta }_1\ln p$, el coeficiente ${\beta }_1$ es directamente la elasticidad. Un modelo log-log estima elasticidades sin más cuentas, y esa es la razón de que sea la forma funcional más usada en econometría aplicada.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Un fabricante de sillas se enfrenta a la demanda $q=1200-8p$, con $p$ en euros. Actualmente vende a 60 €. Calcula la elasticidad, decide si le conviene subir el precio y halla el precio que maximiza el ingreso.

Paso 1. Cantidad actual.

$$q=1200-8\cdot 60=1200-480=720\text{ sillas}$$

Paso 2. Derivada de la demanda.

$$D^{\prime }(p)=-8$$

Ocho sillas menos por cada euro de subida. Pero este número, solo, no permite decidir nada: depende de las unidades.

Paso 3. Elasticidad en el punto.

$${\epsilon }_{q,p}=D^{\prime }(p)\cdot \frac{p}{q}=-8\cdot \frac{60}{720}=-8\cdot 0,0833=-0,667$$

En valor absoluto, 0,667, menor que 1: la demanda es inelástica a este precio. Subir el precio un 1 % reduce las ventas solo un 0,67 %.

Paso 4. Decisión sobre el precio. Aplicamos la regla:

$$\frac{dI}{dp}=q(1+\epsilon )=720(1-0,667)=720\cdot 0,333=240>0$$

Positivo: subir el precio aumenta el ingreso. Un euro más de precio añade unos 240 € de ingreso.

Comprobación numérica. A 61 €, $q=1200-488=712$ sillas.

$$I(60)=60\cdot 720=43200I(61)=61\cdot 712=43432$$

La diferencia es 232 €, muy cerca de los 240 que predecía la derivada.

Paso 5. Precio de ingreso máximo. El ingreso es máximo donde $\epsilon =-1$:

$$-8\cdot \frac{p}{1200-8p}=-1⟹8p=1200-8p⟹16p=1200⟹p=75$$

A 75 €, $q=1200-600=600$ sillas e $I=45000$ €. Es el máximo: por debajo de 75 la demanda es inelástica y conviene subir; por encima es elástica y conviene bajar.

Aviso importante. Esto maximiza el ingreso, no el beneficio. Producir 600 sillas tiene un coste, y el precio que maximiza el beneficio es otro —siempre mayor o igual— que sale de igualar ingreso marginal y coste marginal. Ese es el problema del tema 5.

5. Errores típicos

Comparar derivadas de mercados distintos. «La demanda de pan cae 200 unidades por euro y la de coches 3, luego el pan es más sensible» es falso. Las derivadas dependen de las unidades; solo las elasticidades son comparables.

Tratar la elasticidad como una propiedad de la curva. En una demanda lineal, la elasticidad cambia en cada punto: es casi cero cerca del eje de cantidades e infinita cerca del eje de precios. No existe «la elasticidad de esta demanda» a secas; existe la elasticidad a este precio.

Perder el signo. Si se trabaja con $|\epsilon |$ y luego se mete en $dI/dp=q(1+\epsilon )$, sale el resultado contrario. O se conserva el signo en todas partes, o se usa la clasificación con valor absoluto y se razona con la tabla, pero no se mezclan.

Confundir ingreso marginal con precio. Solo coinciden si la empresa puede vender lo que quiera al mismo precio. Con demanda decreciente, $Im<p$ siempre.

Maximizar el ingreso creyendo que se maximiza el beneficio. Son problemas distintos y dan precios distintos. El ingreso máximo ignora los costes.

Interpretar mal el signo de la relación medio-marginal. El coste medio no baja porque el marginal baje, sino porque el marginal está por debajo de la media. Un coste marginal creciente puede seguir tirando la media hacia abajo mientras siga siendo menor que ella.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Marginal y medio

básico

Una empresa tiene $C(q)=q^2+10q+900$.

1. Calcula $Cm(q)$ y $CMe(q)$.
2. Halla la producción que minimiza el coste medio usando la relación entre ambos.

Ver solución

1.

$$Cm(q)=C^{\prime }(q)=2q+10CMe(q)=q+10+\frac{900}{q}$$

2. El coste medio alcanza su mínimo donde $Cm=CMe$:

$$2q+10=q+10+\frac{900}{q}$$$$q=\frac{900}{q}⟹q^2=900⟹q=30$$

Se descarta $q=-30$ por estar fuera del dominio económico. En $q=30$:

$$CMe(30)=30+10+30=70Cm(30)=60+10=70$$

Coinciden, como debía ser. Y el coste medio mínimo es 70 € por unidad.

Ejercicio 2 · Elasticidad en dos puntos de la misma demanda

básico

Con la demanda $q=500-5p$, calcula la elasticidad en $p=20$ y en $p=80$, y explica la diferencia.

Ver solución

$D^{\prime }(p)=-5$ en los dos casos. Lo que cambia es el cociente $p/q$.

En $p=20$: $q=500-100=400$.

$$\epsilon =-5\cdot \frac{20}{400}=-0,25$$

Muy inelástica: conviene subir el precio.

En $p=80$: $q=500-400=100$.

$$\epsilon =-5\cdot \frac{80}{100}=-4$$

Muy elástica: conviene bajarlo.

La diferencia. La derivada es la misma, $-5$ unidades por euro, pero su importancia relativa no. A precio bajo, perder 5 unidades de 400 es despreciable y el euro ganado pesa mucho. A precio alto, perder 5 de 100 es un 5 % de las ventas por un 1,25 % más de precio. La misma pendiente significa cosas distintas según dónde estés en la curva.

Ejercicio 3 · Demanda de elasticidad constante

medio

Un estudio estima la demanda de un bien como $q=4000p^{-1,5}$.

1. Calcula su elasticidad y comprueba que no depende del precio.
2. ¿Qué le pasa al ingreso si el precio sube un 10 %?

Ver solución

1. Derivamos con la regla de la potencia:

$$D^{\prime }(p)=4000\cdot (-1,5)p^{-2,5}=-6000p^{-2,5}$$

Y aplicamos la definición, sustituyendo $q$ por su expresión:

$$\epsilon =D^{\prime }(p)\cdot \frac{p}{q}=-6000p^{-2,5}\cdot \frac{p}{4000p^{-1,5}}=-\frac{6000}{4000}\cdot \frac{p^{-2,5}\cdot p}{p^{-1,5}}$$

Con las reglas de potencias del tema 1: $p^{-2,5}\cdot p^1=p^{-1,5}$, que se cancela con el denominador.

$$\epsilon =-1,5$$

El precio ha desaparecido. Las funciones potenciales tienen elasticidad constante, igual a su exponente, y por eso son la forma funcional favorita para estimar demandas: al tomar logaritmos, $\ln q=\ln 4000-1,5\ln p$, y el exponente es directamente el coeficiente de una regresión log-log.

2. $|\epsilon |=1,5>1$: demanda elástica, el ingreso baja.

Cuantitativamente: la cantidad cae aproximadamente $1,5\times 10\%=15\%$. El ingreso queda en $1,10\times 0,85=0,935$, un 6,5 % menos.

Con la fórmula exacta: $I=pq=4000p^{-0,5}$, y multiplicar $p$ por 1,10 multiplica $I$ por $1,10^{-0,5}=0,953$, un 4,7 % menos. La aproximación por porcentajes exagera algo porque el 10 % no es un cambio pequeño, pero acierta el signo y el orden de magnitud, que es lo que se necesita para decidir.

Ejercicio 4 · Ingreso marginal, elasticidad y la regla del margen

avanzado

Demuestra que el ingreso marginal se puede escribir como

$$Im=p\left(1+\frac{1}{{\epsilon }_{q,p}}\right)$$

y úsalo para calcular qué margen sobre el coste marginal aplica un monopolista que se enfrenta a una elasticidad de $-3$ y tiene $Cm=20$ €.

Ver solución

Demostración. Partimos del ingreso como función de la cantidad, $I(q)=p(q)q$, y derivamos como producto:

$$Im=\frac{dI}{dq}=p+q\frac{dp}{dq}$$

Sacamos factor común $p$:

$$Im=p\left(1+\frac{q}{p}\cdot \frac{dp}{dq}\right)$$

El paréntesis contiene $\frac{dp}{dq}\cdot \frac{q}{p}$, que es la elasticidad del precio respecto de la cantidad, es decir, la inversa de ${\epsilon }_{q,p}$. Esto es válido porque la demanda es invertible, de modo que $\frac{dp}{dq}=1/\frac{dq}{dp}$. Sustituyendo:

$$Im=p\left(1+\frac{1}{{\epsilon }_{q,p}}\right)$$

Aplicación. El monopolista maximiza el beneficio donde $Im=Cm$ (condición que se justifica en el tema 5):

$$p\left(1+\frac{1}{-3}\right)=20⟹p\left(1-0,333\right)=20⟹p\cdot 0,667=20$$$$p=\frac{20}{0,667}=30$$

Interpretación. El precio óptimo es 30 € frente a un coste marginal de 20: un margen del 50 % sobre coste. Y la fórmula dice de qué depende: cuanto menos elástica sea la demanda, mayor el margen. Con $\epsilon =-1,5$ el precio sería $20/(1-0,667)=60$ €, un margen del 200 %. Con demanda muy elástica, $\epsilon \to -\infty$, el paréntesis tiende a 1 y $p\to Cm$: es el caso de competencia perfecta, donde no hay margen.

Nótese además que un monopolista nunca opera donde $|\epsilon |<1$: ahí el paréntesis sería negativo, el ingreso marginal también, y jamás igualaría un coste marginal positivo. Le convendría subir el precio hasta entrar en el tramo elástico.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Derivadas: reglas de derivación y regla de la cadena — tema 3

Te abre la puerta a:

• Optimización en una variable e integración básica — tema 5
• Variables dummy y formas funcionales (log-log, log-lin) — tema 31

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Aplicaciones de la derivada: funciones marginales y elasticidad, con la deducción de la relación entre ingreso marginal y elasticidad.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Aplicaciones a utilidad, producción y costes; es donde más ejercicios hay de magnitudes medias frente a marginales.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulo de aplicaciones: la sección de elasticidad incluye la equivalencia con la derivada logarítmica que se usará en econometría.
• Gnuplot. Dibujar a la vez coste medio y coste marginal deja ver el corte en el mínimo: plot [1:60] x+10+900/x, 2*x+10.