Funciones elementales, límites y continuidad

1. La pregunta

Una eléctrica cobra 0,12 €/kWh hasta 300 kWh y 0,18 €/kWh a partir de ahí. Si consumes 299 kWh y enciendes una bombilla más, ¿cuánto sube la factura? Depende de si la tarifa sube solo para los kWh nuevos o para todos: en el segundo caso, un kWh de más dispara la factura 18 €.

Ese salto es lo que impide hablar de «coste de la unidad siguiente» en ese punto. La continuidad es exactamente la condición que hace falta para que la pregunta marginal —la del tema 3— tenga respuesta.

2. Intuición

Una función es una máquina con una entrada y una salida, y con una promesa: a la misma entrada, siempre la misma salida. «Precio del billete según los días de antelación» es una función. «Precio del billete» a secas no lo es, porque no dice de qué depende.

El límite responde a una pregunta distinta de «cuánto vale la función aquí». Es «hacia dónde se dirige la función cuando me acerco a este punto», y se puede preguntar incluso donde la función no existe. El coste medio de fabricar una unidad no está definido para cero unidades —dividirías entre cero—, pero sí se puede preguntar hacia dónde tiende cuando la producción se hace pequeñísima. La respuesta es «al infinito», y eso es una afirmación económica: repartir el coste fijo entre casi nada da un coste unitario enorme.

La continuidad junta las dos cosas: hacia donde se dirige la función y lo que vale allí coinciden. Es la versión formal de «se dibuja sin levantar el lápiz». Y la razón de que importe es que casi todo lo que viene después —derivar, optimizar, integrar— supone que no hay saltos.

Hay tres formas de romperla, y las tres pasan en economía: un salto (el tramo de la tarifa), un agujero (un dato que falta en una serie por lo demás suave) y una explosión (una magnitud que se va al infinito, como el coste medio cerca de cero).

3. Formalización

Función, dominio y recorrido

Una función real de variable real $f$ asigna a cada número $x$ de un conjunto $D_f$ un único número $f(x)$. A $D_f$ se le llama dominio: los valores de entrada admisibles. Al conjunto de valores que salen se le llama recorrido o imagen.

En economía el dominio casi nunca es todo $\mathbb{R}$: las cantidades producidas, los precios y las poblaciones no son negativos. Restringir el dominio no es un tecnicismo, es parte del modelo.

Funciones elementales

Familia	Forma	Dónde aparece
Lineal	$f(x)=ax+b$	coste total con coste fijo $b$ y variable $a$
Cuadrática	$f(x)=a{x}^2+bx+c$	costes con rendimientos decrecientes
Potencial	$f(x)=A{x}^{\alpha }$	producción Cobb-Douglas con un factor
Exponencial	$f(x)=A{e}^{rx}$	capitalización continua, crecimiento
Logarítmica	$f(x)=\ln x$	utilidad con saciedad, modelos log
Racional	$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$	coste medio, productividad media

En la potencial, $A$ es una constante de escala y $\alpha$ el exponente; si $0<\alpha <1$ la función crece cada vez más despacio, que es la forma habitual de los rendimientos decrecientes.

Límite

Se escribe

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

y se lee: cuando $x$ se acerca a $a$ tanto como se quiera (sin llegar a ser $a$), $f(x)$ se acerca a $L$ tanto como se quiera. No dice nada sobre $f(a)$, que puede no existir.

Como uno puede acercarse por la izquierda o por la derecha, hay dos límites laterales:

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\text{y}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$$

El límite existe si y solo si ambos existen y coinciden. En la tarifa eléctrica del principio, en $x=300$ los dos laterales son distintos: por eso no hay límite ahí.

También se pregunta qué pasa cuando la variable se va al infinito, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$, que es la pregunta del largo plazo.

Cálculo de límites

Si la función es una combinación de elementales y al sustituir sale un número, ese número es el límite. El trabajo empieza cuando sale una indeterminación, que es una expresión que no decide por sí sola:

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty$$

Dos técnicas cubren casi todo en este bloque:

• Factorizar y simplificar, cuando sale $0/0$ en un cociente de polinomios. El factor que se anula está en el numerador y en el denominador, y se cancela.
• Dividir por la potencia dominante, cuando sale $\infty /\infty$. En un cociente de polinomios, manda el término de mayor grado.

Continuidad

$f$ es continua en $a$ si se cumplen tres cosas a la vez:

1. $f(a)$ existe, es decir, $a$ pertenece a $D_f$;
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existe;
3. ambos coinciden: ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Si falla la primera o la tercera pero el límite existe, la discontinuidad es evitable: basta redefinir $f(a)$ para arreglarla. Si los laterales existen pero son distintos, es de salto, y no se arregla. Si alguno es infinito, es asintótica.

Las funciones elementales son continuas en todo su dominio. Sumas, productos y composiciones de continuas son continuas. Los cocientes lo son salvo donde se anula el denominador. En la práctica: una función construida con las herramientas del cuadro de arriba solo puede romperse donde algo se divide entre cero, donde el logaritmo recibe un número no positivo, o donde el modelo se define a trozos.

Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos distintos, entonces existe al menos un punto $c$ entre $a$ y $b$ con $f(c)=0$.

Dicho en economía: si a un precio el mercado tiene exceso de demanda y a otro exceso de oferta, y la función de exceso es continua, hay un precio intermedio que vacía el mercado. El teorema garantiza que existe; no dice cuál es.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una fábrica tiene un coste fijo de 8000 € y un coste variable de 12 € por unidad. El coste medio por unidad es $CMe(q)=C(q)/q$. Analiza su comportamiento cuando la producción es muy pequeña y cuando es muy grande.

Paso 1. Escribir las funciones.

$$C(q)=8000+12q,CMe(q)=\frac{8000+12q}{q}$$

El dominio de $CMe$ es $q>0$: producir cero unidades no permite hablar de coste por unidad, porque habría que dividir entre cero.

Paso 2. Separar la expresión. Dividiendo cada sumando entre $q$:

$$CMe(q)=\frac{8000}{q}+12$$

Ya se lee la economía: el coste medio es el coste variable unitario (12 €, constante) más el coste fijo repartido entre las unidades producidas.

Paso 3. Límite cuando la producción tiende a cero.

$$\underset{q\to 0^{+}}{\lim }CMe(q)=\underset{q\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{8000}{q}+12\right)=+\infty$$

Solo tiene sentido el límite por la derecha, porque el dominio es $q>0$. Hay una discontinuidad asintótica en $q=0$: repartir 8000 € entre casi nada da un coste unitario que crece sin tope.

Paso 4. Límite cuando la producción tiende a infinito.

$$\underset{q\to +\infty }{\lim }CMe(q)=\underset{q\to +\infty }{\lim }\left(\frac{8000}{q}+12\right)=0+12=12$$

La recta $CMe=12$ es una asíntota horizontal. Es la traducción exacta de las economías de escala: el coste fijo se diluye, y el coste medio se aproxima al variable unitario sin llegar nunca a alcanzarlo.

Paso 5. Leer un número concreto. Con $q=1000$:

$$CMe(1000)=\frac{8000}{1000}+12=8+12=20$$

Y con $q=4000$, $CMe=2+12=14$. Cuadruplicar la producción baja el coste medio de 20 a 14 €, pero por mucho que se produzca nunca bajará de 12.

5. Errores típicos

Confundir el límite con el valor de la función. Son preguntas distintas. Una función puede tener límite 5 en un punto y valer 9 en ese punto: entonces es discontinua ahí, pero el límite existe y vale 5.

Olvidar comprobar los dos laterales en funciones a trozos. En un modelo definido por tramos —tarifas, tipos impositivos, descuentos por volumen—, el único sitio donde puede romperse es justo en el punto de corte, y solo se ve mirando por los dos lados.

Dar por hecho que $0/0$ vale 0, o 1, o infinito. No vale nada: es una indeterminación y hay que resolverla. $\frac{x^2-4}{x-2}$ da $0/0$ en $x=2$ y su límite es 4; $\frac{x-2}{(x-2{)}^2}$ también da $0/0$ y su límite es infinito.

Ignorar el dominio económico. El límite ${\lim }_{q\to 0}CMe(q)$ no existe como límite bilátero, porque por la izquierda no hay función. En economía casi siempre se trabaja con límites laterales sin decirlo.

Creer que Bolzano da la solución. Solo garantiza que existe. Encontrarla es otro problema, y el teorema no ayuda a resolverlo.

Escribir $\ln (0)$ o $\ln$ de un negativo. El logaritmo tiene dominio $x>0$. Si un modelo log-lineal recibe un valor cero, no es un problema numérico: es que el modelo no está definido ahí.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Dominio de funciones económicas

básico

Determina el dominio de cada función y di qué significa la restricción:

1. $C(q)=\frac{500+3q}{q}$
2. $U(x)=\ln (x-10)$

Ver solución

1. El denominador se anula en $q=0$, así que el dominio matemático es $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Con sentido económico, además $q>0$: el dominio útil es $(0,+\infty )$. La restricción dice que el coste medio no está definido si no se produce nada.

2. El logaritmo exige argumento positivo: $x-10>0$, es decir, $x>10$. El dominio es $(10,+\infty )$. Económicamente es una utilidad de subsistencia: por debajo de 10 unidades del bien el modelo no dice nada, y justo por encima la utilidad tiende a $-\infty$.

Ejercicio 2 · Indeterminación cero partido por cero

básico

Calcula $\underset{q\to 5}{\lim }\frac{q^2-25}{q-5}$ e interpreta por qué el resultado no es «no existe».

Ver solución

Al sustituir sale $\frac{25-25}{5-5}=\frac{0}{0}$: indeterminación, hay que trabajar.

El numerador es una diferencia de cuadrados, $q^2-25=(q-5)(q+5)$. Entonces, para todo $q\ne 5$:

$$\frac{q^2-25}{q-5}=\frac{(q-5)(q+5)}{q-5}=q+5$$

La simplificación es lícita porque el límite solo mira valores próximos a 5, nunca el propio 5, y ahí $q-5\ne 0$. Por tanto:

$$\underset{q\to 5}{\lim }\frac{q^2-25}{q-5}=5+5=10$$

La función tiene un agujero en $q=5$ —no está definida ahí— pero se acerca limpiamente a 10. Es una discontinuidad evitable: definiendo el valor 10 en ese punto, la función queda continua.

Ejercicio 3 · Continuidad de una tarifa por tramos

medio

Una gestoría cobra una cuota mensual según las facturas tramitadas $x$:

$$T(x)=\{\begin{array}{ll}40+2x& \text{si }0\le x\le 50\\ k+1,5x& \text{si }x>50\end{array}$$

Halla el valor de $k$ que hace la tarifa continua y explica qué pasaría con otro valor.

Ver solución

Los dos trozos son funciones lineales, continuas en su tramo. El único punto donde puede romperse es $x=50$. Aplicamos las tres condiciones de continuidad.

Valor en el punto. Lo da el primer trozo, que incluye el 50:

$$T(50)=40+2\cdot 50=140$$

Límite por la izquierda. Se acerca con el primer trozo:

$$\underset{x\to 50^{-}}{\lim }T(x)=40+2\cdot 50=140$$

Límite por la derecha. Se acerca con el segundo:

$$\underset{x\to 50^{+}}{\lim }T(x)=k+1,5\cdot 50=k+75$$

Para que haya continuidad, los tres números deben coincidir:

$$k+75=140⟹k=65$$

Qué pasaría con otro valor. Si $k<65$, la cuota baja de golpe al pasar de 50 a 51 facturas: al cliente le compensa declarar facturas que no tiene. Si $k>65$, sube de golpe: tramitar una factura más cuesta una fortuna y el cliente se queda parado justo en 50. Los dos casos generan un incentivo perverso en el punto de corte, y por eso las tarifas por tramos se diseñan continuas.

Ejercicio 4 · Comportamiento a largo plazo y equilibrio

avanzado

Un mercado tiene demanda $D(p)=\frac{900}{p+2}$ y oferta $S(p)=4p-10$, con $p>0$ el precio.

1. Calcula ${\lim }_{p\to +\infty }D(p)$ e interpreta.
2. Demuestra que existe un precio de equilibrio entre 5 y 15 sin resolver la ecuación.

Ver solución

1. Demanda a precios muy altos. Es un cociente donde el numerador es constante y el denominador crece sin tope:

$$\underset{p\to +\infty }{\lim }\frac{900}{p+2}=0$$

La cantidad demandada tiende a cero pero nunca la alcanza: por caro que sea el bien, el modelo siempre supone algún comprador. Es una asíntota horizontal en $D=0$, y es una limitación del modelo, no un hecho del mundo: en la realidad hay un precio a partir del cual nadie compra.

2. Existencia del equilibrio. Definimos el exceso de demanda:

$$E(p)=D(p)-S(p)=\frac{900}{p+2}-4p+10$$

$E$ es continua en $[5,15]$: es una suma de una función racional —cuyo único punto problemático, $p=-2$, queda fuera del intervalo— y un polinomio.

Evaluamos en los extremos:

$$E(5)=\frac{900}{7}-20+10=128,57-10=118,57>0$$$$E(15)=\frac{900}{17}-60+10=52,94-50=2,94>0$$

Los dos son positivos, así que Bolzano no se puede aplicar en $[5,15]$: el teorema exige signos distintos. Ampliamos el intervalo por la derecha:

$$E(16)=\frac{900}{18}-64+10=50-54=-4<0$$

Ahora sí: $E$ es continua en $[15,16]$, $E(15)>0$ y $E(16)<0$. Por Bolzano existe $p^{\ast }$ entre 15 y 16 con $E(p^{\ast })=0$, es decir, un precio que iguala oferta y demanda.

La trampa del enunciado era pedir la demostración en un intervalo donde no se cumplen las hipótesis. Comprobar los signos antes de invocar el teorema no es un formalismo: es lo único que lo hace válido.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Repaso operativo: potencias, logaritmos, ecuaciones e inecuaciones — tema 1

Te abre la puerta a:

• Derivadas: reglas de derivación y regla de la cadena — tema 3
• Funciones multivariantes: definiciones, curvas de nivel y visualización — tema 10

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Bloque de funciones de una variable: vídeos de límites, indeterminaciones y continuidad, con las funciones elementales que reaparecen en todo el grado.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Tema de funciones escalares, con colección de ejercicios de dominio y límites resueltos.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulo de funciones de una variable: continuidad, límites y teorema del valor intermedio con aplicaciones de equilibrio de mercado.
• Gnuplot. Para ver los saltos y las asíntotas de este tema, plot [0:50] (8000/x)+12 deja clarísimo el comportamiento del coste medio.