Procesos estacionarios, AR y MA, series integradas y raíces unitarias

1. La pregunta

Tras una recesión, ¿vuelve el PIB a la trayectoria que llevaba, o se queda para siempre por debajo?

Las dos respuestas son posibles y llevan a políticas económicas opuestas. Si la economía vuelve sola a su senda, una recesión es un bache y no hace falta intervenir. Si el shock desplaza la trayectoria de forma permanente, cada crisis deja una cicatriz definitiva y justifica actuar.

La pregunta se resuelve estadísticamente, y el instrumento es el contraste de raíces unitarias. Es además una decisión previa obligada: determina si hay que diferenciar la serie o quitarle una tendencia, y equivocarse arruina todo el análisis posterior.

2. Intuición

Dos formas de tener tendencia.

Imagina dos caminantes que van hacia el norte.

El primero sigue un sendero marcado. Si tropieza y se desvía, vuelve al sendero. Su posición dentro de diez años es predecible con precisión: donde esté el sendero. Es una tendencia determinista, y los shocks son transitorios.

El segundo camina sin sendero, dando un paso al azar en cada momento con una ligera inclinación al norte. Si un empujón lo desvía, no vuelve: sigue caminando desde donde quedó. Su posición futura es cada vez más incierta. Es una tendencia estocástica, y los shocks son permanentes.

Los dos dibujan una serie creciente y a simple vista parecida. Distinguirlos requiere estadística.

Por qué importa tanto. Además de la lectura económica, hay dos consecuencias técnicas:

• El tratamiento es distinto. Al primero se le quita la tendencia estimada; al segundo hay que diferenciarlo. Aplicar el tratamiento equivocado deja la serie peor que antes.
• La regresión espuria. Dos series con tendencia estocástica independientes dan $R^2$ altísimos y coeficientes muy significativos. La econometría clásica del bloque 7, aplicada a series no estacionarias, produce resultados falsos con apariencia de solidez.

AR y MA: dos formas de memoria. Un proceso AR recuerda a través de sus propios valores pasados: el eco se propaga y se amortigua indefinidamente. Un proceso MA recuerda solo los shocks recientes: tras $q$ periodos, olvido total. Casi cualquier serie real se describe con una combinación de ambos.

3. Formalización

Proceso autorregresivo AR($p$)

$$y_t=c+{\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{y}_{t-p}+{\epsilon }_t$$

Con el operador retardo del tema 36:

$$\varphi (L)y_t=c+{\epsilon }_t,\varphi (L)=1-{\varphi }_{1}L-\cdots -{\varphi }_p{L}^p$$

Condición de estacionariedad. El proceso es estacionario si todas las raíces de $\varphi (L)=0$ están fuera del círculo unidad, es decir, si tienen módulo mayor que 1.

Para el AR(1), $\varphi (L)=1-\varphi L=0$ tiene raíz $L=1/\varphi$, y

$$\left|\frac{1}{\varphi }\right|>1⟺|\varphi |<1$$

que es la condición ya obtenida en el tema 37.

Para el AR(2), la condición se traduce en el triángulo de estacionariedad:

$${\varphi }_1+{\varphi }_2<1,{\varphi }_2-{\varphi }_1<1,|{\varphi }_2|<1$$

Firma en el correlograma: ACF decae gradualmente, PACF se corta tras el retardo $p$.

Proceso de medias móviles MA($q$)

$$y_t=\mu +{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$$ $$y_t=\mu +\theta (L){\epsilon }_t,\theta (L)=1+{\theta }_{1}L+\cdots +{\theta }_q{L}^q$$

Todo MA de orden finito es estacionario, sean cuales sean sus parámetros. Es una suma finita de variables de varianza finita.

Condición de invertibilidad. Se exige además que las raíces de $\theta (L)=0$ estén fuera del círculo unidad. Para el MA(1), $|\theta |<1$.

Para qué sirve. Un proceso invertible se puede escribir como un AR de orden infinito:

$${\epsilon }_t=\frac{1}{\theta (L)}(y_t-\mu )$$

Eso permite recuperar los shocks pasados a partir de los datos observados, y es lo que hace posible predecir. Sin invertibilidad, dos modelos MA distintos generan exactamente la misma ACF y no se pueden distinguir con los datos; imponer la invertibilidad selecciona uno de los dos.

Firma: ACF se corta tras el retardo $q$, PACF decae gradualmente.

Proceso ARMA($p,q$)

$$\varphi (L)y_t=c+\theta (L){\epsilon }_t$$

Estacionario si las raíces de $\varphi (L)$ están fuera del círculo unidad; invertible si lo están las de $\theta (L)$.

Ambas funciones decaen gradualmente, lo que complica la identificación visual y obliga a apoyarse en criterios de información (tema 39).

Principio de parsimonia. Un ARMA(1,1) suele describir lo mismo que un AR(5) o un MA(6), con dos parámetros en lugar de cinco o seis. Siempre se prefiere el modelo más simple que deje residuos de ruido blanco.

Representación de Wold

Todo proceso estacionario admite la representación

$$y_t=\mu +\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{\epsilon }_{t-j},{\psi }_0=1,\sum {\psi }_j^2<\infty$$

Cualquier proceso estacionario es un MA($\infty$): una suma ponderada de todos los shocks pasados. Los ${\psi }_j$ son los multiplicadores dinámicos: ${\psi }_j$ mide el efecto de un shock de hace $j$ periodos sobre el valor actual.

Para un AR(1), invirtiendo el polinomio como en el tema 36:

$$y_t=\frac{{\epsilon }_t}{1-\varphi L}=\sum _{j=0}^{\infty }{\varphi }^j{\epsilon }_{t-j}$$

luego ${\psi }_j={\varphi }^j$: los shocks se olvidan geométricamente. Con $\varphi =0,8$, un shock conserva el 80 % de su efecto al periodo siguiente, el 11 % a los diez periodos y nada a los cincuenta.

Este resultado justifica teóricamente por qué el enfoque univariante funciona: basta con la propia historia de la serie para describir su comportamiento.

Raíces unitarias y series integradas

Raíz unitaria: el polinomio $\varphi (L)$ tiene una raíz igual a 1, es decir, $\varphi (1)=0$. Entonces se puede factorizar

$$\varphi (L)=(1-L){\varphi }^{\ast }(L)$$

y la serie necesita una diferencia para ser estacionaria.

Serie integrada de orden $d$, denotada $I(d)$: necesita $d$ diferencias para volverse estacionaria.

Orden	Significado	Ejemplos económicos
$I(0)$	ya estacionaria	tasa de paro, tipos de interés, tasas de crecimiento
$I(1)$	una diferencia	PIB, IPC, cotizaciones, agregados monetarios
$I(2)$	dos diferencias	IPC en periodos de inflación acelerada

En economía, $I(1)$ es con diferencia lo más común.

El paseo aleatorio con deriva:

$$y_t=\delta +y_{t-1}+{\epsilon }_t⟹y_t=y_0+\delta t+\sum _{j=1}^t{\epsilon }_j$$

Tiene tendencia ($\delta t$) y raíz unitaria. Su varianza crece con $t$ y los shocks se acumulan sin desaparecer.

Los dos tipos de tendencia, en paralelo

	Tendencia determinista (TS)	Tendencia estocástica (DS)
Modelo	$y_t=\alpha +\beta t+u_t$	$y_t=\delta +y_{t-1}+{\epsilon }_t$
Efecto de un shock	transitorio	permanente
Varianza a largo plazo	constante	crece con $t$
Predicción a largo plazo	converge a la tendencia	incertidumbre creciente
Cómo se corrige	quitar la tendencia estimada	diferenciar

Consecuencias de equivocarse:

• Diferenciar una serie TS: se sobrediferencia. Aparece un MA(1) no invertible con $\theta =-1$, la varianza aumenta y las predicciones empeoran. Es lo que avisaba el tema 36.
• Quitar tendencia a una serie DS: no se elimina la no estacionariedad. Los residuos siguen teniendo raíz unitaria y toda la inferencia posterior es inválida.

Contraste de Dickey-Fuller aumentado (ADF)

Partiendo de $y_t=\rho y_{t-1}+{\epsilon }_t$ y restando $y_{t-1}$ a los dos lados:

$$\Delta y_t=(\rho -1)y_{t-1}+{\epsilon }_t=\gamma y_{t-1}+{\epsilon }_t$$ $$H_0:\gamma =0(\rho =1,\text{ hay raıˊz unitaria})H_1:\gamma <0(\text{estacionaria})$$

La versión aumentada añade retardos de $\Delta y_t$ para limpiar la autocorrelación residual:

$$\Delta y_t=\gamma y_{t-1}+\sum _{i=1}^m{\delta }_i\Delta y_{t-i}+{\epsilon }_t$$

Tres especificaciones, y elegir mal invalida el contraste:

Versión	Ecuación	Cuándo
Sin constante	$\Delta y_t=\gamma y_{t-1}+\cdots$	serie sin media ni tendencia
Con constante	$+\alpha$	serie con media distinta de cero
Con constante y tendencia	$+\alpha +\beta t$	serie con tendencia visible

Regla práctica: mirar el gráfico. Si la serie tiene tendencia, la versión con tendencia; si oscila alrededor de una media no nula, la versión con constante.

Advertencias fundamentales:

• Los valores críticos NO son los de la $t$ de Student. Bajo $H_0$ la serie no es estacionaria y la distribución del estadístico es no estándar: son los valores de Dickey-Fuller, tabulados y más negativos que los habituales. Al 5 % con constante rondan $-2,89$ en lugar de $-1,96$.
• Se rechaza para valores muy negativos. Es un contraste unilateral izquierdo.
• La hipótesis nula es la NO estacionariedad. No rechazar no demuestra que haya raíz unitaria: puede ser falta de potencia, que en este contraste es notoriamente baja con muestras cortas.

Contraste KPSS. Invierte las hipótesis: $H_0$ es estacionariedad. Se usa junto al ADF, y la combinación es más informativa que cualquiera por separado:

ADF	KPSS	Conclusión
No rechaza	Rechaza	$I(1)$ con bastante seguridad
Rechaza	No rechaza	$I(0)$ con bastante seguridad
Ambos rechazan		resultados contradictorios: revisar especificación
Ninguno rechaza		datos poco informativos: muestra corta

Regresión espuria y cointegración

Regresión espuria. Regresar dos series $I(1)$ independientes produce típicamente:

• $R^2$ alto,
• coeficientes muy significativos,
• Durbin-Watson muy bajo.

La combinación $R^2>DW$ es la señal de alarma clásica de regresión espuria. Todo el aparato inferencial del bloque 7 deja de ser válido, porque los estadísticos no siguen las distribuciones supuestas.

Cointegración. La excepción importante. Dos series $I(1)$ están cointegradas si existe una combinación lineal de ellas que es $I(0)$:

$$y_t-\beta x_t\sim I(0)$$

Significa que, aunque cada una vague sin rumbo, mantienen una relación de equilibrio a largo plazo de la que no se separan indefinidamente: consumo y renta, precios de un mismo bien en dos mercados, tipos de interés a distintos plazos.

Cuando hay cointegración, la regresión en niveles sí es válida —y de hecho es superconsistente—, y el sistema admite una representación como modelo de corrección del error, que combina la relación de largo plazo con la dinámica de corto. Es contenido del tema 40 y de la guía docente de la UC3M.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Se analiza el logaritmo del PIB trimestral de un país, $T=120$ observaciones. Los resultados son:

ADF sobre $\ln PIB$ (con constante y tendencia, 4 retardos): $\text{ADF}=-2,14$

ADF sobre $\Delta \ln PIB$ (con constante, 3 retardos): $\text{ADF}=-5,67$

KPSS sobre $\ln PIB$: $0,382$

KPSS sobre $\Delta \ln PIB$: $0,094$

Valores críticos al 5 %: ADF con tendencia $-3,45$; ADF con constante $-2,89$; KPSS con tendencia $0,146$; KPSS con constante $0,463$.

1. Determina el orden de integración.
2. Interpreta económicamente.
3. Un investigador regresa $\ln PIB$ sobre $\ln$ del PIB de otro país y obtiene $R^2=0,94$ y $DW=0,21$. Evalúa.

Paso 1. Orden de integración.

ADF sobre el nivel.

$$-2,14>-3,45⟹\text{NO se rechaza }{H}_0$$

Hay raíz unitaria: la serie no es estacionaria en niveles.

KPSS sobre el nivel.

$$0,382>0,146⟹\text{se rechaza }{H}_0\text{ de estacionariedad}$$

Los dos coinciden: $\ln PIB$ no es estacionaria.

ADF sobre la primera diferencia.

$$-5,67<-2,89⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

No hay raíz unitaria: la serie diferenciada sí es estacionaria.

KPSS sobre la primera diferencia.

$$0,094<0,463⟹\text{no se rechaza }{H}_0\text{ de estacionariedad}$$

Los dos vuelven a coincidir. Es el caso ideal de la tabla:

$$\boxed{\ln PIB\sim I(1)}$$

Nótese la importancia de haber usado los dos contrastes. El ADF por sí solo no habría sido concluyente sobre el nivel: no rechazar podría deberse a falta de potencia. Que el KPSS rechace desde el otro lado confirma el diagnóstico.

Paso 2. Interpretación económica.

$\ln PIB$ es $I(1)$, es decir, tiene tendencia estocástica. Consecuencias:

(a) Los shocks tienen efectos permanentes. Una recesión no desplaza temporalmente el PIB de su senda: desplaza la senda. La economía crece después al mismo ritmo, pero desde un nivel más bajo, para siempre.

Es la hipótesis de histéresis, y contradice la visión de que las recesiones son desviaciones transitorias en torno a una tendencia fija.

(b) La incertidumbre de la predicción crece sin límite con el horizonte. Predecir el PIB a diez años vista tiene un intervalo de confianza enorme, y no es un defecto del modelo: es una propiedad del proceso.

(c) $\Delta \ln PIB$ sí es estacionaria. La tasa de crecimiento oscila alrededor de una media constante. El nivel no vuelve nunca a su sitio, pero el ritmo de crecimiento sí.

(d) El modelo adecuado se especifica sobre $\Delta \ln PIB$, que es lo que hará el tema 39. En notación ARIMA, $\ln PIB$ es un ARIMA($p$,1,$q$).

(e) Implicación de política. Si los shocks son permanentes, estabilizar el ciclo tiene un valor mucho mayor que si fueran transitorios: cada recesión no evitada deja una pérdida definitiva de producto.

Paso 3. La regresión del investigador.

$$R^2=0,94DW=0,21$$

Es una regresión espuria casi con seguridad. Los tres indicios están:

• $R^2\gg DW$. El criterio clásico: $0,94\gg 0,21$.
• $DW=0,21$ implica $\hat{\rho }\approx 1-0,21/2=0,895$: autocorrelación residual altísima. Los residuos son casi un paseo aleatorio, señal de que no están cointegradas.
• Ambas series son $I(1)$ y se han regresado en niveles.

Qué está ocurriendo. Los dos PIB crecen a lo largo del tiempo. Cualquier par de series crecientes se ajusta bien entre sí, y el $R^2$ del 94 % solo dice que ambas suben. No hay ninguna relación económica establecida.

Lo que hay que hacer, en orden:

1. Contrastar la cointegración. Aplicar un ADF a los residuos de la regresión. Si son $I(0)$, las series están cointegradas y la relación es genuina; si son $I(1)$ —lo que sugiere el $DW$ de 0,21—, es espuria.

Con $DW=0,21$, la apuesta es que no hay cointegración.

2. Si no están cointegradas: trabajar en diferencias. Regresar $\Delta \ln PI{B}_A$ sobre $\Delta \ln PI{B}_B$ es válido, porque ambas son $I(0)$. El $R^2$ caerá drásticamente —probablemente a 0,2 o 0,3— y ese será el grado real de asociación entre los ciclos de los dos países.

3. Si sí lo estuvieran: especificar un modelo de corrección del error, que combina la relación de largo plazo con la dinámica de corto plazo, y que es la forma correcta de explotar la cointegración.

El punto de fondo. Este ejemplo muestra por qué el bloque 8 no es un apéndice del 7. Toda la maquinaria de la econometría clásica —$t$, $F$, $R^2$— deja de ser válida con series no estacionarias, y aplicarla produce hallazgos falsos con excelente aspecto.

5. Errores típicos

Usar los valores críticos de la $t$ en el ADF. La distribución bajo $H_0$ no es la $t$ de Student. Hay que usar las tablas de Dickey-Fuller, que son sensiblemente más exigentes.

Confundir el sentido de $H_0$ en el ADF. La nula es hay raíz unitaria. No rechazar no demuestra la no estacionariedad: el contraste tiene poca potencia.

Elegir mal la especificación del ADF. Aplicar la versión sin tendencia a una serie con tendencia hace que el contraste casi nunca rechace. Hay que mirar el gráfico primero.

Diferenciar una serie con tendencia determinista. Se sobrediferencia. La forma de distinguirlo es el propio ADF: si rechaza con la versión que incluye tendencia, la serie es estacionaria en torno a una tendencia y hay que quitar esa tendencia, no diferenciar.

Ignorar la posibilidad de regresión espuria. Con series $I(1)$ en niveles, el $R^2$ y los $t$ no significan lo que parecen. La comprobación es inmediata: comparar $R^2$ con $DW$.

Diferenciar siempre por si acaso. Si las series están cointegradas, diferenciar destruye la relación de largo plazo, que suele ser lo más interesante económicamente.

Confundir estacionariedad con invertibilidad. La primera se refiere a $\varphi (L)$ y a la parte AR; la segunda, a $\theta (L)$ y a la MA. Un MA siempre es estacionario, pero no siempre invertible.

Interpretar las raíces del revés. Estacionariedad exige raíces fuera del círculo unidad, es decir, módulo mayor que 1. Con la parametrización alternativa en términos de $1/L$ la condición se invierte, y es una fuente clásica de confusión entre manuales.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Condiciones de estacionariedad

básico

Determina si son estacionarios e invertibles:

1. $y_t=0,7y_{t-1}+{\epsilon }_t$
2. $y_t=1,2y_{t-1}+{\epsilon }_t$
3. $y_t={\epsilon }_t+1,4{\epsilon }_{t-1}$
4. $y_t=0,5y_{t-1}+{\epsilon }_t+0,6{\epsilon }_{t-1}$

Ver solución

1. AR(1) con $\varphi =0,7$.

$$|0,7|<1⟹\text{estacionario}$$

Raíz de $1-0,7L=0$: $L=1,429>1$, fuera del círculo unidad $✓$.

No tiene parte MA, así que la invertibilidad no aplica.

2. AR(1) con $\varphi =1,2$.

$$|1,2|>1⟹\text{NO estacionario}$$

Raíz $L=0,833<1$, dentro del círculo. Es un proceso explosivo: los shocks se amplifican en lugar de amortiguarse, y la serie diverge. No aparece en economía salvo en burbujas o hiperinflaciones.

3. MA(1) con $\theta =1,4$.

Estacionario: todo MA finito lo es.

$$|1,4|>1⟹\text{NO invertible}$$

Raíz de $1+1,4L=0$: $L=-0,714$, con módulo $0,714<1$, dentro del círculo.

Consecuencia: existe otro MA(1) con ${\theta }^{\ast }=1/1,4=0,714$ que tiene exactamente la misma ACF. Los datos no pueden distinguirlos, y por convenio se elige el invertible.

4. ARMA(1,1) con $\varphi =0,5$, $\theta =0,6$.

$$|0,5|<1⟹\text{estacionario}$$$$|0,6|<1⟹\text{invertible}$$

Es el caso deseable: cumple ambas condiciones y es el tipo de modelo con el que se trabaja habitualmente.

Ejercicio 2 · Interpretar un ADF

básico

Una serie de precios de vivienda ($T=96$ trimestres) da:

• ADF sobre el nivel (con constante y tendencia): $-1,87$
• ADF sobre la primera diferencia (con constante): $-4,23$

Valores críticos al 5 %: $-3,46$ y $-2,89$.

Determina el orden de integración y qué transformación aplicar.

Ver solución

Nivel:

$$-1,87>-3,46⟹\text{no se rechaza }{H}_0$$

Hay raíz unitaria: el nivel no es estacionario.

Primera diferencia:

$$-4,23<-2,89⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

No hay raíz unitaria: la diferencia sí es estacionaria.

$$\text{precios}\sim I(1)$$

Transformación: una diferencia, $d=1$.

Recomendación adicional. Los precios de la vivienda son una variable positiva que crece y cuya variabilidad crece con el nivel. Conviene trabajar con $\Delta \ln (\text{precios})$ en lugar de $\Delta (\text{precios})$: además de estabilizar la varianza, la diferencia del logaritmo es directamente la tasa de variación trimestral (tema 36).

Comprobación que faltaría. Con solo el ADF, el no rechazo en niveles podría deberse a falta de potencia. Aplicar también un KPSS confirmaría el diagnóstico desde el otro lado.

Ejercicio 3 · Distinguir TS de DS

medio

Dos series simuladas de 200 observaciones:

Serie X: ADF con tendencia $=-4,12$; ADF sin tendencia $=-0,94$

Serie Z: ADF con tendencia $=-1,76$; ADF sin tendencia $=-1,12$

Valores críticos al 5 %: con tendencia $-3,43$; con constante $-2,88$.

1. Clasifica cada serie.
2. Indica el tratamiento correcto y qué pasaría con el incorrecto.

Ver solución

1. Clasificación.

Serie X: estacionaria en torno a una tendencia determinista (TS).

$$\text{Con tendencia: }-4,12<-3,43⟹\text{se rechaza}\text{ la raıˊz unitaria}$$$$\text{Sin tendencia: }-0,94>-2,88⟹\text{no se rechaza}$$

La discrepancia es exactamente la firma de una serie TS. La versión sin tendencia no rechaza porque la tendencia determinista, al no estar modelada, se confunde con no estacionariedad. Al incluirla, la serie se revela estacionaria en torno a ella.

$$X_t=\alpha +\beta t+u_t\text{con }{u}_t\text{ estacionario}$$

Serie Z: tiene raíz unitaria (DS).

$$\text{Ninguna versioˊn rechaza: }-1,76>-3,43\text{y}-1,12>-2,88$$$$Z_t\sim I(1)$$

2. Tratamientos.

Serie X: quitar la tendencia, no diferenciar. Se estima $X_t=\alpha +\beta t+u_t$ por MCO y se trabaja con los residuos ${\hat{u}}_t$, que son estacionarios. Alternativamente, se incluye $t$ como regresor en el modelo final.

Si se diferenciara por error: se sobrediferenciaría. La serie $\Delta X_t=\beta +\Delta u_t$ contiene $\Delta u_t$, que es la diferencia de algo ya estacionario, y por tanto un proceso con una raíz unitaria en la parte MA. La ACF mostraría ${\rho }_1$ cercano a $-0,5$, la varianza aumentaría, y el modelo necesitaría un parámetro MA extra para deshacer una transformación innecesaria. Las predicciones empeorarían.

Serie Z: diferenciar. Se modela $\Delta Z_t$.

Si se quitara la tendencia por error: los residuos de regresar $Z_t$ sobre $t$ seguirían teniendo raíz unitaria. La serie no se habría vuelto estacionaria, todos los contrastes posteriores serían inválidos, y —esto es lo peor— el problema pasaría inadvertido porque la serie «detendenciada» parece a simple vista más plana.

La moraleja. Los dos errores son simétricos y los dos son graves, pero el segundo es más peligroso porque no deja rastro visible. El primero al menos se detecta mirando la varianza y la ACF. Por eso el contraste de raíces unitarias no es opcional: es la decisión que condiciona todo lo demás.

Ejercicio 4 · Regresión espuria frente a cointegración

avanzado

Un analista estudia la relación entre el consumo ($C$) y la renta disponible ($Y$), ambas en logaritmos, con 160 observaciones trimestrales. Obtiene:

• ADF sobre $\ln C$: $-1,42$ · ADF sobre $\ln Y$: $-1,68$ (críticos: $-3,44$)
• Regresión $\ln C_t={\beta }_0+{\beta }_1\ln Y_t+u_t$: ${\hat{\beta }}_1=0,89$, $R^2=0,991$, $DW=1,42$
• ADF sobre los residuos ${\hat{u}}_t$: $-3,91$ (crítico para residuos de cointegración al 5 %: $-3,37$)

1. ¿Son $I(1)$ las series?
2. ¿Es espuria la regresión?
3. Interpreta ${\hat{\beta }}_1$.
4. Escribe el modelo de corrección del error.

Ver solución

1. Orden de integración.

$$\ln C:-1,42>-3,44⟹\text{no se rechaza}⟹I(1)$$$$\ln Y:-1,68>-3,44⟹\text{no se rechaza}⟹I(1)$$

Ambas son $I(1)$. Como cabía esperar: consumo y renta agregados tienen tendencia estocástica.

2. ¿Espuria? No: están cointegradas.

Tres argumentos convergentes:

(a) El ADF sobre los residuos rechaza.

$$-3,91<-3,37⟹\text{se rechaza la raıˊz unitaria en los residuos}$$

Los residuos son $I(0)$. Esa es la definición de cointegración: existe una combinación lineal de dos series $I(1)$ que es estacionaria.

(b) El $DW$ no es catastrófico. $DW=1,42$ implica $\hat{\rho }\approx 1-1,42/2=0,29$: hay autocorrelación pero moderada. En una regresión espuria típica el $DW$ ronda 0,2 y $\hat{\rho }$ se acerca a 1.

(c) El criterio $R^2$ frente a $DW$. Aquí $0,991>1,42$ es falso: el $DW$ supera al $R^2$, que es justamente lo contrario del síntoma de regresión espuria.

(d) Y hay teoría económica detrás. La función de consumo keynesiana predice exactamente esta relación de largo plazo. La cointegración no es un hallazgo estadístico casual, sino la confirmación empírica de una relación de equilibrio.

Nota técnica importante: los valores críticos para el ADF sobre residuos estimados son distintos y más exigentes que los del ADF ordinario, porque los residuos proceden de una regresión cuyos coeficientes se han elegido precisamente para minimizarlos. Son los valores de Engle-Granger, y el enunciado ya los proporciona.

3. Interpretación de ${\hat{\beta }}_1=0,89$.

Al estar ambas variables en logaritmos, es una elasticidad (tema 31):

La elasticidad del consumo respecto a la renta a largo plazo es 0,89. Un aumento permanente de la renta del 1 % eleva el consumo un 0,89 % en el equilibrio.

Dos observaciones:

• Es menor que 1: a largo plazo, la proporción de renta consumida disminuye ligeramente al crecer la renta. Coherente con la evidencia empírica sobre la propensión media a consumir.
• Es un efecto de largo plazo, no la propensión marginal a consumir de corto plazo, que es menor. La distinción la formaliza el apartado siguiente.

Y una propiedad notable: cuando hay cointegración, el estimador MCO de ${\beta }_1$ es superconsistente: converge a la velocidad $T$ en lugar de $\sqrt{T}$. Es una de las pocas buenas noticias del análisis de series no estacionarias.

4. Modelo de corrección del error.

$$\Delta \ln C_t={\alpha }_0+{\alpha }_1\Delta \ln Y_t+\lambda \left(\ln C_{t-1}-{\beta }_0-{\beta }_1\ln Y_{t-1}\right)+{\epsilon }_t$$

o, usando los residuos estimados de la relación de largo plazo:

$$\Delta \ln C_t={\alpha }_0+{\alpha }_1\Delta \ln Y_t+\lambda {\hat{u}}_{t-1}+{\epsilon }_t$$

Cada pieza tiene una lectura:

• ${\alpha }_1$: efecto de corto plazo. La respuesta inmediata del consumo a un cambio en la renta este trimestre. Suele ser bastante menor que 0,89, porque los hogares no ajustan sus hábitos de golpe.
• ${\hat{u}}_{t-1}$: el término de corrección del error. Mide cuánto se desvió el consumo de su relación de equilibrio con la renta el trimestre pasado.
• $\lambda$: velocidad de ajuste. Debe ser negativo para que haya corrección: si el consumo estuvo por encima de su nivel de equilibrio (${\hat{u}}_{t-1}>0$), este trimestre debe crecer menos para volver.

Con $\lambda =-0,25$, por ejemplo, cada trimestre se corrige el 25 % del desequilibrio pendiente, y la mitad del ajuste se completa en unos $\ln (0,5)/\ln (0,75)=2,4$ trimestres.

Por qué este modelo es superior a las alternativas:

• Frente a la regresión en niveles: incorpora la dinámica de corto plazo y no ignora la autocorrelación.
• Frente a la regresión en diferencias: conserva la información de largo plazo. Regresar $\Delta \ln C$ sobre $\Delta \ln Y$ sin más elimina la relación de equilibrio, que es precisamente lo más valioso económicamente.

Teorema de representación de Granger. Es el resultado que garantiza todo esto: dos series están cointegradas si y solo si admiten una representación de corrección del error. Los dos conceptos son equivalentes, y la equivalencia es lo que convirtió la cointegración en la herramienta central de la macroeconometría aplicada.

Los modelos multivariantes que generalizan esta idea a varias ecuaciones —los VAR y VEC de la guía docente de la UC3M— son el contenido del tema 40.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Procesos estocásticos: media, varianza, autocovarianza y autocorrelación — tema 37

Te abre la puerta a:

• Modelos univariantes ARIMA y metodología Box-Jenkins — tema 39

8. Recursos externos

• eknowmetrics — curso de ARIMA. Cubre estacionariedad, descomposición de Wold, AR($p$), contraste de raíces unitarias, MA($q$) y ARMA($p,q$) exactamente en este orden, con prácticas en Gretl.
• Apuntes Box-Jenkins de De Arce y Mahía (UAM). Tratan explícitamente las condiciones y raíces unitarias para AR y MA, con las deducciones desarrolladas.
• Guía docente de Métodos Econométricos (UC3M). Confirma que tendencia determinista frente a estocástica, raíces unitarias y cointegración son contenido evaluable.
• Gretl. Variable → Contrastes de raíz unitaria → Dickey-Fuller aumentado y KPSS. Para cointegración, Modelo → Series temporales multivariantes → Contraste de cointegración. Gretl muestra los valores críticos correctos automáticamente, lo que evita el error de usar los de la $t$.