Modelos univariantes ARIMA y metodología Box-Jenkins

1. La pregunta

Una empresa necesita predecir sus ventas del próximo trimestre. No tiene un modelo de la economía, ni datos de sus competidores, ni una teoría de por qué la gente compra. Solo tiene su propia serie de ventas de los últimos diez años.

¿Se puede predecir con eso? Sí, y sorprendentemente bien. La metodología Box-Jenkins convierte la historia de una serie en un modelo de predicción, y en horizontes cortos suele batir a modelos económicos mucho más elaborados.

Este tema junta todo el bloque 8: las transformaciones del tema 36, las funciones de autocorrelación del tema 37 y las condiciones de estacionariedad del tema 38 se convierten aquí en un procedimiento operativo de cuatro fases.

2. Intuición

Por qué funciona un modelo sin economía dentro. Porque la propia serie ya contiene, de forma condensada, el efecto de todo lo que la determina. La inercia del consumo, el ciclo económico, los hábitos estacionales: todo ha dejado su huella en el pasado de la serie. Un modelo univariante no explica por qué, pero captura cómo se comporta.

Eso tiene una virtud y una limitación:

• Virtud: para predecir a corto plazo no hace falta predecir antes las variables explicativas. Un modelo con la renta como regresor exige saber cuál será la renta el año que viene: un problema tan difícil como el original.
• Limitación: no sirve para simular políticas. No se puede preguntar «¿qué pasaría si subiéramos el precio?», porque el precio no está en el modelo.

Las cuatro fases, en una frase cada una.

• Identificación. Mirar la serie y sus correlogramas para proponer órdenes $p$, $d$, $q$.
• Estimación. Calcular los parámetros del modelo propuesto.
• Diagnóstico. Comprobar que los residuos son ruido blanco. Si no lo son, volver a la fase 1.
• Predicción. Solo cuando el diagnóstico pasa.

El bucle es la clave. Box-Jenkins no es una receta lineal: es un ciclo que se repite hasta que el modelo deja residuos sin estructura. Y el criterio de parada no es el ajuste, es el diagnóstico.

3. Formalización

El modelo ARIMA($p,d,q$)

$$\varphi (L)(1-L{)}^d{y}_t=c+\theta (L){\epsilon }_t$$

donde

• $p$: orden autorregresivo. Cuántos valores pasados de la serie entran.
• $d$: orden de integración. Cuántas diferencias hacen falta (tema 38).
• $q$: orden de medias móviles. Cuántos shocks pasados entran.

Casos particulares con nombre propio:

Modelo	Es un	Descripción
ARIMA(0,0,0)	ruido blanco	sin estructura
ARIMA(1,0,0)	AR(1)	inercia geométrica
ARIMA(0,1,0)	paseo aleatorio	la mejor predicción es el último valor
ARIMA(0,1,1)	alisado exponencial	equivalente al alisado simple
ARIMA(1,1,1)	—	el caballo de batalla en la práctica

Modelo estacional: SARIMA

$$\text{ARIMA}(p,d,q)\times (P,D,Q{)}_s$$ $$\varphi (L)\Phi (L^s)(1-L{)}^d(1-L^s{)}^D{y}_t=c+\theta (L)\Theta (L^s){\epsilon }_t$$

Las mayúsculas son la parte estacional: $\Phi$ y $\Theta$ son polinomios en $L^s$, es decir, actúan sobre retardos múltiplos de la frecuencia.

El modelo más usado en la práctica con datos mensuales es el «airline model», ARIMA$(0,1,1)\times (0,1,1{)}_{12}$, llamado así porque Box y Jenkins lo ajustaron a la serie de pasajeros de líneas aéreas. Describe bien una enorme variedad de series económicas mensuales con tendencia y estacionalidad.

Fase 1: identificación

Paso 1.1. Dibujar la serie. Innegociable. Se busca tendencia, estacionalidad, atípicos, cambios de nivel y varianza creciente (tema 35).

Paso 1.2. Estabilizar la varianza. Si la dispersión crece con el nivel, logaritmos.

Paso 1.3. Determinar $d$ y $D$. Con el gráfico, la ACF y sobre todo el contraste ADF del tema 38. Una ACF que decae muy lentamente indica que falta diferenciar. Regla: una diferencia cada vez, comprobando la varianza.

Paso 1.4. Determinar $p$ y $q$ con la ACF y la PACF de la serie ya estacionaria:

ACF	PACF	Modelo
decae	se corta en $p$	AR($p$)
se corta en $q$	decae	MA($q$)
decae	decae	ARMA($p,q$)

Paso 1.5. Identificar la parte estacional mirando los retardos $s$, $2s$, $3s$ con el mismo criterio.

Nota realista. La identificación visual rara vez es concluyente con datos reales. Lo habitual es proponer dos o tres modelos candidatos y decidir entre ellos en la fase de diagnóstico.

Fase 2: estimación

Se estima por máxima verosimilitud (tema 25) o por mínimos cuadrados no lineales. No hay fórmula cerrada como en MCO: se resuelve numéricamente.

Qué comprobar en la salida:

• Significación de los parámetros. Un parámetro con $|t|<2$ es candidato a eliminarse.
• Estacionariedad e invertibilidad. Las raíces deben estar fuera del círculo unidad. El software suele avisar si no.
• Parámetros cercanos a 1 en módulo. Señal de sobrediferenciación (en la parte MA) o de diferenciación insuficiente (en la AR).

Criterios de información para comparar modelos:

$$AIC=-2\ln L+2k,BIC=-2\ln L+k\ln T$$

con $L$ la verosimilitud y $k$ el número de parámetros. Menor es mejor.

El BIC penaliza más la complejidad y tiende a elegir modelos más parsimoniosos. Es el preferible cuando el objetivo es predecir.

Solo son comparables entre modelos con la misma variable dependiente: no se puede comparar el AIC de un modelo sobre $y_t$ con el de otro sobre $\Delta y_t$.

Fase 3: diagnóstico

Es la fase decisiva, y la que más se salta.

3.1. Correlograma de los residuos. Deben estar todos dentro de las bandas $\pm 1,96/\sqrt{T}$. Un pico significativo indica estructura sin capturar; si está en el retardo $s$, falta parte estacional.

3.2. Contraste de Ljung-Box sobre los residuos:

$$Q=T(T+2)\sum _{k=1}^m\frac{{\hat{\rho }}_k^2}{T-k}\sim {\chi }_{m-p-q}^2$$

Aquí NO rechazar es la buena noticia: significa que los residuos son ruido blanco.

3.3. Normalidad. Jarque-Bera (tema 32). No es imprescindible para la consistencia, pero sí para que los intervalos de predicción sean exactos.

3.4. Estabilidad. Estimar en submuestras y comprobar que los parámetros no cambian mucho.

3.5. Sobreajuste. Estimar un modelo con un parámetro más y comprobar que el añadido no es significativo.

Si el diagnóstico falla, se vuelve a la fase 1. Ese bucle es la esencia del método.

Fase 4: predicción

Predicción óptima. La que minimiza el error cuadrático medio es la esperanza condicionada a la información disponible:

$${\hat{y}}_{T+h\mid T}=E[y_{T+h}\mid y_T,y_{T-1},\dots ]$$

Cómo se calcula: recursivamente. Se escribe la ecuación para $T+h$ y se sustituye:

• los valores conocidos de $y$ por sus valores reales;
• los futuros por sus predicciones ya calculadas;
• las perturbaciones pasadas por los residuos;
• las futuras por cero, porque su esperanza es cero.

Ejemplo con un AR(1), $y_t=c+\varphi y_{t-1}+{\epsilon }_t$:

$${\hat{y}}_{T+1}=c+\varphi y_T$$ $${\hat{y}}_{T+2}=c+\varphi {\hat{y}}_{T+1}=c(1+\varphi )+{\varphi }^2{y}_T$$ $${\hat{y}}_{T+h}\underset{h\to \infty }{\to }\frac{c}{1-\varphi }=\mu$$

Las predicciones convergen a la media del proceso. Es una propiedad general de los modelos estacionarios: a largo plazo, la mejor predicción es la media, y el modelo no aporta nada. La utilidad de un ARIMA está en el corto plazo.

Intervalos de predicción. Usando la representación de Wold del tema 38:

$$\mathrm{Var}(e_{T+h})={\sigma }_{\epsilon }^2\sum _{j=0}^{h-1}{\psi }_j^2$$ $$I{C}_{95\%}={\hat{y}}_{T+h}\pm 1,96{\sigma }_{\epsilon }\sqrt{\sum _{j=0}^{h-1}{\psi }_j^2}$$

El intervalo se ensancha con el horizonte, y la forma en que lo hace distingue los dos mundos del tema 38:

• Con serie estacionaria ($d=0$), la varianza converge a $\gamma (0)$: el intervalo se estabiliza.
• Con serie integrada ($d\ge 1$), la varianza crece sin límite: el intervalo se abre indefinidamente.

Nunca se da una predicción sin su intervalo. Un número solo transmite una precisión que no existe.

4. Ejemplo económico resuelto

Problema. Se dispone de 96 observaciones trimestrales del logaritmo de las ventas de una empresa. Tras el análisis se obtiene:

• La serie en niveles tiene tendencia creciente; ADF $=-1,52$ (crítico $-3,45$).
• $\Delta \ln V_t$: ADF $=-4,88$ (crítico $-2,89$). Varianza: 0,00214.
• ${\Delta }^2\ln V_t$: varianza 0,00587.
• ACF de $\Delta \ln V_t$: ${\rho }_1=-0,44$, ${\rho }_2=0,03$, ${\rho }_3=-0,05$, ${\rho }_4=0,31$, ${\rho }_8=0,09$.
• PACF de $\Delta \ln V_t$: ${\varphi }_{11}=-0,44$, ${\varphi }_{22}=-0,18$, ${\varphi }_{33}=-0,11$, ${\varphi }_{44}=0,27$.

1. Identifica el modelo.
2. Tras estimarlo se obtiene ${\hat{\theta }}_1=-0,52$ (ee 0,09), ${\hat{\Theta }}_1=0,34$ (ee 0,11), ${\hat{\sigma }}_{\epsilon }=0,0421$, y Ljung-Box hasta $m=12$ da $Q=9,84$. Diagnostica.
3. Predice el trimestre siguiente sabiendo que $\ln V_{96}=5,842$, ${\hat{\epsilon }}_{96}=0,0187$, $\Delta \ln V_{93}=0,0294$ y ${\hat{\epsilon }}_{93}=-0,0102$.

Paso 1. Identificación.

1.1. Determinar $d$.

$$\text{ADF nivel: }-1,52>-3,45⟹\text{no estacionaria}$$ $$\text{ADF primera diferencia: }-4,88<-2,89⟹\text{estacionaria}$$ $$d=1$$

Comprobación de que no hay que diferenciar más: la varianza pasa de 0,00214 a 0,00587 al tomar la segunda diferencia. Casi se triplica, lo que confirma que $d=2$ sería sobrediferenciar (tema 36).

1.2. Banda de significación. Tras diferenciar quedan 95 observaciones:

$$\pm \frac{1,96}{\sqrt{95}}=\pm 0,201$$

1.3. Parte regular. Superan la banda:

$${\rho }_1=-0,44✓{\rho }_2,{\rho }_3\text{ no}$$

La ACF se corta tras el retardo 1.

PACF: ${\varphi }_{11}=-0,44$ significativo, ${\varphi }_{22}=-0,18$ y ${\varphi }_{33}=-0,11$ no lo son pero decaen gradualmente en valor absoluto, alternando poco.

$$\text{ACF se corta en 1 + PACF decae}⟹\text{MA(1)}:q=1,p=0$$

1.4. Parte estacional. Con datos trimestrales, $s=4$. Miramos los retardos 4 y 8:

$${\rho }_4=0,31>0,201✓{\rho }_8=0,09\text{ no}$$

La ACF estacional se corta tras el retardo 4 (es decir, tras el primer retardo estacional).

$$\text{Parte estacional: }Q=1,P=0$$

Y como la diferencia regular ya dejó la serie estacionaria y no hay un patrón estacional creciente, $D=0$.

Modelo propuesto:

$$\boxed{\text{ARIMA}(0,1,1)\times (0,0,1{)}_4\text{ sobre }\ln V_t}$$ $$\Delta \ln V_t=c+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\Theta }_1{\epsilon }_{t-4}$$

Paso 2. Diagnóstico.

2.1. Significación de los parámetros.

$$t_{{\theta }_1}=\frac{-0,52}{0,09}=-5,78⟹\text{significativo}$$ $$t_{{\Theta }_1}=\frac{0,34}{0,11}=3,09⟹\text{significativo}$$

Los dos aportan.

2.2. Invertibilidad.

$$|{\hat{\theta }}_1|=0,52<1✓|{\hat{\Theta }}_1|=0,34<1✓$$

Ambos dentro de la región de invertibilidad, y lejos de 1, lo que descarta problemas de sobrediferenciación.

2.3. Ljung-Box. Grados de libertad: $m-p-q-P-Q=12-0-1-0-1=10$.

$$Q=9,84,{\chi }_{10;0,05}^2=18,307$$ $$9,84<18,307⟹\text{NO se rechaza}$$

Los residuos son ruido blanco. Aquí no rechazar es el resultado deseado: el modelo ha capturado toda la estructura.

El diagnóstico pasa. El modelo es válido.

Paso 3. Predicción.

$$\Delta \ln V_t=c+{\epsilon }_t-0,52{\epsilon }_{t-1}+0,34{\epsilon }_{t-4}$$

Para $t=97$:

$$\Delta \ln V_{97}=c+{\epsilon }_{97}-0,52{\epsilon }_{96}+0,34{\epsilon }_{93}$$

Tomando esperanzas condicionadas, con $E[{\epsilon }_{97}]=0$ y sustituyendo las perturbaciones pasadas por sus residuos estimados:

$$\widehat{\Delta \ln V_{97}}=\hat{c}-0,52(0,0187)+0,34(-0,0102)$$

Para $\hat{c}$ usamos el crecimiento medio de la serie. Con $\Delta \ln V_{93}=0,0294$ como referencia y sabiendo que el modelo es de media constante, tomamos $\hat{c}=0,0250$ (el crecimiento trimestral medio estimado, un 2,5 %):

$$\widehat{\Delta \ln V_{97}}=0,0250-0,00972-0,00347=0,01181$$

Predicción del nivel:

$$\widehat{\ln V_{97}}=\ln V_{96}+\widehat{\Delta \ln V_{97}}=5,842+0,01181=5,8538$$ $${\hat{V}}_{97}=e^{5,8538}=348,5$$

Intervalo de predicción a un periodo. Para $h=1$, la varianza del error es simplemente ${\sigma }_{\epsilon }^2$:

$$I{C}_{95\%}=0,01181\pm 1,96(0,0421)=0,01181\pm 0,08252$$ $$=(-0,0707;+0,0943)\text{ en tasa de crecimiento}$$

En niveles:

$$\left(e^{5,842-0,0707};e^{5,842+0,0943}\right)=(321,0;378,5)$$

Interpretación honesta. La predicción central es de 348,5, pero el intervalo al 95 % va de 321 a 378,5: un margen de ±8 %.

Y eso es a un solo trimestre vista, con un modelo que ha pasado todos los diagnósticos. A cuatro trimestres el intervalo sería mucho más ancho, porque con $d=1$ la varianza del error de predicción crece sin límite con el horizonte.

La lección práctica. Un modelo ARIMA bien construido da predicciones útiles a corto plazo y cuantifica su propia incertidumbre. Esa segunda parte es tan valiosa como la primera: una empresa que planifique con 348,5 como si fuera un dato firme está ignorando la mitad de la información que el modelo le ha dado.

5. Errores típicos

Saltarse el diagnóstico. Es el error más grave. Un modelo cuyos residuos no son ruido blanco está mal especificado, por bueno que sea su ajuste.

Interpretar Ljung-Box al revés. En el diagnóstico de residuos, no rechazar es lo bueno. Rechazar significa que queda estructura.

Olvidar restar los parámetros en los grados de libertad de $Q$. Son $m-p-q$ (más $P$ y $Q$ si hay parte estacional).

Elegir el modelo por el $R^2$. En series temporales el $R^2$ es engañoso, y con modelos en diferencias no es comparable entre especificaciones. Se usan AIC y BIC, y sobre todo el diagnóstico.

Sobreparametrizar. Un ARIMA(3,1,3) casi siempre es peor que un ARIMA(1,1,1) aunque ajuste mejor dentro de la muestra: predice peor fuera de ella. Parsimonia.

Comparar AIC entre modelos con distinto $d$. No son comparables: la variable dependiente es distinta.

Predecir a largo plazo con un ARIMA. Las predicciones convergen a la media (si $d=0$) o extrapolan la última tendencia (si $d\ge 1$). Más allá de unos pocos periodos, el modelo no aporta información.

Dar predicciones sin intervalo. Transmite falsa precisión, y el intervalo es frecuentemente la parte más informativa.

Aplicar Box-Jenkins con muestras cortas. Se recomiendan al menos 50 observaciones, y con componente estacional bastantes más: al menos 4 o 5 ciclos completos.

6. Ejercicios

Ejercicio 1 · Identificar el orden

básico

Una serie estacionaria de $T=100$ observaciones da:

ACF: 0,58; 0,34; 0,19; 0,11; 0,07; 0,04 PACF: 0,58; $-0,01$; 0,02; $-0,03$; 0,01; 0,00

Identifica el modelo y estima el parámetro.

Ver solución

Banda: $\pm 1,96/\sqrt{100}=\pm 0,196$.

ACF: ${\rho }_1=0,58$ y ${\rho }_2=0,34$ superan la banda; ${\rho }_3=0,19$ está justo por debajo. Decae gradualmente.

Y decae geométricamente:

$$0,58^2=0,336\approx 0,34✓0,58^3=0,195\approx 0,19✓$$$$0,58^4=0,113\approx 0,11✓$$

PACF: solo ${\varphi }_{11}=0,58$ supera la banda. Se corta tras el retardo 1.

$$\text{ACF decae + PACF se corta en 1}⟹\text{AR(1)}$$

Estimación del parámetro. Para un AR(1), ${\rho }_k={\varphi }^k$, luego

$$\hat{\varphi }={\hat{\rho }}_1=0,58$$

Modelo: ARIMA(1,0,0), es decir,

$$y_t=c+0,58y_{t-1}+{\epsilon }_t$$

Comprobación de estacionariedad: $|0,58|<1✓$.

Ejercicio 2 · Diagnóstico de residuos

básico

Un ARIMA(1,1,1) estimado con $T=120$ da un Ljung-Box hasta $m=15$ de $Q=28,4$.

1. Contrasta al 5 %.
2. ¿Qué harías?

Ver solución

1. Grados de libertad: $m-p-q=15-1-1=13$.

$${\chi }_{13;0,05}^2=22,362$$$$28,4>22,362⟹\text{se rechaza }{H}_0$$

Los residuos NO son ruido blanco. Queda estructura sin capturar y el modelo no es válido.

2. Qué hacer.

Volver a la fase de identificación, y concretamente:

(a) Mirar el correlograma de los residuos para ver dónde están los picos significativos. Es la información que el estadístico global no da:

• Pico en el retardo 1 o 2 $\to$ falta orden regular: probar ARIMA(2,1,1) o ARIMA(1,1,2).
• Pico en el retardo $s$, $2s$ $\to$ falta parte estacional. Es la causa más frecuente cuando el $Q$ rechaza con claridad y la serie es mensual o trimestral.
• Picos dispersos sin patrón $\to$ posible atípico o cambio estructural.

(b) Comprobar la transformación. Si la serie tenía varianza creciente y no se tomaron logaritmos, los residuos lo reflejarán.

(c) Revisar $d$. Un $d$ insuficiente deja autocorrelación residual persistente en todos los retardos.

Lo que NO hay que hacer: aceptar el modelo porque el AIC sea bajo o los parámetros significativos. El diagnóstico es la condición necesaria, y este modelo no la cumple.

Ejercicio 3 · Predicción con un AR(2)

medio

Se ha estimado

$$y_t=12,4+0,6y_{t-1}-0,2y_{t-2}+{\epsilon }_t$$

con ${\hat{\sigma }}_{\epsilon }=3,1$. Los últimos valores son $y_{50}=22,8$ e $y_{49}=19,5$.

1. Predice $y_{51}$, $y_{52}$ e $y_{53}$.
2. Calcula el intervalo al 95 % para $y_{51}$ y para $y_{52}$.
3. ¿A qué valor convergen las predicciones?

Ver solución

1. Predicciones recursivas.

$${\hat{y}}_{51}=12,4+0,6(22,8)-0,2(19,5)=12,4+13,68-3,90=22,18$$$${\hat{y}}_{52}=12,4+0,6(22,18)-0,2(22,8)=12,4+13,308-4,56=21,148$$$${\hat{y}}_{53}=12,4+0,6(21,148)-0,2(22,18)=12,4+12,689-4,436=20,653$$

Nótese el procedimiento: para ${\hat{y}}_{52}$ se usa la predicción ${\hat{y}}_{51}$ y el valor observado $y_{50}$; para ${\hat{y}}_{53}$, dos predicciones.

2. Intervalos.

Horizonte 1. La varianza del error es simplemente ${\sigma }_{\epsilon }^2$:

$$I{C}_{95\%}=22,18\pm 1,96(3,1)=22,18\pm 6,08=(16,10;28,26)$$

Horizonte 2. Hacen falta los pesos de la representación de Wold. Para un AR(2), ${\psi }_0=1$ y ${\psi }_1={\varphi }_1=0,6$:

$$\mathrm{Var}(e_{T+2})={\sigma }_{\epsilon }^2(1+{\psi }_1^2)=9,61(1+0,36)=13,07$$$$\text{ee}=\sqrt{13,07}=3,615$$$$I{C}_{95\%}=21,148\pm 1,96(3,615)=21,148\pm 7,085=(14,06;28,23)$$

El intervalo se ensancha, de 12,2 unidades de amplitud a 14,2.

3. Convergencia. Al ser el proceso estacionario, las predicciones convergen a la media:

$$\mu =\frac{c}{1-{\varphi }_1-{\varphi }_2}=\frac{12,4}{1-0,6-(-0,2)}=\frac{12,4}{1-0,6+0,2}=\frac{12,4}{0,6}=20,67$$

Las predicciones convergen a 20,67, y en efecto ya en $h=3$ estamos en 20,65: prácticamente ahí.

Comprobación de estacionariedad, que valida el cálculo. Para un AR(2) las condiciones son ${\varphi }_1+{\varphi }_2<1$, ${\varphi }_2-{\varphi }_1<1$ y $|{\varphi }_2|<1$:

$$0,6-0,2=0,4<1✓$$$$-0,2-0,6=-0,8<1✓$$$$|-0,2|=0,2<1✓$$

Estacionario.

La conclusión importante. A partir del tercer periodo el modelo predice esencialmente la media, y el intervalo tiende a $\pm 1,96\sqrt{\gamma (0)}$. Más allá de dos o tres periodos, este modelo no aporta información sobre el nivel futuro, solo sobre su distribución. Es la limitación estructural de los modelos univariantes estacionarios, y conviene decírselo a quien pida una predicción a diez años.

Ejercicio 4 · Ciclo completo de Box-Jenkins

avanzado

Una serie mensual de matriculaciones de vehículos ($T=144$) presenta:

• Tendencia creciente y amplitud estacional que crece con el nivel.
• ADF sobre $\ln y$: $-1,88$ (crítico con tendencia $-3,44$).
• ADF sobre $\Delta \ln y$: $-3,12$ (crítico con constante $-2,88$).
• ACF de $\Delta \ln y$: picos grandes en 12, 24 y 36, que no decaen.
• ACF de $\Delta {\Delta }_{12}\ln y$: ${\rho }_1=-0,38$; ${\rho }_{12}=-0,31$; resto pequeños.
• PACF de $\Delta {\Delta }_{12}\ln y$: decaimiento en los primeros retardos y en los múltiplos de 12.

1. Determina la transformación y el modelo.
2. Justifica cada decisión.
3. Indica qué comprobarías en el diagnóstico.

Ver solución

1 y 2. Transformación y modelo, decisión a decisión.

Logaritmos. La amplitud estacional crece con el nivel: esquema multiplicativo. Los logaritmos lo vuelven aditivo y estabilizan la varianza (tema 35).

Diferencia regular, $d=1$. El ADF sobre $\ln y$ no rechaza ($-1,88>-3,44$): hay raíz unitaria. Sobre $\Delta \ln y$ sí rechaza ($-3,12<-2,88$): una diferencia basta para la parte regular.

Diferencia estacional, $D=1$. Aquí está el punto fino. Aunque el ADF ya rechaza sobre $\Delta \ln y$, la ACF muestra picos en 12, 24 y 36 que no decaen. Eso es una raíz unitaria estacional: el patrón estacional no es estable, sino que evoluciona. El ADF ordinario no la detecta porque solo contrasta la raíz regular.

Hace falta ${\Delta }_{12}$ además de $\Delta$.

Serie de trabajo:

$$w_t=\Delta {\Delta }_{12}\ln y_t=(1-L)(1-L^{12})\ln y_t$$

Se pierden 13 observaciones: quedan 131.

Parte regular, $q=1$. Banda de significación con 131 observaciones:

$$\pm \frac{1,96}{\sqrt{131}}=\pm 0,171$$

${\rho }_1=-0,38$ supera la banda; el resto de los primeros retardos, no. La ACF regular se corta en 1, y la PACF decae. $⟹$ MA(1) regular.

Parte estacional, $Q=1$. ${\rho }_{12}=-0,31$ supera la banda, y ${\rho }_{24}$ no aparece entre los significativos. La ACF estacional se corta tras el primer retardo estacional, y la PACF decae en los múltiplos de 12. $⟹$ MA(1) estacional.

Modelo propuesto:

$$\boxed{\text{ARIMA}(0,1,1)\times (0,1,1{)}_{12}\text{ sobre }\ln y_t}$$$$(1-L)(1-L^{12})\ln y_t=(1+{\theta }_{1}L)(1+{\Theta }_1{L}^{12}){\epsilon }_t$$

Es el «airline model», el más frecuente en series económicas mensuales con tendencia y estacionalidad. Que salga precisamente este no es casualidad: describe bien la combinación de tendencia estocástica y estacionalidad evolutiva, que es lo que tienen la mayoría de las series de actividad.

Los signos negativos de ${\rho }_1$ y ${\rho }_{12}$ anticipan que ${\hat{\theta }}_1$ y ${\hat{\Theta }}_1$ saldrán negativos, y en el airline model eso es lo normal.

3. Qué comprobar en el diagnóstico.

(a) Significación e invertibilidad de los parámetros. Ambos deben ser significativos y con módulo menor que 1.

Señal de alarma específica: si ${\hat{\theta }}_1$ o ${\hat{\Theta }}_1$ salen muy cerca de $-1$, indica sobrediferenciación en la parte correspondiente. Habría que replantearse si $d=1$ o $D=1$ eran realmente necesarios. Con ${\rho }_1=-0,38$ y ${\rho }_{12}=-0,31$ —lejos de $-0,5$— no parece el caso, pero hay que verificarlo tras estimar.

(b) Correlograma de los residuos. Todos dentro de las bandas. Atención especial a:

• Retardos 1-3: si queda algo, falta orden regular.
• Retardos 12, 24: si queda algo, falta orden estacional.

(c) Ljung-Box hasta $m=24$ o $m=36$ —conviene llegar al menos a $2s$ para captar estructura estacional residual—, con $m-2$ grados de libertad. No debe rechazar.

(d) Normalidad (Jarque-Bera). Si rechaza, buscar atípicos. En matriculaciones de vehículos son esperables por los planes de incentivos —planes renove, cambios de fiscalidad—, que producen picos con causa conocida y se modelan con dummies de intervención.

(e) Estabilidad. Estimar en 1-120 y en 25-144 y comparar los parámetros. Un cambio grande sugiere ruptura estructural.

(f) Sobreajuste. Estimar ARIMA$(0,1,2)\times (0,1,1{)}_{12}$ y ARIMA$(1,1,1)\times (0,1,1{)}_{12}$ y comprobar que los parámetros añadidos no son significativos y que el BIC no mejora. Si mejorase, el modelo original estaba incompleto.

(g) Validación fuera de muestra. El criterio definitivo. Estimar con las primeras 132 observaciones, predecir las 12 últimas y comparar con lo observado. Un modelo que ajusta bien dentro de la muestra y predice mal fuera está sobreajustado, y en predicción eso es lo único que importa. Es el objeto del tema 40.

7. Qué desbloquea

Necesitas antes:

• Contraste de hipótesis — tema 27
• Procesos estacionarios, AR y MA, series integradas y raíces unitarias — tema 38

Te abre la puerta a:

• Modelos multivariantes y evaluación de predicciones — tema 40

8. Recursos externos

• eknowmetrics — curso de ARIMA. Cubre ARIMA($p,d,q$), SARIMA y corrección de atípicos, con ejercicios de exámenes resueltos y prácticas en Gretl. Es el recurso más ajustado a este tema.
• Apuntes Box-Jenkins de De Arce y Mahía (UAM). Modelos ARIMA con las cuatro fases desarrolladas.
• estadistica.net — PDF de modelos ARIMA y metodología Box-Jenkins. Explica las fases de identificación, estimación y validación y el uso de ACF y PACF; es el que mejor detalla la fase de identificación.
• Gretl. Modelo → Series temporales univariantes → ARIMA permite especificar $p,d,q$ y la parte estacional. Tras estimar, Contrastes da el Ljung-Box y Análisis → Predicciones genera predicciones con sus intervalos y el gráfico correspondiente. La función arima con criterio automático puede usarse para contrastar la identificación manual, nunca para sustituirla.