Repaso operativo: potencias, logaritmos, ecuaciones e inecuaciones

1. La pregunta

El BCE anuncia que la inflación baja del 4 % al 2 %. Un titular dice que los precios han bajado; otro, que siguen subiendo pero más despacio. Solo uno tiene razón, y para saber cuál hay que manejar tasas, potencias y logaritmos sin dudar.

Todo lo demás del plan se apoya aquí: una elasticidad es un cociente de tasas, un modelo econométrico log-log es una ecuación con logaritmos, y el símplex es álgebra de inecuaciones. Este tema no enseña nada nuevo: quita el ruido para que lo nuevo se entienda.

2. Intuición

Piensa en un depósito de 1000 € al 3 % anual.

Al cabo de un año no le sumas 30 € y ya está: al segundo año, el 3 % se aplica también sobre esos 30 €. Multiplicar por 1,03 cada año es lo mismo que multiplicar por 1,03 tantas veces como años pasen. Eso es una potencia: la forma corta de escribir «multiplicar muchas veces por lo mismo».

Ahora dale la vuelta a la pregunta. No «cuánto tendré en diez años», sino «cuántos años tardaré en doblar el dinero». Ahora el exponente es lo que no sabes. La operación que despeja un exponente es el logaritmo: es a la potencia lo que la resta es a la suma.

Y una última vuelta. Si en vez de «cuánto tardo exactamente en doblar» preguntas «a partir de qué año habré doblado», la respuesta ya no es un número sino un tramo: todos los años a partir de uno. Eso es una inecuación, y su respuesta siempre es un conjunto, no un punto.

Tres preguntas sobre el mismo depósito, tres herramientas. Nada más.

3. Formalización

Potencias

Para $a>0$ y $n$ entero positivo, $a^n$ es el producto de $a$ por sí mismo $n$ veces. La definición se extiende a exponentes cualesquiera manteniendo estas reglas:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$ $$a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n},a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$$

Aquí $a$ es la base y $m,n$ son los exponentes. La restricción $a>0$ importa: con base negativa, $a^{1/2}$ no está definida en los números reales.

Cuidado con lo que no es regla: $(a+b{)}^n$ no es $a^n+b^n$. Para $n=2$,

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Logaritmos

El logaritmo en base $a$ de $x$, escrito ${\log }_{a}x$, es el exponente al que hay que elevar $a$ para obtener $x$:

$${\log }_{a}x=y⟺a^y=x$$

El símbolo $⟺$ significa «equivale a»: cada afirmación implica la otra. Solo está definido para $x>0$ y $a>0$, $a\ne 1$.

Dos bases se usan siempre en economía: la base 10, escrita $\log x$, y la base $e$ (donde $e\approx 2,71828$), escrita $\ln x$ y llamada logaritmo natural o neperiano. En econometría, cuando alguien escribe «logaritmo» sin más, es $\ln$.

Las reglas salen de las de las potencias, leídas del revés:

$$\ln (x\cdot y)=\ln x+\ln y,\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y,\ln (x^k)=k\ln x$$

La tercera es la que convierte los logaritmos en la herramienta central del bloque: baja el exponente a multiplicador, y con ello un exponente desconocido se despeja.

Y la que no existe, otra vez: $\ln (x+y)$ no se puede descomponer. No hay regla para el logaritmo de una suma.

Tasas de variación

Si una magnitud pasa de $x_0$ a $x_1$, su tasa de variación es

$$g=\frac{x_1-x_0}{x_0}$$

que se expresa en tanto por uno ($0,03$) o en porcentaje ($3\%$). Crecer a una tasa $g$ durante $t$ periodos multiplica por $(1+g{)}^t$:

$$x_t=x_0(1+g{)}^t$$

Las tasas no se suman: crecer un 10 % y luego caer un 10 % deja $1,10\times 0,90=0,99$, es decir, un 1 % menos que al principio.

Ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la hacen cierta. Las tres familias que hacen falta:

• Lineal, $ax+b=0$, con solución $x=-b/a$ si $a\ne 0$.
• Cuadrática, $a{x}^2+bx+c=0$ con $a\ne 0$, con solución

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

donde el signo $\pm$ indica que hay dos soluciones. La cantidad $b^2-4ac$ se llama discriminante: si es positiva hay dos soluciones reales, si es cero una, y si es negativa ninguna real.

• Exponencial, del tipo $a{b}^x=c$. Se resuelve tomando logaritmos en los dos lados y aplicando $\ln (b^x)=x\ln b$ para bajar la incógnita.

Inecuaciones

Igual que las ecuaciones, con una regla propia: al multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

$$-2x>6⟺x<-3$$

La solución es un conjunto, y se escribe como intervalo: $(-\infty ,-3)$. El paréntesis excluye el extremo; el corchete lo incluye, como en $[0,1]$.

Con cocientes hay una trampa añadida. En

$$\frac{x-2}{x+1}>0$$

no se puede multiplicar por $x+1$ sin saber su signo. Se estudia el signo del numerador y del denominador por separado y se combina: el cociente es positivo cuando ambos tienen el mismo signo, de donde la solución es $(-\infty ,-1)\cup (2,+\infty )$.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una economía crece al 2,5 % anual. ¿Cuántos años tarda en duplicar su PIB?

Paso 1. Escribir el modelo. Llamamos $Y_0$ al PIB de partida e $Y_t$ al de $t$ años después. Con crecimiento a tasa constante $g=0,025$:

$$Y_t=Y_0(1+g{)}^t=Y_0(1,025{)}^t$$

Paso 2. Traducir «duplicar». Duplicar es $Y_t=2Y_0$. Sustituyendo:

$$2Y_0=Y_0(1,025{)}^t$$

Paso 3. Simplificar. Como $Y_0>0$, se puede dividir por $Y_0$ en los dos lados. Fíjate en que el resultado ya no depende del tamaño de la economía: el tiempo de duplicación es el mismo para un país rico y uno pobre que crezcan igual.

$$2=(1,025{)}^t$$

Paso 4. Bajar el exponente. La incógnita está en el exponente, así que tomamos logaritmos naturales en ambos lados y aplicamos $\ln (x^k)=k\ln x$:

$$\ln 2=t\cdot \ln (1,025)$$

Paso 5. Despejar.

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1,025)}=\frac{0,6931}{0,024693}\approx 28,07$$

Respuesta. Unos 28 años. Como el PIB solo se observa una vez al año, en la práctica se dice que el PIB se ha duplicado en el año 29.

Comprobación rápida. La regla del 70 dice que el tiempo de duplicación es aproximadamente $70/g_{\%}$, donde $g_{\%}$ es la tasa en porcentaje. Aquí, $70/2,5=28$. La regla funciona porque $\ln 2\approx 0,70$ y, para tasas pequeñas, $\ln (1+g)\approx g$; esa segunda aproximación se justifica en el tema 3.

5. Errores típicos

Descomponer el logaritmo de una suma. $\ln (x+y)\ne \ln x+\ln y$. La regla vale para el producto, no para la suma. Es el error más frecuente y el más caro, porque aparece en cuanto se linealiza un modelo.

Sumar tasas de variación. Un +10 % seguido de un −10 % no deja las cosas como estaban: deja un −1 %. Las tasas se multiplican en forma $(1+g)$, no se suman. Por la misma razón, la inflación media de dos años del 4 % y el 2 % no es exactamente el 3 %.

Olvidar girar la desigualdad. De $-2x>6$ mucha gente escribe $x>-3$. Es al revés: $x<-3$. Comprueba siempre con un valor: $x=-4$ cumple $-2(-4)=8>6$; $x=0$ no.

Multiplicar una inecuación por algo de signo desconocido. En $\frac{x-2}{x+1}>0$, multiplicar por $x+1$ solo es lícito si sabes su signo, y no lo sabes: depende de $x$. Hay que estudiar los signos por tramos.

Confundir $\log$ con $\ln$. En economía y econometría, «logaritmo» sin apellido es casi siempre el natural. Como $\ln x=2,3026\cdot \log x$, usar uno por otro no cambia la forma del resultado, pero sí su magnitud: un coeficiente estimado se va por un factor 2,3.

Simplificar $\sqrt{x^2}$ como $x$. Es $|x|$, el valor absoluto. Con $x=-3$, $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$, no $-3$.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Reglas de potencias y logaritmos

básico

Simplifica hasta dejarlo en la forma más corta posible:

1. $\frac{a^5\cdot a^{-2}}{a^4}$
2. $\ln (e^3)$
3. $\ln 8-\ln 2$

Ver solución

1. Con $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, el numerador es $a^{5-2}=a^3$. Y con $a^m/a^n=a^{m-n}$, el conjunto es $a^{3-4}=a^{-1}=\frac{1}{a}$.
2. Por definición, $\ln (e^3)$ es el exponente al que hay que elevar $e$ para obtener $e^3$, es decir, $3$. También sale de $\ln (x^k)=k\ln x$ con $\ln e=1$.
3. Por la regla del cociente, $\ln 8-\ln 2=\ln (8/2)=\ln 4\approx 1,386$.

Ejercicio 2 · Tasas encadenadas

básico

Un salario sube un 5 % en 2024 y un 3 % en 2025. ¿Cuál es la subida acumulada en los dos años? ¿Y la subida media anual?

Ver solución

Acumulada. El salario se multiplica por $1,05$ y luego por $1,03$:

$$1,05\times 1,03=1,0815$$

Es decir, un 8,15 %, y no el 8 % que saldría de sumar. La diferencia, 0,15 puntos, es el 3 % aplicado sobre el 5 % ya ganado.

Media anual. Es la tasa $g$ que, aplicada dos años, da lo mismo:

$$(1+g{)}^2=1,0815⟹1+g=\sqrt{1,0815}=1,03995$$

Un 4,00 % anual, no el 4 % exacto que daría la media aritmética de 5 y 3 (que sería justo 4). Coinciden casi porque las tasas son pequeñas y parecidas.

Ejercicio 3 · Despejar un exponente

medio

Una inversión de 12 000 € rinde un 4,2 % anual. ¿Cuántos años completos hay que esperar para que supere los 20 000 €?

Ver solución

El capital al cabo de $t$ años es $C_t=12000\cdot (1,042{)}^t$. Queremos el primer $t$ con $C_t>20000$:

$$12000\cdot (1,042{)}^t>20000$$

Dividimos por 12 000, que es positivo, así que la desigualdad no gira:

$$(1,042{)}^t>\frac{20000}{12000}=1,6667$$

Tomamos logaritmos naturales. El logaritmo es una función creciente, de modo que tampoco gira la desigualdad:

$$t\cdot \ln (1,042)>\ln (1,6667)$$$$t>\frac{0,51083}{0,041144}\approx 12,42$$

Como los intereses se liquidan al final de cada año, el primer año completo en que se superan los 20 000 € es el año 13. Comprobación: a los 12 años, $12000\cdot 1,042^{12}=19614$ €; a los 13, $20438$ €.

Ejercicio 4 · Inecuación con cociente y umbral de rentabilidad

avanzado

Una empresa vende a 40 € la unidad. Su coste total de producir $q$ unidades es $C(q)=500+25q$. ¿Para qué niveles de producción el coste medio por unidad es inferior al precio de venta?

Ver solución

El coste medio es el coste total dividido entre las unidades, definido solo para $q>0$:

$$CMe(q)=\frac{500+25q}{q}$$

La condición pedida es $CMe(q)<40$:

$$\frac{500+25q}{q}<40$$

Como solo interesa $q>0$, el denominador es positivo y sí podemos multiplicar por $q$ sin girar la desigualdad. Este es el paso que hay que justificar; si $q$ pudiera ser negativo, habría que separar en casos.

$$500+25q<40q$$$$500<15q⟹q>\frac{500}{15}=33,\overline{3}$$

Con unidades enteras, a partir de 34 unidades. Comprobación: con $q=33$, $CMe=1325/33=40,15>40$; con $q=34$, $CMe=1350/34=39,71<40$.

Lectura económica. Los 500 € son coste fijo y los 25 € por unidad, coste variable. Cada unidad deja un margen de $40-25=15$ €, y hacen falta $500/15=33,3$ unidades para cubrir el fijo. Ese punto es el umbral de rentabilidad, y volverá en el tema 4 cuando la relación deje de ser lineal.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

Ninguno. Es el punto de entrada del plan.

Te abre la puerta a:

• Funciones elementales, límites y continuidad — tema 2
• Matrices y operaciones matriciales — tema 6
• Estadística descriptiva: centro, dispersión y forma — tema 20
• Probabilidad, probabilidad condicionada y teorema de Bayes — tema 21

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Vídeos de repaso de funciones elementales, potencias y logaritmos, previos al bloque de cálculo diferencial.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. El apartado de funciones escalares incluye colecciones de ejercicios de manipulación algebraica con solución.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulos introductorios: álgebra elemental, ecuaciones e inecuaciones, con ejemplos económicos desde la primera página.