Derivadas: reglas de derivación y regla de la cadena

1. La pregunta

Una fábrica produce 1000 unidades y quiere saber si le compensa producir la 1001. No le sirve el coste total ni el coste medio: necesita cuánto cuesta exactamente esa unidad concreta, la siguiente.

Esa pregunta —cuánto cambia una magnitud cuando otra cambia un poquito— es la derivada. Toda la palabra «marginal» de la economía significa «derivada», y sin ella no hay maximización de beneficios, ni elasticidad, ni condición de primer orden.

2. Intuición

Vas en coche y miras el cuentakilómetros: 240 km en 3 horas, 80 km/h de media. Pero eso no dice a qué velocidad ibas en el kilómetro 100. Para saberlo, mides un tramo cada vez más corto alrededor de ese punto: 10 km, 1 km, 100 m, 10 m. Cuanto más corto, más se parece la velocidad media de ese tramo a la velocidad instantánea. El velocímetro marca el límite de ese proceso.

La derivada es exactamente eso, y por eso necesitaba el tema 2: es un límite.

Gráficamente: la velocidad media entre dos puntos es la pendiente de la recta que los une. Al acercar el segundo punto al primero, esa recta gira hasta apoyarse en la curva en un solo punto: la recta tangente. La derivada es su pendiente.

En economía la lectura es siempre la misma: la derivada es el efecto sobre la salida de una unidad más de entrada. Si el coste marginal es 12, producir una unidad más cuesta unos 12 €. «Unos», porque es una aproximación lineal válida para cambios pequeños; para un cambio grande la curva se separa de su tangente.

3. Formalización

Definición

La derivada de $f$ en el punto $a$ es

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

siempre que el límite exista, y entonces se dice que $f$ es derivable en $a$. El cociente de dentro se llama cociente incremental: en el numerador, cuánto cambia la salida; en el denominador, cuánto cambió la entrada.

Notaciones equivalentes, todas de uso corriente:

$$f^{\prime }(x),\frac{df}{dx},\frac{dy}{dx}$$

La notación $df/dx$ es la que se generaliza en el tema 11 a las derivadas parciales, así que conviene acostumbrarse a ella.

Derivable implica continua, pero no al revés: $f(x)=|x|$ es continua en 0 y no derivable ahí, porque por la izquierda la pendiente es $-1$ y por la derecha $+1$. Los picos de las funciones a trozos son sitios sin derivada.

Reglas de derivación

Con $c$ constante y $u$, $v$ funciones derivables:

$$(c{)}^{\prime }=0,(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1},(c\cdot u{)}^{\prime }=c\cdot u^{\prime }$$ $$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime },(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$ $$(e^x{)}^{\prime }=e^x,(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$$

La del producto es la que más se falla: no es $u^{\prime }{v}^{\prime }$. Y la del cociente lleva el signo menos en el numerador, en ese orden.

Regla de la cadena

Es la regla central del bloque y la que más se usa en econometría. Si $y$ depende de $u$ y $u$ depende de $x$, entonces

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

o, en la otra notación, ${\left(f(g(x))\right)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$.

En palabras: se deriva la función de fuera dejando lo de dentro quieto, y se multiplica por la derivada de lo de dentro.

La lectura económica es un encadenamiento de efectos: si la demanda depende del precio y el precio depende del tipo de cambio, el efecto del tipo de cambio sobre la demanda es el producto de los dos efectos.

Casos frecuentes, todos consecuencia de la cadena:

$${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime },{\left(e^u\right)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime },{\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$$

Derivadas de orden superior

La derivada de $f^{\prime }$ es la derivada segunda, $f^{\prime \prime }$. Si $f^{\prime }$ dice si la función sube o baja, $f^{\prime \prime }$ dice si lo hace cada vez más deprisa o cada vez más despacio. En economía, $f^{\prime \prime }<0$ es la forma matemática de los rendimientos decrecientes: se sigue ganando con cada unidad más, pero cada vez menos. Es la pieza que hace falta en el tema 5 para distinguir un máximo de un mínimo.

Diferencial y aproximación

Para un cambio pequeño $\Delta x$ en la entrada, el cambio en la salida es aproximadamente

$$\Delta y\approx f^{\prime }(x)\cdot \Delta x$$

Esta es la fórmula que justifica llamar «coste de la unidad siguiente» al coste marginal: haciendo $\Delta q=1$, el cambio en el coste es aproximadamente $C^{\prime }(q)$. La aproximación es buena porque 1 unidad es pequeña frente a las 1000 que ya se producen; deja de serlo si se pregunta por duplicar la producción.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Una empresa tiene la función de coste $C(q)=0,02q^2+15q+4000$ euros, con $q$ unidades al mes. Calcula el coste marginal, compáralo con el coste medio en $q=500$ y estima el coste de la unidad 501.

Paso 1. Coste marginal. Es la derivada del coste total. Se deriva término a término con la regla de la potencia:

$$C^{\prime }(q)=0,02\cdot 2q+15+0=0,04q+15$$

El coste fijo de 4000 € desaparece al derivar, y eso es exactamente lo que tiene que pasar: un coste fijo no influye en cuánto cuesta la unidad siguiente. Es la razón matemática de que los costes hundidos no deban entrar en las decisiones de producción.

Paso 2. Evaluar en 500 unidades.

$$C^{\prime }(500)=0,04\cdot 500+15=20+15=35$$

La unidad 501 cuesta unos 35 €.

Paso 3. Comprobar la aproximación. El coste exacto de esa unidad es la diferencia de costes totales:

$$C(500)=0,02\cdot 250000+7500+4000=5000+11500=16500$$ $$C(501)=0,02\cdot 251001+7515+4000=5020,02+11515=16535,02$$ $$C(501)-C(500)=35,02$$

La derivada decía 35 y el valor exacto es 35,02. El error es de 2 céntimos, un 0,06 %: para una unidad, la aproximación lineal es excelente.

Paso 4. Coste medio y comparación.

$$CMe(500)=\frac{16500}{500}=33$$

Aquí está lo interesante: el coste marginal (35) es mayor que el coste medio (33). Como cada unidad nueva cuesta más que la media actual, producir más sube la media. Es la regla general: el marginal tira del medio hacia sí. Cuando el marginal está por debajo del medio, la media baja; se cruzan justo en el mínimo del coste medio, y esa es la condición que se usará en el tema 5.

5. Errores típicos

Derivar un producto como producto de derivadas. $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$. La regla correcta es $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, con dos sumandos. Comprobación mental: si $u=v=x$, entonces $(x\cdot x{)}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }=2x$, y la regla buena da $1\cdot x+x\cdot 1=2x$. La regla falsa daría 1.

Olvidar la derivada de lo de dentro. El error más caro de todo el bloque. $(e^{3x}{)}^{\prime }$ es $3e^{3x}$, no $e^{3x}$. Y $(\ln (2q+5){)}^{\prime }$ es $\frac{2}{2q+5}$, no $\frac{1}{2q+5}$. Reaparece en cuanto se derivan formas funcionales log en el tema 31.

Confundir coste marginal con coste medio. El marginal es $C^{\prime }(q)$, la derivada. El medio es $C(q)/q$, un cociente. Son cosas distintas y solo coinciden en un punto.

Creer que la derivada da el cambio exacto. Da la aproximación lineal. Para una unidad sobre quinientas es prácticamente exacta; para un salto grande, no. Si alguien pregunta el coste de pasar de 500 a 800 unidades, hay que restar costes totales, no multiplicar la derivada por 300.

Derivar donde no se puede. En un pico —una tarifa a trozos que cambia de pendiente— la función es continua pero no derivable. Preguntar por el coste marginal justo en el punto de corte no tiene respuesta única: hay uno por la izquierda y otro por la derecha.

Arrastrar el coste fijo. Si al derivar el coste total aparece todavía la constante, es que se ha derivado mal. La derivada de un número es cero, siempre.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Reglas básicas

básico

Deriva:

1. $f(q)=5q^3-2q+7$
2. $g(x)=x^2{e}^x$
3. $h(p)=\frac{p}{p+4}$

Ver solución

1. Término a término, con la regla de la potencia y la del múltiplo constante:

$$f^{\prime }(q)=5\cdot 3q^2-2+0=15q^2-2$$

2. Producto, con $u=x^2$ y $v=e^x$, así que $u^{\prime }=2x$ y $v^{\prime }=e^x$:

$$g^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x(2x+x^2)$$

3. Cociente, con $u=p$ y $v=p+4$, luego $u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }=1$:

$$h^{\prime }(p)=\frac{1\cdot (p+4)-p\cdot 1}{(p+4{)}^2}=\frac{4}{(p+4{)}^2}$$

El resultado es positivo para todo $p$: la función siempre crece, cada vez más despacio.

Ejercicio 2 · Regla de la cadena

básico

Deriva:

1. $f(q)=(3q+2{)}^5$
2. $g(t)=e^{0,04t}$
3. $h(x)=\ln (x^2+1)$

Ver solución

1. Fuera hay una potencia quinta, dentro $3q+2$ cuya derivada es 3:

$$f^{\prime }(q)=5(3q+2{)}^4\cdot 3=15(3q+2{)}^4$$

2. Fuera exponencial, dentro $0,04t$ cuya derivada es $0,04$:

$$g^{\prime }(t)=e^{0,04t}\cdot 0,04=0,04e^{0,04t}$$

Es el crecimiento continuo al 4 %: la derivada es proporcional al propio valor, que es justo lo que significa «crecer a tasa constante».

3. Fuera logaritmo (derivada $1/u$), dentro $x^2+1$ cuya derivada es $2x$:

$$h^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$$

Ejercicio 3 · Producción con rendimientos decrecientes

medio

Una explotación agrícola produce $Q(L)=60\sqrt{L}$ toneladas con $L$ jornales.

1. Calcula la productividad marginal del trabajo.
2. Evalúala en $L=100$ y en $L=400$, e interpreta la comparación.
3. Comprueba con la derivada segunda que los rendimientos son decrecientes.

Ver solución

1. Escribimos la raíz como potencia para poder derivar: $Q(L)=60L^{1/2}$.

$$Q^{\prime }(L)=60\cdot \frac{1}{2}{L}^{-1/2}=\frac{30}{\sqrt{L}}$$

2. Evaluamos:

$$Q^{\prime }(100)=\frac{30}{10}=3Q^{\prime }(400)=\frac{30}{20}=1,5$$

Con 100 jornales, el jornal 101 añade unas 3 toneladas. Con 400, el jornal 401 añade solo 1,5. El cuádruple de trabajo hace que el trabajador adicional rinda la mitad. No es que los trabajadores sean peores: es que hay una cantidad fija de tierra, y cada vez hay más gente repartiéndose el mismo campo.

3. Derivamos otra vez, escribiendo $Q^{\prime }(L)=30L^{-1/2}$:

$$Q^{\prime \prime }(L)=30\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)L^{-3/2}=-\frac{15}{L^{3/2}}$$

Para todo $L>0$ el denominador es positivo, así que $Q^{\prime \prime }(L)<0$. La productividad marginal es siempre decreciente: eso es exactamente lo que significa «rendimientos decrecientes», y es la forma que tendrá que tener la función para que el problema de maximización del tema 5 tenga solución.

Ejercicio 4 · Efectos encadenados

avanzado

El beneficio de una exportadora depende de las unidades vendidas, $B(q)=40q-0,05q^2$, y las unidades vendidas dependen del tipo de cambio $e$ (euros por dólar) según $q(e)=800-500(e-1{)}^2$, válido cerca de $e=1$.

Calcula $dB/de$ en $e=1,1$ e interpreta el signo y la magnitud.

Ver solución

Es una cadena de dos eslabones: $e\to q\to B$. La regla de la cadena dice

$$\frac{dB}{de}=\frac{dB}{dq}\cdot \frac{dq}{de}$$

Primer eslabón.

$$\frac{dB}{dq}=40-0,1q$$

Segundo eslabón. Aquí hay una cadena dentro: fuera está el cuadrado, dentro $e-1$ cuya derivada es 1.

$$\frac{dq}{de}=-500\cdot 2(e-1)\cdot 1=-1000(e-1)$$

Evaluar en $e=1,1$. Primero hace falta $q$ en ese punto, porque $dB/dq$ depende de $q$, no de $e$:

$$q(1,1)=800-500(0,1{)}^2=800-500\cdot 0,01=795$$$$\frac{dB}{dq}{|}_{q=795}=40-0,1\cdot 795=40-79,5=-39,5$$$$\frac{dq}{de}{|}_{e=1,1}=-1000\cdot 0,1=-100$$

Producto:

$$\frac{dB}{de}=(-39,5)\cdot (-100)=3950$$

Interpretación. Un aumento de 0,01 en el tipo de cambio eleva el beneficio en unos $3950\times 0,01=39,5$ €. El signo positivo sale de multiplicar dos efectos negativos: un euro más caro reduce las ventas, pero en esta zona la empresa ya está vendiendo por encima de su óptimo (el beneficio marginal es negativo, $-39,5$), de modo que vender menos le viene bien.

El error clásico aquí es evaluar $dB/dq$ en $e=1,1$ en vez de en $q=795$. Cada derivada se evalúa en su propia variable.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Funciones elementales, límites y continuidad — tema 2

Te abre la puerta a:

• Aplicaciones económicas I: coste e ingreso marginal, elasticidad — tema 4
• Optimización en una variable e integración básica — tema 5
• Funciones multivariantes: definiciones, curvas de nivel y visualización — tema 10
• Derivadas parciales, vector gradiente, matriz hessiana y Taylor — tema 11
• Modelo estadístico, correlación frente a causalidad y regresión simple por MCO — tema 29

8. Recursos externos

• OCW UC3M — Matemáticas para la Economía I. Bloque de cálculo diferencial en una variable: definición por el cociente incremental, tabla de reglas y regla de la cadena con ejercicios resueltos.
• OCW Unican — Matemáticas para Economistas. Derivación de funciones escalares, con aplicaciones directas a coste, ingreso y producción.
• Sydsæter & Hammond, Matemáticas para el análisis económico. Capítulo de derivación: es donde mejor está explicada la lectura marginal de la derivada y la relación entre magnitud media y marginal.