Transformaciones: operador retardo, diferencia regular y estacional, medias móviles

1. La pregunta

El tema 35 identificó los componentes de una serie. Ahora hay que quitarlos, porque casi todos los modelos del bloque exigen una serie sin tendencia ni estacionalidad.

Pero quitar no es gratis. Diferenciar una serie elimina la tendencia y de paso destruye información sobre el nivel; suavizar con medias móviles limpia el ruido y también aplana los cambios reales. La pregunta es qué transformación aplicar y, sobre todo, cuándo parar.

Y hay un vocabulario que hay que dominar antes: el operador retardo, que convierte todo este bloque en álgebra manejable en lugar de sumatorios interminables.

2. Intuición

El operador retardo. Es simplemente «retrocede un periodo». Escribir $L{y}_t$ es escribir $y_{t-1}$. Parece una notación innecesaria hasta que se ve lo que permite: tratar los retardos como si fueran potencias de una variable algebraica, factorizar polinomios y resolver ecuaciones. Todo el tema 38 depende de eso.

La diferencia regular. Restar a cada dato el anterior. Si la serie crece de forma sostenida, las diferencias oscilan alrededor de una constante: la tendencia ha desaparecido.

La imagen: si la serie es la posición de un coche, la diferencia es su velocidad. Un coche que se aleja indefinidamente puede tener una velocidad perfectamente estable.

La diferencia estacional. Restar el dato de hace un año en lugar del anterior. Es exactamente lo que hace el titular responsable: «el paro cae un 3 % respecto al mismo mes del año pasado». Al comparar agosto con agosto, el efecto verano se cancela solo.

Las medias móviles. Promediar cada dato con sus vecinos. Los movimientos erráticos se compensan y queda la señal de fondo. El coste es que también se suavizan los cambios genuinos: un giro brusco de la serie aparece amortiguado y retrasado.

Y el aviso central del tema. Diferenciar de más —sobrediferenciar— es un error real y frecuente. Introduce en la serie una estructura que no estaba, complica el modelo y empeora las predicciones. Más transformación no es mejor.

3. Formalización

Operador retardo

$$L{y}_t=y_{t-1}$$

Aplicado repetidamente:

$$L^j{y}_t=y_{t-j},L^0{y}_t=y_t$$

Propiedades que lo hacen útil:

• Lineal: $L(a{y}_t+b{x}_t)=a{y}_{t-1}+b{x}_{t-1}$.
• Sobre constantes no actúa: $Lc=c$.
• Se combina como un polinomio: $(1-{\varphi }_{1}L-{\varphi }_2{L}^2)y_t=y_t-{\varphi }_1{y}_{t-1}-{\varphi }_2{y}_{t-2}$.

El polinomio de retardos se escribe

$$\varphi (L)=1-{\varphi }_{1}L-{\varphi }_2{L}^2-\cdots -{\varphi }_p{L}^p$$

y se manipula como un polinomio ordinario en la variable $L$: se factoriza, se buscan sus raíces, se invierte. Esa es toda la ganancia de la notación, y es la que hace posible el análisis de estacionariedad.

Ejemplo de inversión. Si $|\varphi |<1$:

$$\frac{1}{1-\varphi L}=1+\varphi L+{\varphi }^2{L}^2+{\varphi }^3{L}^3+\cdots$$

que es la suma de una progresión geométrica. Permite escribir un proceso AR como una suma infinita de shocks pasados, y es la base de la representación de Wold del tema 37.

Diferencia regular

$$\Delta y_t=y_t-y_{t-1}=(1-L)y_t$$

Segunda diferencia:

$${\Delta }^2{y}_t=\Delta (\Delta y_t)=(1-L{)}^2{y}_t=y_t-2y_{t-1}+y_{t-2}$$

Cuidado: ${\Delta }^2{y}_t$ no es $y_t-y_{t-2}$. Es la diferencia de la diferencia, y lleva el coeficiente 2 en el término central, que sale de desarrollar $(1-L{)}^2$.

Cuántas veces diferenciar:

Tendencia de la serie	Diferencias necesarias
Sin tendencia	0
Lineal (crecimiento absoluto constante)	1
Cuadrática (crecimiento acelerado)	2

En la práctica económica, $d=1$ basta casi siempre, y $d=2$ es excepcional. Si hace falta $d=3$, casi con seguridad el problema es otro.

Coste de diferenciar: se pierde una observación por cada diferencia, y se pierde toda la información sobre el nivel de la serie. Un modelo en diferencias predice cambios, no niveles, y para recuperar el nivel hay que integrar hacia atrás desde el último dato conocido.

Diferencia estacional

$${\Delta }_s{y}_t=y_t-y_{t-s}=(1-L^s)y_t$$

con $s$ la frecuencia estacional: 4 para trimestral, 12 para mensual.

Elimina la estacionalidad y, si la estacionalidad va acompañada de tendencia, también parte de esta.

Combinación de ambas. Es lo habitual en series mensuales con tendencia y estacionalidad:

$$\Delta {\Delta }_{12}{y}_t=(1-L)(1-L^{12})y_t=y_t-y_{t-1}-y_{t-12}+y_{t-13}$$

El desarrollo sale de multiplicar los dos polinomios, y el término $y_{t-13}$ —que sorprende a primera vista— es el producto cruzado $L\cdot L^{12}$. Se pierden $1+12=13$ observaciones.

El orden no importa: $(1-L)(1-L^{12})=(1-L^{12})(1-L)$, porque los polinomios de retardos conmutan.

Transformación logarítmica

Se aplica antes de diferenciar, y por dos motivos:

1. Estabiliza la varianza cuando la dispersión crece con el nivel.
2. Convierte el esquema multiplicativo en aditivo (tema 35).

Y produce una interpretación muy cómoda:

$$\Delta \ln y_t=\ln y_t-\ln y_{t-1}=\ln \frac{y_t}{y_{t-1}}\approx \frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$$

La diferencia del logaritmo es la tasa de crecimiento. La aproximación es buena para tasas pequeñas: con un crecimiento del 5 %, $\ln (1,05)=0,0488$, un error de 0,12 puntos; con el 30 %, $\ln (1,30)=0,2624$, y el error ya es de casi 4 puntos.

Análogamente, ${\Delta }_{12}\ln y_t$ es la tasa de variación interanual.

Transformación de Box-Cox. Generaliza la idea:

$$y_t^{(\lambda )}=\{\begin{array}{ll}\frac{y_t^{\lambda }-1}{\lambda }& \lambda \ne 0\\ \ln y_t& \lambda =0\end{array}$$

Con $\lambda =1$ no transforma; con $\lambda =0$ es el logaritmo; con $\lambda =0,5$, la raíz cuadrada. En la práctica se prueban esos tres.

Medias móviles

Media móvil simple de orden $k$:

$$M{M}_t=\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{k-1}{y}_{t-j}$$

Media móvil centrada de orden impar $2m+1$:

$$M{M}_t=\frac{1}{2m+1}\sum _{j=-m}^m{y}_{t+j}$$

Media móvil centrada de orden par. Con $k$ par no hay centro, así que se pondera media unidad cada extremo. Para $k=4$:

$$M{M}_t=\frac{\frac{1}{2}{y}_{t-2}+y_{t-1}+y_t+y_{t+1}+\frac{1}{2}{y}_{t+2}}{4}$$

Este es el caso importante: una media móvil centrada de orden $s$ elimina exactamente la estacionalidad, porque promedia un año completo. Es el primer paso del método de descomposición clásico del tema 35.

Limitaciones:

• Se pierden $m$ observaciones en cada extremo, y el extremo derecho es justamente donde interesa predecir.
• Suaviza también los cambios reales: un giro de tendencia aparece amortiguado y con retraso.
• Una media móvil sobre una serie sin estructura puede crear autocorrelación artificial: es el efecto Slutsky-Yule.

Alisado exponencial. Alternativa que da más peso a lo reciente:

$$S_t=\alpha y_t+(1-\alpha )S_{t-1},0<\alpha <1$$

Desarrollando hacia atrás, los pesos decaen geométricamente. No pierde observaciones al final, lo que lo hace útil para predicción a corto plazo.

El peligro de sobrediferenciar

Sobrediferenciar es aplicar más diferencias de las necesarias.

Consecuencias:

• Se introduce una estructura de medias móviles que no estaba en la serie original.
• Aumenta la varianza de la serie transformada.
• El modelo resultante es más complejo y predice peor.

Cómo detectarlo:

Señal	Indica
La ACF cae muy deprisa a valores negativos	posible sobrediferenciación
${\rho }_1\approx -0,5$	firma típica
La varianza aumenta al diferenciar de nuevo	señal clara
Aparece una raíz unitaria en la parte MA	confirmación formal

Regla práctica: diferenciar una vez cada vez y comprobar. Se para cuando la serie parece estacionaria, no cuando «se ve muy plana». Y hay un criterio numérico sencillo: la varianza debe bajar al diferenciar; si sube, se ha diferenciado de más.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. El índice de producción industrial (base 2015 = 100) de un país, mensual, tiene estos valores en el último año y medio:

Mes	2023	2024
Ene	96,2	101,4
Feb	98,1	103,5
Mar	104,3	110,1
Abr	101,7	107,2
May	106,4	112,3
Jun	108,9	114,8
Jul	105,2	—
Ago	78,4	—
Sep	107,6	—
Oct	110,3	—
Nov	109,8	—
Dic	95,7	—

1. Calcula la diferencia regular de marzo de 2024.
2. Calcula la diferencia estacional de marzo de 2024 e interprétala.
3. Calcula la tasa de crecimiento interanual con logaritmos.
4. Explica qué transformación conviene aplicar a esta serie y por qué.

Paso 1. Diferencia regular de marzo 2024.

$$\Delta y_{\text{mar-24}}=y_{\text{mar-24}}-y_{\text{feb-24}}=110,1-103,5=6,6$$

El índice subió 6,6 puntos respecto a febrero.

Problema de esta cifra: marzo tiene más días laborables que febrero, y además el patrón estacional hace que marzo sea siempre alto. El 6,6 mezcla el crecimiento real con el efecto calendario. Comparar meses consecutivos en una serie estacional informa poco, que es justo el aviso del tema 35.

Paso 2. Diferencia estacional.

$${\Delta }_{12}{y}_{\text{mar-24}}=y_{\text{mar-24}}-y_{\text{mar-23}}=110,1-104,3=5,8$$

La producción industrial está 5,8 puntos por encima del mismo mes del año anterior.

Esta cifra sí es informativa. Al comparar marzo con marzo, el efecto estacional se cancela: los dos meses tienen el mismo perfil de calendario, la misma posición en el ciclo anual. La diferencia refleja crecimiento genuino.

Es exactamente lo que publican las estadísticas oficiales como «variación interanual», y la razón de que sea el indicador de referencia.

Paso 3. Tasa de crecimiento interanual.

$${\Delta }_{12}\ln y_{\text{mar-24}}=\ln (110,1)-\ln (104,3)$$ $$=4,70139-4,64729=0,05410$$

Un 5,41 % de crecimiento interanual.

Comprobación con la tasa exacta:

$$\frac{110,1-104,3}{104,3}=\frac{5,8}{104,3}=0,05561=5,56\%$$

La aproximación logarítmica da 5,41 % frente al 5,56 % exacto: un error de 0,15 puntos, perfectamente asumible. Como se vio en la formalización, la aproximación es buena para tasas moderadas.

Repitiendo para los seis meses disponibles:

Mes	2023	2024	${\Delta }_{12}\ln y$
Ene	96,2	101,4	0,0527
Feb	98,1	103,5	0,0536
Mar	104,3	110,1	0,0541
Abr	101,7	107,2	0,0527
May	106,4	112,3	0,0540
Jun	108,9	114,8	0,0528

La tasa interanual es notablemente estable, entre el 5,27 % y el 5,41 %. Eso es información valiosa: la industria crece a un ritmo constante de alrededor del 5,3 % anual, y la aparente irregularidad de la serie original era casi toda estacionalidad.

Paso 4. Qué transformación aplicar.

Diagnóstico de la serie:

• Tendencia creciente: claro. Todos los meses de 2024 superan a sus homólogos de 2023.
• Estacionalidad muy marcada: agosto de 2023 vale 78,4, unos 30 puntos por debajo de los meses vecinos. Es el parón industrial de vacaciones, y se repetirá cada agosto.
• Varianza: con solo 18 datos no se puede juzgar bien, pero en índices de producción la amplitud estacional suele crecer con el nivel.

Transformación recomendada, en este orden:

1. Logaritmos. Estabiliza la varianza y convierte la estacionalidad multiplicativa en aditiva. Además, las diferencias pasan a ser tasas de crecimiento, directamente interpretables.

2. Diferencia estacional ${\Delta }_{12}$. Elimina el efecto agosto y los demás patrones anuales.

3. Comprobar si hace falta la diferencia regular $\Delta$. Es el paso donde más se falla.

Los valores de ${\Delta }_{12}\ln y$ calculados arriba oscilan entre 0,0527 y 0,0541: no tienen tendencia, se mantienen alrededor de 0,053. La diferencia estacional ya ha eliminado la tendencia, porque esta era aproximadamente lineal y la diferencia interanual la convierte en una constante.

Aplicar además $\Delta$ sería sobrediferenciar. La serie $\Delta {\Delta }_{12}\ln y$ oscilaría alrededor de cero con más varianza que la anterior, y el modelo posterior necesitaría un término MA extra para compensar una estructura que se habría creado en el propio proceso de transformación.

Transformación final:

$$w_t={\Delta }_{12}\ln y_t=(1-L^{12})\ln y_t$$

Cómo confirmarlo con datos. Con la serie completa habría que comparar las varianzas:

$$\mathrm{Var}({\Delta }_{12}\ln y)\text{frente a}\mathrm{Var}(\Delta {\Delta }_{12}\ln y)$$

Si la segunda es mayor, se ha sobrediferenciado. Con los seis valores disponibles, la varianza de ${\Delta }_{12}\ln y$ es minúscula —los valores apenas se mueven—, lo que apunta claramente a que una sola diferencia estacional basta.

5. Errores típicos

Escribir ${\Delta }^2{y}_t=y_t-y_{t-2}$. Es $y_t-2y_{t-1}+y_{t-2}$. La confusión viene de mezclar la segunda diferencia con la diferencia de orden 2, que es ${\Delta }_2{y}_t=y_t-y_{t-2}$: cosas distintas con notación parecida.

Sobrediferenciar. El error más importante del tema. Se detecta porque la varianza sube y porque aparece ${\rho }_1\approx -0,5$ en la ACF. Diferenciar de una en una y comprobar.

Diferenciar antes de tomar logaritmos. El orden correcto es logaritmos primero, diferencias después. Al revés, la transformación logarítmica se aplica sobre una serie que puede tener valores negativos.

Aplicar ${\Delta }_{12}$ a datos trimestrales. La diferencia estacional usa $s$ = frecuencia: 4 para trimestral, 12 para mensual. Usar 12 en datos trimestrales compara con hace tres años.

Olvidar cuántas observaciones se pierden. Con $\Delta {\Delta }_{12}$ se pierden 13. En una serie de 60 datos eso es más del 20 % de la muestra.

Usar medias móviles y luego modelar el resultado. El suavizado introduce autocorrelación artificial (efecto Slutsky-Yule) que el modelo confundirá con estructura real.

Confundir la media móvil como filtro con el proceso MA. Son cosas distintas: la primera es una transformación de los datos; el segundo, un modelo de la perturbación del tema 38.

Interpretar $\Delta \ln y$ como tasa exacta con crecimientos grandes. Con un 30 % de crecimiento el error ya es de 4 puntos. Para tasas altas hay que usar $e^{\Delta \ln y}-1$.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Operador retardo

básico

Desarrolla y simplifica:

1. $(1-L)(1+L)y_t$
2. $(1-0,6L{)}^2{y}_t$
3. $(1-L)(1-L^4)y_t$

Ver solución

1. Se multiplica como polinomios ordinarios:

$$(1-L)(1+L)=1+L-L-L^2=1-L^2$$$$(1-L^2)y_t=y_t-y_{t-2}$$

Es la diferencia de orden 2, no la segunda diferencia.

2.

$$(1-0,6L{)}^2=1-1,2L+0,36L^2$$$$y_t-1,2y_{t-1}+0,36y_{t-2}$$

3.

$$(1-L)(1-L^4)=1-L^4-L+L^5$$$$y_t-y_{t-1}-y_{t-4}+y_{t-5}$$

Es la transformación habitual para series trimestrales con tendencia y estacionalidad. Se pierden $1+4=5$ observaciones.

Lo que el ejercicio ilustra: el operador retardo se manipula exactamente como una variable algebraica. Esa es toda su utilidad, y sin ella estas expresiones habría que deducirlas cada vez a mano.

Ejercicio 2 · Diferencias y tasas

básico

Una serie trimestral de ventas (miles €) es:

Trimestre	T1-23	T2-23	T3-23	T4-23	T1-24
Ventas	240	310	380	290	264

1. Calcula $\Delta y_t$ para T1-24.
2. Calcula ${\Delta }_4{y}_t$ para T1-24.
3. Calcula la tasa interanual con logaritmos.

Ver solución

1. Diferencia regular.

$$\Delta y_{\text{T1-24}}=264-290=-26$$

Las ventas cayeron 26 000 € respecto al trimestre anterior.

Pero es una lectura engañosa. T4 incluye la campaña de Navidad y T1 no. La caída es estacional, no un deterioro del negocio.

2. Diferencia estacional ($s=4$):

$${\Delta }_4{y}_{\text{T1-24}}=264-240=+24$$

Las ventas crecieron 24 000 € respecto al mismo trimestre del año anterior.

Las dos cifras son correctas y dicen cosas opuestas. La segunda es la relevante para juzgar la marcha del negocio.

3. Tasa interanual.

$${\Delta }_4\ln y=\ln 264-\ln 240=5,5759-5,4806=0,0953$$

Un 9,53 %.

Exacta: $24/240=0,10=10\%$. El error de la aproximación es de 0,47 puntos, algo mayor que en el ejemplo del tema porque la tasa es más alta.

Para tasas de este tamaño, conviene dar la exacta o corregir: $e^{0,0953}-1=0,1000=10\%✓$

Ejercicio 3 · Detectar sobrediferenciación

medio

Una serie de 120 observaciones da estas varianzas tras cada transformación:

Serie	Varianza
$y_t$	4820,5
$\Delta y_t$	186,3
${\Delta }^2{y}_t$	428,7

Y las primeras autocorrelaciones de ${\Delta }^2{y}_t$ son ${\rho }_1=-0,48$, ${\rho }_2=0,04$, ${\rho }_3=-0,02$.

¿Cuántas diferencias hay que aplicar?

Ver solución

Una sola diferencia.

Razonamiento por varianzas. Diferenciar una serie no estacionaria reduce la varianza, porque elimina la tendencia que la hacía crecer. Diferenciar una serie ya estacionaria la aumenta, porque añade ruido sin quitar nada.

$$4820,5\to 186,3\text{caıˊda del 96 \%: la primera diferencia era necesaria}$$$$186,3\to 428,7\text{la varianza SE DUPLICA: la segunda sobra}$$

Confirmación por la ACF. ${\rho }_1=-0,48$, muy cerca de $-0,5$, y el resto prácticamente cero.

Ese patrón es la firma exacta de la sobrediferenciación. La razón es un resultado que se puede comprobar: si $\Delta y_t={\epsilon }_t$ es ruido blanco, entonces

$${\Delta }^2{y}_t={\epsilon }_t-{\epsilon }_{t-1}$$

que es un proceso MA(1) con parámetro $\theta =1$, y cuya autocorrelación de primer orden es

$${\rho }_1=\frac{-\theta }{1+{\theta }^2}=\frac{-1}{2}=-0,5$$

Diferenciar de más no deja la serie «más limpia»: le mete dentro un MA(1) con raíz unitaria que no estaba, y que el modelo posterior tendrá que estimar sin necesidad.

Conclusión: $d=1$. Se modela $\Delta y_t$.

Regla práctica que resume el ejercicio. Diferenciar de una en una y comprobar la varianza. En cuanto suba, se ha ido una diferencia de más.

Ejercicio 4 · Diseñar la transformación completa

avanzado

Una serie mensual de importaciones (millones €) tiene estas características:

• Nivel medio: 8500 en 2015, 14 200 en 2024.
• Amplitud estacional: unos 1200 millones en 2015, unos 2000 en 2024.
• Pico en octubre-noviembre, valle en agosto, todos los años.
• Salto brusco en marzo de 2020 y recuperación en 2021.
• 120 observaciones.

1. Propón la transformación completa, justificando cada paso.
2. ¿Cuántas observaciones quedan utilizables?
3. ¿Cómo tratarías el episodio de 2020?
4. ¿Qué comprobaciones harías antes de dar la transformación por buena?

Ver solución

1. Transformación propuesta, paso a paso.

Paso A: logaritmos. La amplitud estacional pasa de 1200 a 2000 mientras el nivel pasa de 8500 a 14 200. En términos relativos:

$$\frac{1200}{8500}=14,1\%\frac{2000}{14200}=14,1\%$$

Idénticas. La estacionalidad es exactamente proporcional al nivel: esquema multiplicativo puro. Los logaritmos lo convierten en aditivo y estabilizan la varianza.

Este cálculo es la justificación cuantitativa, y merece hacerse siempre en lugar de decidir a ojo.

Paso B: diferencia estacional ${\Delta }_{12}$. El patrón octubre-noviembre / agosto se repite todos los años, así que es estacionalidad estable de periodo 12.

Paso C: comprobar si hace falta $\Delta$. No se puede decidir con la información del enunciado. Hay que mirar ${\Delta }_{12}\ln y_t$:

• Si oscila alrededor de una constante, ya es estacionaria y no se diferencia más.
• Si tiene tendencia, hace falta también $\Delta$.

Con el crecimiento descrito —de 8500 a 14 200 en 9 años, un 5,9 % anual acumulativo—, si el ritmo ha sido aproximadamente constante, la diferencia estacional del logaritmo será constante alrededor de 0,059 y no hará falta $\Delta$.

Si el crecimiento se ha acelerado o frenado, sí.

Transformación propuesta:

$$w_t={\Delta }_{12}\ln y_t$$

y solo si la comprobación lo exige, $w_t=\Delta {\Delta }_{12}\ln y_t$.

2. Observaciones utilizables.

Con ${\Delta }_{12}$: se pierden 12.

$$120-12=108$$

Si además hiciera falta $\Delta$: $120-13=107$.

Y hay que descontar los meses de 2020 si se decide excluirlos, lo que puede dejar la serie en torno a 95-100 observaciones útiles. Suficiente para un modelo ARIMA, que suele requerir al menos 50, pero conviene tenerlo presente al valorar la precisión de las estimaciones.

3. Tratamiento del episodio de 2020.

El enunciado describe un cambio transitorio (TC): caída brusca y recuperación posterior. No es un atípico aditivo —dura más de un mes— ni un cambio de nivel permanente —la serie vuelve—.

Tres opciones, por orden de preferencia:

(a) Dummies de intervención. Incluir variables ficticias para los meses afectados dentro del modelo. Es lo correcto: se modela el episodio en lugar de ignorarlo, y se cuantifica su efecto. Es la opción que Gretl y los paquetes de análisis de intervención soportan directamente.

(b) Sustituir los valores por estimaciones. Interpolar lo que «habría sido» marzo-junio de 2020. Es discutible: se inventan datos, y las estimaciones posteriores tratan esos datos inventados como si fueran observaciones.

(c) Excluir el periodo. Trabajar con 2015-2019 y 2021-2024 por separado. Pierde información y rompe la continuidad temporal, que es justo lo que un modelo de series necesita.

Advertencia importante. Con ${\Delta }_{12}$, el episodio de 2020 contamina dos años: 2020 por el efecto directo, y 2021 porque se compara con un 2020 anómalo. Las tasas interanuales de 2021 serán espectacularmente altas sin que eso signifique un auge. Es un efecto base, y hay que decirlo al interpretar.

4. Comprobaciones antes de dar la transformación por buena.

(a) Gráfico de la serie transformada. Debe oscilar alrededor de una constante, sin tendencia ni patrón estacional visible. Es la comprobación más informativa y la más barata.

(b) Varianza. Comparar $\mathrm{Var}({\Delta }_{12}\ln y)$ con $\mathrm{Var}(\Delta {\Delta }_{12}\ln y)$. Si la segunda es mayor, sobra la diferencia regular.

(c) Función de autocorrelación. Debe decaer rápidamente. Si hay picos en los retardos 12, 24, 36, queda estacionalidad. Si ${\rho }_1\approx -0,5$, se ha sobrediferenciado.

(d) Contraste de raíces unitarias. Un ADF sobre la serie transformada debe rechazar la hipótesis de raíz unitaria. Es la comprobación formal, y es el tema 38.

(e) Varianza estable a lo largo del tiempo. Dividir la serie transformada en tramos y comparar sus varianzas. Si siguen creciendo, la transformación logarítmica no bastó y convendría explorar Box-Cox con otro $\lambda$.

El principio general. La transformación no es un ritual: es una serie de decisiones que se comprueban con datos. Y la comprobación fundamental es siempre la misma: mirar el gráfico de la serie transformada y preguntarse si parece estacionaria.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Concepto y notación de serie temporal — tema 35

Te abre la puerta a:

• Procesos estocásticos: media, varianza, autocovarianza y autocorrelación — tema 37

8. Recursos externos

• Apuntes Box-Jenkins de Rafael de Arce y Ramón Mahía (UAM). Tratan el operador retardo y las transformaciones con el nivel adecuado para este bloque.
• eknowmetrics — curso de ARIMA. La sección de transformaciones incluye prácticas en Gretl con series reales.
• estadistica.net — PDF de modelos ARIMA. Explica la elección del orden de diferenciación dentro de la fase de identificación.
• Gretl. Añadir → Primeras diferencias, Diferencias estacionales y Logaritmos generan las series transformadas en un clic, con el nombre adecuado (d_x, sd_x, l_x). El gráfico y el correlograma están en el menú Variable, y son la forma más rápida de comprobar si la transformación ha funcionado.